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1、2.72.7 向量应用举例 课后导练 基础达标 1.已知 A（1，2），B（3，4）， 则 AB 中点的坐标是（ ） A.（2，3） B.（-2，-3） C.（ 5 2 ， 5 2 ） D.（3，2） 解析：设 AB中点为 C（x,y）， 1 3 则 x= 2 =2,y= 2 2 4 =3, C（2，3）. 答案：A 2.某人用 50N 的力（与水平方向成 30角，斜向下）推动一质量为 8kg 的木箱沿水平平面运 动了 20 m，若动摩擦因数 =0.02，g 取 10 m/s2，则摩擦力 f 所做的功为( ) A.42 J B.-42 J C.22 J D.-22 J 解析：由数量积的物理意义
2、，只需求出摩擦力 f 的大小，及它与位移的夹角即可. |f f|=(80+50sin30)0.02 N=2.1 N,又 f f 与位移所成的角为 180， f fs s=|f f|s|s|cos180=2.120(-1) J=-42 J. 答案：B 3.三点 A（x1,y1）,B(x2,y2),C(x3,y3)共线，则有（ ） A.x1y2-x2y1=0 B.x1y3-x3y1=0 C.(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1) D.(x2-x1)(x3-x1)=(y2-y1)(y3-y1) 解析： AB =(x2-x1,y2-y1),AC =(x3-x1,y3-y1), AB
3、AC, (x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0. 答案：C 4.已知 a a=（1，2），a ab b，则 b b 可以是（ ） A.（-4，2） B.（2，-4） C.（2，1） D.（-2，-1） 解析：把选项通过 x1x2+y1y2=0 检验知 b b 可以是（-4，2）. 答案：A 5.某人向正东走 xkm 后，又向右转 150，然后朝新方向走 3 km.结果他离出发点恰好 3 km， 那么 x 的值等于( ) A.3 B.2 3 C. 3 或 2 3 D.3 解析：设向量 a a 为“向东走 x m”,则|a|=x,设向量 b b 为“朝新方向走 3 km”,
4、则|b b|=3，且 a a 与 b b 的夹角为 150，离出发点为 3 km,即|a a+b b|= 3 . 由分析知|a a+b b|= 3 ，a a2+2a ab b+b b2= 3 . x2+6xcos150+9-3=0, 1 即 x2-3 3 x+6=0. 解得 x= 3 或 2 3 . 答案：C 6.已知向量OA=(k,12),OB =(4,5),OC =(-k,10),且 A、B、C 三点共线，则 k=_. 解析： OA=(k,12),OB =(4,5),OC =(-k,10). A、B、C 三点共线， BA CB . BA =(k-4,12-5),CB =(4+k,5-10)
5、, (k-4)（5-10）-（12-5）（4+k）=0, 2 解之得 k= . 3 2 答案： 3 7.以原点和点 A(4,2)为顶点作等腰直角三角形 OAB,B=90,则向量 AB 的坐标为_. 解析：利用长度公式和垂直条件列出关于向量坐标的方程，然后求解. 设OB =（x,y）,则 AB =（x-4,y-2）. 由已知 x(x 4) y(y 2) AB 0 OB | x2 y 2 (x 4) (y 2) | | x2 y 2 (x 4) (y 2) 2 2 OB AB | x y 1, x 或 3 y 3, 1. 故 B（1，3）或 B（3，-1）. AB =(-3,1)或(-1,-3).
