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1、2.7.22.7.2 向量的应用举例 整体设计 教学分析 向量与物理学天然相联.向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向 线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系, 将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰.并且向量知识不仅是解决物 理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使 我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这 些物理现象都可以用向量来研究. 用向量研究物理问题的相关知识.(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量,那么它们
2、的合成与分解就是向量的加、减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动量是数乘向量;(3)功 即是力与所产生位移的数量积. 用向量知识研究物理问题的基本思路和方法.通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相 关的向量问题; 认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的相互关系; 利用向量知识解决这 个向量问题,并获得这个向量的解; 利用这个结果,对原物理现象作出合理解释,即用向量知 识圆满解决物理问题.教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较,得出抽象的 数学模型.例如,物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型.同时,注重向量 模型的运用,引导解决现实中的一些物理和几何问题.这样可
3、以充分发挥现实原型对抽象的数 学概念的支撑作用. 三维目标 1.通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物 理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向 量运算的认识. 2.通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数 学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学 及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯. 重点难点 教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算. 2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.
4、教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.1.(情境导入)生活中,道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系. 说明了向量的研究对象及研究方法.那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？它就像高速公路一 样,是一条解决物理问题的高速公路.在学生渴望了解的企盼中,教师展示物理模型,由此展开 新课. 思路 2.2.(问题导入)你能举出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又 有方向,都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物理问题的 例子吗?你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广
5、泛应用的数学工具,对向量在物理中的研 究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究,体会向量在 物理中的重要作用.由此自然地引入新课. 推进新课 1 应用示例 例 1 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上 做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗? 图 1 活动: :这个日常生活问题可以抽象为如图1 所示的数学模型,引导学生由向量的平行四边形法则, 力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中用力的现象就转化为数 学中的向量问题.只要分析清楚 F F、G G、 三者之间的关系(
6、其中,F F 为 F F1、F F2的合力),就得到了 问题的数学解释. 在教学中要尽可能地采用多媒体,在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F F|、|G G|、 之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后,与学生共同探究归纳出向量在 物理中的应用的解题步骤,也可以由学生自己完成,还可以用信息技术来验证. 用向量解决物理问题的一般步骤是: 问题的转化,即把物理问题转化为数学问题; 模型 的建立,即建立以向量为主体的数学模型; 参数的获得,即求出数学模型的有关解理论参 数值; 问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 解: :不妨设|F F1|=|F F2|,由向量的
7、平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道 cos 1 | G | | G | 2 | F | . 1 1 2 | F | 2 cos 2 通过上面的式子,我们发现:当 由 0到 180逐渐变大时, 2 由 0到 90逐渐变大,cos 2 的值由大逐渐变小,因此|F F1|由小逐渐变大,即 F F1,F F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省 力. 点评: :本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引 体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成模型,从 数学角度进行解释,这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利
