《高中数学第二章平面向量2.3向量的坐标表示2.3.2平面向量的坐标运算教案苏教版必修42017082.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章平面向量2.3向量的坐标表示2.3.2平面向量的坐标运算教案苏教版必修42017082.wps（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2 23.23.2 平面向量的坐标运算 整体设计 教学分析 1前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示在引入了平面向量的 坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转 化为学生熟知的数量运算 2本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐 标、差的坐标以及数乘的坐标运算推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和 分配律 3引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法 是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两 个向量共线的条件(如果存在
2、实数 ，使得 a ab b，那么 a a 与 b b 共线)，本节则进一步地把向 量共线的条件转化为坐标表示这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用 向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示要注意的是，向量的共线与向量的平行 是一致的 三维目标 1通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方 法理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示 2引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载 体在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应 用意识 重点难点 教学重点：平面向量的坐标运
3、算 教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 1 课时 1 导入新课 对于平面内的任意向量 a a，过定点 O 作向量OAa a，则点 A 的位置被向量 a a 的大小和方向 所惟一确定如果以定点 O 为原点建立平面直角坐标系，那么点 A 的位置可通过其坐标来反映， 从而向量 a a 也可以用坐标来表示，这样就可以通过坐标来研究向量问题了事实上，向量的坐 标表示，实际上是向量的代数表示引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形 紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算引进向量的坐标 表示后，向量的线性运算怎样通过坐标运算来
4、实现呢？ 推进新课 Error! 1平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内，分别取与 x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量 i i，j j 作为基底， 对任一向量 a a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x，y，使得 a axi iyj j，则实数对 (x，y)叫做向量 a a 的坐标，记作 a a(x，y) 注意：(1)在直角坐标平面内，以原点为起点的向量OA的坐标就等于点 A 的坐标 (2) 对应坐标相等两个向量相等对应坐标相等 2平面向量的坐标运算 (1)若 a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则 a ab b(x1x2，y1y2) (2)若 A(x1，y1)，B(x2
5、，y2)，则AB(x2x1，y2y1) 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 |AB| x2x12y2y12，即平面内两点间的距离公式 (3)若 a a(x，y)，则 a a(x，y)，R R. 3线段的中点坐标公式 x1x2 y1y2 若 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则 P1P2的中点 P( ， ) 2 2 Error! 思路 1 1 例 1 课本本节例 1. 变式训练 1 3 已知平面向量 a a(1,1)，b b(1，1)，则向量 a a b b 等于( ) 2 2 2 A(2，1) B(2,1) C(1,0) D(1,2) 答案：D 例 2 课本本
6、节例 2. 变式训练 1.如图 1，已知ABCD 的三个顶点 A、B、C 的坐标分别是(2,1)、(1,3)、(3,4)，试 求顶点 D 的坐标 图 1 活动：本题的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算这里给出了两种解法：方法一 利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；方法二利用向 量加法的平行四边形法则求得向量OD 的坐标，进而得到点 D 的坐标解题过程中，关键是 充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系)，数形结合地思考，将顶点 D 的坐标 表示为已知点的坐标 解：方法一：如图 1，设顶点 D 的坐标为(x，y) AB(1(2)，31)(1,2)，DC(3
7、x,4y)， 由ABDC，得(1,2)(3x,4y) Error!Error!顶点 D 的坐标为(2,2) 方法二：如图 1，由向量加法的平行四边形法则可知BDBAADBABC(2(1)， 13)(3(1)，43)(3，1)，而ODOBBD(1,3)(3，1)(2,2)， 顶点 D 的坐标为(2,2) 点评：本题的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算 2.如图 2，已知平面上三点的坐标分别为 A(2,1)，B(1,3)，C(3,4)，求点 D 的坐标， 3 图 2 使这四点构成平行四边形的四个顶点 解：当为 ABCD时，仿例 2 得 D1(2,2)； 当为 ACDB时，仿例 2 得 D2(4
8、,6)； 当为 DACB时，仿例 2 得 D3(6,0). 例 3 课本本节例 4. 思路 2 2 例 1 设点 P 是线段 P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2) (1)当点 P 是线段 P1P2的中点时，求点 P 的坐标； (2)当点 P 是线段 P1P2的一个三等分点时，求点 P 的坐标 P1P 活动：教师充分让 学生思考，并提出：这一结论可以推广吗？即当 时，点 P 的坐 PP2 标是什么？师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有学生可能提 出如下推理方法： 由P1PPP2，知(xx1，yy1)(x2x，y2y)， 即Error!