6、 答案：(-3,1)或(-1,-3) 8.如右图所示，在ABC 中,D、E、F 分别是边 AB、BC、CA的中点,G是它的重心,已知 D 点的 坐标是(1,2),E 点的坐标是(3,5),F点的坐标是(2,7),求 A、B、C、G 的坐标. 解析：设 A（x1,y1),由已知得 EF 平行且等于 AD. 2 DA =EF . (x1-1,y1-2)=(2-3,7-5)=(-1,2). x 1 y 1 1 1, x 1 2 2, y 1 0, 4, A(0,4).同理可得 B(2,0),C(4,10).连结 AE,则 AE 过点 G. 设 G(x2,y2),由 AG =2GE 得(x2,y2-4
7、)=2(3-x2,5-y2), x 2 2 y 6 4 2x , 2 10 x 2 2y , y 2 2 2, 14 3 . 14 3 G(2, ). 9.如右图所示，在细绳 O 处用水平力 F F2缓慢拉起所受重力为 G G 的物体，绳子与铅垂方向的夹 角为 ,绳子所受到的拉力为 F F1，求： （1）|F F1|、|F F2|随角 的变化而变化的情况； （2）当|F F1|2|G G|时， 角的取值范围. 解析：（1）如右图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：G G=F F1+F F2. 解直角三角形得 |F F1|= | G | cos , |F F2|=|G G|tan, 当
8、 从 0趋向于 90时， |F F1|、|F F2|皆逐渐增大. | G | (2)令|F F1|= =2|G G|， cos 1 得 cos ,又 090,060. 2 10.在四边形 ABCD 中(A、B、C、D 顺时针排列),AB =(6,1),CD =(-2,-3).若有 BC DA ,又 有 AC BD ,求 BC 的坐标. 解析：设 BC =(x,y)，则 AC =（6+x，1+y)， AD =(4+x，y-2)， DA =（-x-4，2-y）,BD 3 =(x-2,y-3). 又 BC DA 及 AC BD ， x(2-y)-(-x-4)y=0, (6+x)(x-2)+(1+y)
9、(y-3)=0, 解得 x y 6, x 或 3 y 2, 1. BC =(-6,3)或（2，-1）. 综合运用 11.已知OP =OM +ON ，若 M、P、N 三点共线，则 与 的关系为( ) A.-=0 B.+=0 C.-=1 D.+=1 解析：可根据教材中的例题解此题，也可据 M、P、N 三点共线推导 与 的关系. M、P、N 三点共线，故存在实数 k，使 MP MN ， OP -OM =kON -kOM ，即OP =kON +（1-k）OM .又OP =OM +ON ， k, 1 +=1. k. 答案：D 12.若 ABCD 为正方形，E 是 CD 的中点，且 AB =a a， AD
10、 =b b，则 BE 等于（ ） A.b b+ C.a a+ 1 2 1 2 a a B.b b- b b D.a a- 1 2 1 2 a a b b 解析： BE =AE -AB =AD +DE -AB =AD + 答案：B 1 2 AB -AB =b b- 1 2 a a. 13.在水流速度为 4 3 km/h的河水中，一艘船以 12 km/h的速度垂直对岸行驶，求这艘船实际 航行速度的大小_，方向_. 解析：如右图，设 AB 表示水流速度， AC 表示船垂直对岸行驶的速度，以 AB 为一边、 AC 为一对角线作 ABCD,则 AD 就是船实际航行的速度. 4 | AB |=4 3 ,|
11、AC |=12, | AD |=|BC |=8 3 ; tanACB= 4 3 3 ,CAD=ACB=30,BAD=120. 12 3 答案：8 3 km/h 与水流速度方向的夹角为 120 14.已知线段 AB 的长度为 4，点 M 在线段 AB 上，若点 P（P 与 AB 不共线）满足 PM = 1 2 （ PA + PB ）且|PM |=2，则 PA 与 PB 的夹角为_. 解析： PM = 1 2 (PA +PB ),|PM |=2, 4 PM 2=PA 2+2PA PB +PB 2. 又|PA -PB |=|BA |=4, PA 2-2PA PB +PB 2=16. 由可知， PA
12、PB =0，故 PA 与 PB 的夹角为 2 答案: : 2 . 15.如右图，已知 A、B、C 是不共线的三点,O是ABC 内的一点,若OA+OB +OC =0 0,求 证：O 是ABC 的重心. 证明：如右图，由于OA+OB +OC =0 0, OA=-(OB +OC ),即 OB +OC 是 OA的相反向量.以 OB ,OC 为邻边构造平行四边形 OBDC,则有 OD =-OA. 在平行四边形 BOCD 中, 设 BC 与 OD 交于 E 点, 则 BE =EC ,OE =ED ,AE 是ABC 的中线,且|OA|=2|OE |,故 O 是ABC 的重心. 5 拓展探究 16.美国不顾国
13、际社会的强烈反对,于 2001年 7 月 14 日进行导弹防御系统拦截技术的第四次实 验,军方先从加利福尼亚州的危登堡空军基地发射一枚作为标靶的洲际弹道导弹和诱弹,再从 马绍尔群岛的夸贾林环礁发射另一枚导弹对前一枚导弹进行拦截,实施拦截时必须准确计算标 靶的飞行速度、瞬时位置.现假设标靶与拦截导弹的飞行轨迹均在同一平面内,标靶飞行速度为 |v v|=10n km/h.令 =1e e1+2e e2,基底 e e1、e e2是平面内的单位向量.若标靶的飞行方向为北偏东 30, e e1方向为正东,e e2方向为北偏东 60,试求 1、2的值. 解析：建立如右图所示的直角坐标系，则 e e1=(1,0),e e2=( 3 2 , 1 2 ),v=(5n,5 3 n). e e1,e e2不共线， v=1 e e1+2 e e2=1(1,0)+2( 3 2 , 1 2 ), (5n,5 3 n)=(1+ 3 2 2, 1 2 2). 1 2 2 3 2 5 2 3n. 5n, 1=-10n,2=10 3 n. 6