8、用好这个模型,为解决其 他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是向量工具优 越性的具体体现. 变式训练 某人骑摩托车以 20 km/h 的速度向西行驶,感到风从正南方向吹来,而当其速度变为 40 km/h 时他, 又感到风从西南方向吹来,求实际的风向和风速. 图 2 解: :如图 2 所示.设 v1表示 20km/h的速度,在无风时,此人感到的风速为-v1,实际的风速为 v,那 2 么此人所感到的风速为 v+(-v1)=v-v1. 令 AB =-v v1,AC=-2v v1,实际风速为 v v. DA + AB = DB , DB =v v-v v1,这就是骑
9、车人感受到的从正南方向吹来的风的速度. DA +AC=DC, DC=v v-2v v1, 这就是当车的速度为 40km/h时,骑车人感受到的风速. 由题意得DCA=45,DBAB,AB=BC, DCA 为等腰三角形,DA=DC,DAC=DCA=45. DA=DC= 2 BC=20 2 . |v v|=20 2 km/h. 答:实际的风速 v v 的大小是 20 2 km/h,方向是东南方向. 例 2 如图 3 所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子 弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度 h.设子弹和砂箱的质量分别为 m 和 M,求子弹的 速度 v 的大
10、小. 图 3 解: :设 v v0 为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以 m|v v|=(M+m)|v v0|. 由于机械能守恒,所以 1 2 (M+m)v v02=(M+m)gh. 联立解得|v v|= M 2gh . m m 又因为 m 相对于 M 很小, 所以|v| M 2gh , m 即子弹的速度大小约为 M 2gh . m 例 3 一架飞机从 A 地向北偏西 60的方向飞行 1 000 km到达 B 地,然后向 C 地飞行.设 C 地恰 好在 A 地的南偏西 60,并且 A,C两地相距 2 000 km,求飞机从 B 地到 C 地的位移. 3 图 4
11、 解: :如图 4,设 A 在东西基线和南北基线的交点处. 依题意, AB 的方向是北偏西 60, AB =1 000 km;AC的方向是南偏西 60, AC=2 000 km,所以BAC=60. 过点 B 作东西基线的垂线,交 AC 于 D,则ABD 为正三角形. 所以 BD=CD=1 000 km, CBD=BCD= 1 2 BDA=30. 所以ABC=90, BC=ACsin60=2 000 3 2 =1 000 3 (km), BC=1 000 3 km. 答:飞机从 B 地到 C 地的位移大小是 1 000 3 km,方向是南偏西 30. 例 4 已知力 F F 与水平方向的夹角为
12、30(斜向上),大小为 50 N,一个质量为 8 kg 的木块受力 F F 的作用在动摩擦因数 =0.02的水平平面上运动了 20 m.问力 F F 和摩擦力 f f 所做的功分别为 多少?(g=10 m/s2) 图 5 解: :如图 5,设木块的位移为 s,则 F Fs s=F Fs scos30=5020 3 2 =500 3 (J). 将力 F F 分解,它在铅垂方向上的分力 F F1的大小为 F F1=F Fsin30=50 所以,摩擦力 f f 的大小为 1 2 =25(N), f f=(G G-F F1)=(80-25)0.02=1.1(N). 因此 f fs s=f fs sco
13、s180=1.120(-1)=-22(J). 答:F F 和 f f 所做的功分别是 500 3 J 和-22 J. 知能训练 1.一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过 3 小时,该船实际航程为( ) 4 A.2 15 km B.6 km C. 84 km D.8 km 2.如图 6,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为 N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力 F F, 则 F F=_. 图 6 3.一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成 30角,求水流速度与船的实际速度. 解答: :
14、1.B 点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理,所以要通过作高来求. 2. 41 (5,4) 3.解: :如图 7 所示,设 OA 表示水流速度,OB表示船垂直于对岸的速度,OC 表示船的实际速 度,AOC=30,|OB|=5 km/h. 图 7 因为四边形 OACB为矩形,所以|OA |=|AC |cot30=|OB|cot30=5 3 8.66 km/h, |OC |= | OA| cos 30 5 3 3 =10 km/h. 2 答:水流速度为 8.66 km/h,船的实际速度为 10 km/h. 点评: :转化为数学模型,画出向量图,在直角三角形中解出. 课堂小结 1.与学生共同归
15、纳总结利用向量解决物理问题的步骤. 问题的转化,即把物理问题转化为数学问题; 模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型; 参数的获得,即求出数学模型的有关解理论参数值; 问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型. 力、速度、加速度、位移都是向量; 力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减; 动量 mv是数乘向量,冲量 tF F 也是数乘向量; 功是力 F F 与位移 s s 的数量积,即 W W=F Fs s. 作业 5 1.课本习题 27 A 组 4,B组 2. 2.归纳总结物理学中哪些地方可用向量. 设计感想 1.