9、Error! 这就是线段的定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习 数学的重要品质时间允许的话，可以探索 的取值符号对 P 点位置的影响，也可鼓励学生 课后探索 解：(1)如图 3，由向量的线性运算可知 4 图 3 1 x1x2 y1y2 OP (OP1OP2)( ， ) 2 2 2 x1x2 y1y2 所以点 P 的坐标是( ， ) 2 2 P1P 1 P1P P1P (2)如图 4，当点 P 是线段 P1P2的一个三等分点时，有两种情况，即 或 2.如果 PP2 2 PP2 PP2 1 ， 那么 2 1 1 OPOP1P1POP1 P1P2OP1 (OP2OP1)
10、 3 3 2 1 OP1 OP2 3 3 图 4 2x1x2 2y1y2 ( ， ) 3 3 2x1x2 2y1y2 即点 P 的坐标是( ， ) 3 3 P1P x12x2 y12y2 同理，如果 2，那么点 P 的坐标是( ， ) PP2 3 3 点评：本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式. 变式训练 在ABC 中，已知点 A(3,7)、B(2,5)若线段 AC、BC 的中点都在坐标轴上，求点 C 的坐 标 解：(1)若 AC的中点在 y 轴上，则 BC 的中点在 x 轴上 3x y5 设点 C 的坐标为(x，y)，由中点坐标公式得 0， 0， 2 2 x3，y5，即
11、 C 点坐标为(3，5) (2)若 AC的中点在 x 轴上，则 BC 的中点在 y 轴上，同理可得 C 点坐标为(2，7) 综合(1)(2)，知 C 点坐标为(3，5)或(2，7). 例 2 已知点 A(1,2)，B(4,5)，O 为坐标原点，OPOAtAB.若点 P 在第二象限，求实数 t 的取值范围 5 活动：教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量相等，把已知条件转化为含参数的方程 (组)或不等式(组)再进行求解教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力，或者让学生到 黑板上板书解题过程，并对思路清晰过程正确的同学进行表扬，同时也要对组织步骤不完全的 同学给予提示和鼓励教师要让学生明白“化归
12、”思想的利用不等式求变量取值范围的基本 观点是：将已知条件转化为关于变量的不等式(组)，那么变量的取值范围就是这个不等式(组) 的解集 解：由已知AB(4,5)(1,2)(3,3)， OP(1,2)t(3,3)(3t1,3t2) 2 1 若点 P 在第二象限，则Error! 0，于是AC(1,1)，BE(x1，y) 图 7 AC ，存在实数 ，使得(1,1)(x1，y)，即 1y(x1)10 yx1. BE ACOCCE(已知)，CE2OC2(x1)2(y1)22. 3 3 1 3 由 y0，联立解得Error!即 E( ， ) 2 2 3 3 1 3 AEOE 2 31. 2 2 2 1 3
13、 1 3 设 F(t,0)，则FC(1t,1)，CE( ， ) 2 2 F，C，E 三点共线，FCCE. 1 3 1 3 1 3 1 3 存在实数 ，使得(1t，t)( ， )，即(1t) 1 2 2 2 2 10 0，解得 t1 3.AFOF1 3.AFAE. 第 2 2 课时 导入新课 向量的应用主要是解决平面几何问题，而几何中的平行问题占着重要的地位，向量的平行 包含着几何中的平行情形，本章开始时已初步研究了向量的平行问题，但仍然用的是几何方法 来研究的本节课通过坐标的方法来研究向量的平行问题，但涉及内容不是很深 推进新课 Error! 若向量 a a 与非零向量 b b 为共线向量，则
14、当且仅当存在惟一的一个实数 ，使得 a ab b， 那么这个条件如何用坐标来表示呢？ 活动：教师引导推证：设 a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，其中 b ba a， 由 a ab b，(x1，y1)(x2，y2) Error!消去 ，得 x 1y2x2y10. 结论：a ab b(b b0) x 1y2x2y10. 教师应向学生特别提醒感悟： 1消去 时不能两式相除，y1、y2有可能为 0，而 b b0，x2、y2中至少有一个不为 0. y1 y2 2此条件不能写成 (x1，x2有可能为 0) x1 x2 3从而向量共线的条件有两种形式：a ab b(b b0) Error! 由此我
15、们得到： 设向量 a a(x1，y1)，b b(x2，y2)(a a0)，如果 a ab b，那么 x1y2x2y10； 反过来，如果 x1y2x2y10，那么 a ab b. 证明：a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，因为 a a0，所以 x1、y1不全为 0. 不妨假设 x10. (1)如果 a ab b，则存在实数 ，使 b ba a，即(x2，y2)(x1，y1)(x1，y1)， 所以Error!Error! x2 因 为 x10，由得 . x1 x2 将代入，得 y2 y1，即 x1y2x2y10. x1 x2 (2)反之，如果 x1y2x2y10，因为 x10，所以 y2
16、y1. x1 11 x2 x2 x2 (x2，y2)(x2， y1) (x1，y1)令 ，则 b ba a，所以 a ab b. x1 x1 x1 Error! 例 1 已知 a a(1,0)，b b(2,1)，当实数 k 为何值时，向量 ka ab b 与 a a3b b 平行？并确定 此时它们是同向还是反向 解：ka ab bk(1,0)(2,1)(k2，1)，a a3b b(1,0)3(2,1)(7,3) 1 由向量平行的条件，可得 3(k2)(1)70，所以 k . 3 7 1 1 此时，ka ab b( ，1) (7,3) (a a3b b) 3 3 3 因此，它们是反向的. 变式训
17、练 已知 a a(4,2)，b b(6，y)，且 a ab b，求 y. 解：a ab b，4y260.y3. 例 2 已知点 O，A，B，C 的坐标分别为(0,0)，(3,4)，(1,2)，(1,1)，是否存在常数 t， 使得OAtOBOC成立？解释你所得结论的几何意义 解：设存在常数t，使得OAtOBOC，则(3,4)t(1,2)(1,1)，所以t(1,2)(1,1) (3,4)(2，3)所以Error! 此方程组无解，故不存在这样的常数 t. 上述结论表明向量AC 与OB 不平行. 变式训练 已知 A(1，1)，B(1,3)，C(2,5)，试判断 A、B、C 三点之间的位置关系 活动：教
18、师引导学生利用向量的共线来判断首先要探究三个点组合成两个向量，然后根据 两个向量共线的条件来判断这两个向量是否共线，从而来判断这三点是否共线教师引导学 生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系让学生通过观察图 形领悟先猜后证的思维方式 解：在平面直角坐标系中作出 A、B、C 三点，观察图形，我们猜想 A、B、C 三点共线下面 给出证明 AB(1(1)，3(1)(2,4)，AC(2(1)，5(1)(3,6)，又 2634 12 0，ABAC，且直线 AB、直线 AC 有公共点 A， A、B、C 三点共线 点评：本题的解答给出了判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发
19、的两个向量 共线，则这两个向量的三个顶点共线这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的. Error! 课本本节练习 1、2、3. Error! 代数化研究向量平行问题是本节课的重点内容，向量的平行可以公式化地解决，这就是数 学化思考问题的方法，我们通过本节课，不光要记住平行向量的坐标表示的方法，还要理解数 学化处理问题的思想 设计感想 本节课的主要内容是让学生探究向量平行的坐标表示及应用，实际上向量的应用主要是解 决平面几何问题和物理问题的在平面几何中平行问题占着重要的地位本章开始时已初步研 究了向量的平行问题，但所用方法仍是向量的几何法本节是通过坐标的方法来探究向量的平 行问题，由于上节
20、学生刚刚探究了向量的坐标表示及坐标运算，所以本节的教学活动完全可以 放给学生自己探究完成，本教案的设计就是在教师的指导下，学生探究、应用由于本节难度 小，学生会轻松愉快地掌握好本节内容 备课资料 备用习题 1若 a a2i i3j j，b b4i iyj j，且 a ab b，则 y 等于( ) A2 B4 C6 D8 1 2已知 A(1，3)，B(8， )，若 A、B、C 三点共线，则 C 点坐标可能是( ) 2 A(9,1) B(9，1) C(9,1) D(9，1) 3向量 a a(n,1)与 b b(4，n)共线且方向相同，则 n_. 4 已知 O 点是 ABCD 的对角线的交点，AD(
21、2,5) ，AB( 2,3) ，则 CD坐标为 13 _，DO 坐标为_，CO 坐标为_ 5ABC 中，A(2，1)，B(3,2)，C(0，4)，D、E、F 是 BC、AB、AC 的中点，若 EF 与 AD交于 M 点，求DM. 6已知四点 A(5, 1), B(3, 4)，C(1, 3)，D(5, 3)，求证：四边形 ABCD是梯形 7若 a a(1，x)与 b b(x, 2)共线且方向相同，求 x. 参考答案： 1C 2.C 32 n240，n2.又 a a 与 b b 方向相同，n2. 4(2，3) (2，1) (0，4) 5解：由 EF 为中位线，得 EF平分 AD， 1 1 1 1 1 1 7 DM DA (DBBA) CB BA (3,6) (5，3)( ，0) 2 2 4 2 4 2 4 6解：AB(2, 3)，DC(4, 6)，2ABDC. ABDC 且|AB|DC|. 四边形 ABCD是梯形 7解：a a(1，x)与 b b(x, 2)共线， (1)2x(x)0. x 2.a a 与 b b 方向相同，x 2. 14