16、本教案设计的指导思想是:由于本节重在解决两个问题,一是如何把物理问题转化成数学问 题,也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型;二是如何用建立起来的数学模型解释和回答 相关的物理现象.因此本教案设计的重点也就放在怎样让学生探究解决这两个问题上.而把这 个探究的重点又放在这两个中的第一个上,也就是引导学生认真分析物理现象、准确把握物理 量之间的相互关系.通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题,然后利用向量知 识解决这个向量问题. 2.经历是最好的老师.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领 悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就
17、越恰当而简捷. 教科书中对本节的两个例题的处理方法,都不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路, 再给出解法,就足以说明这一点. 3.突出数形结合的思想.教科书例题都是先画图进行分析的,本教案的设计中也突出了这一点. 让学生在活动的时候就先想到画图,并在这个活动中,体会数形结合的应用,体会数学具有广泛 的应用,体会向量这个工具的优越性. 备课资料 一、向量与重心问题 假如有两个质点 M1,M2,它们的质量分别是 m1,m2,由物理学知识,这两个质点的重心 M 在线 段 M1M2上,并且分此线段为与质量成反比例的两部分,即 M M m 或 m 1 2 , 1M1M m2 MM2 MM m
18、2 1 现设点 M1、M2、M,对应的向量分别是 r r1、r r2、r r,则上式可以写成 m r m r m1(r r-r r1)=m2(r r2-r r).所以 r r= ,点 M 处的质量为 m1+m2. 1 1 2 2 m m 1 2 现求三个质点的重心问题. 三个质点 M1、M2、M3的质量分别是 m1、m2、m3,所对应的向量分别是 r r1、r r2、r r3, 我们可设 M1,M2的重心在点 D 处,该处对应的向量为 rD= 求点 D 与点 M3的重心 M 所对应的向量 r,易得 m r m r m r r r= . 1 1 2 2 3 3 m m m 1 2 3 二、备用习
19、题 m r m r 1 1 2 2 m m 1 2 ,该点的质量为 m1+m2,然后 1.作用于同一点的两个力 F F1和 F F2，|F F1|=5,|F F2|=3,夹角为 60，则 F F1+F F2的大小为_. 2.一条渔船距对岸为 4 km,现正以 2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实 际航程为 8 km,求河水的流速. 3.在半径为 15 cm的均匀铁板上,挖出一个圆洞,已知圆洞的圆心和铁板中心相距 8 cm,圆洞的 半径是 5 cm,求挖去圆洞后所剩下铁板的重心. 4.如图 13所示,重力为 G 的均匀小球放在倾角为 的斜面上,球被与斜面夹角为 的木板挡
20、住,球面、木板均光滑,若使球对木板的压力最小,求木板与斜面间夹角 的大小. 6 图 13 参考答案: 1.7 2.如图 14所示,设 AB 表示船垂直于对岸的速度,则 AB + BC = AC , 图 14 知 AC 就是渔船实际航行的速度.因为航行的时间为 42=2(h), 所以在 RtABC 中,|AB |=2 km/h,|AC |=82=4 km/h,则| BC |=2 3 km/h. 答:河水的流速为 2 3 km/h. 3.如图 15所示,建立平面直角坐标系,两圆的圆心分别为 O1(0,0),O2(8,0),圆 O2是挖去的圆, 不 妨 设 铁 板 的 密 度 为 =1, 则 小 圆
21、 的 质 量 m1=25, 挖 去 圆 洞 后 , 铁 板 的 质 量 为 m2=(225-25)=200,设所求的重心为 O3. 图 15 根据物理学知识,知 O3 在直线 O1O2 上,即可设 O3(x3,0),且满足 O3O1 O1O2 ,其中 = m 25 1 m 200 2 1 8 .由定比分点坐标公式,知 0= 1 x 8 3 8 1 1 8 ,解得 x3=-1,即 O3(-1,0)为挖去圆洞后所 剩下铁板的重心. 4.对小球的受力分析如图 13所示,重力为 G G,斜面弹力为 N N2(垂直于斜面向上),木板弹力 N N1(垂 直于木板),其中 N N1与 N N2的合力的大小恒为|G G|,方向向上,N N2的方向始终不变,随着木板的转 动,N N1的方向始终垂直于木板,N N1的大小在变化,且满足 | N1 | | G| , sin a sin 又|G G|=|G G|,|N N1|= | G | sin a sin . 当 sin 取最大值 1 时,|N N1|min=|G G|sin,此时 = 2 . 7