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1、15.5 用位移法计算一般刚架,图15.21(a)所示连续梁，有两个刚结点B和C，无结点线位移。其位移法基本结构如图15.21(b)所示。 基本结构受荷载及结点转角Z1、Z2共同作用，根据基本结构附加刚臂上的反力矩等于零这一条件，按叠加法可建立位移法典型方程如下： r11Z1+r12Z2+R1P=0 r21Z1+r22Z2+R2P=0,图15.21,例如：r11为Z1=1产生的刚臂1的反力矩，r12为Z2=1产生的刚臂1的反力矩，R1P为荷载产生的刚臂1的反力矩；r21为Z1=1产生的刚臂2的反力矩，r22为Z2=1产生的刚臂2的反力矩，R2P为荷载产生的刚臂2的反力矩。 为了计算典型方程中的
2、系数和自由项，分别绘出M1图(图15.21(c)、M2图(图15.21(d)和MP图(图15.21(e)。 这些系数和自由项都是刚臂的反力矩，均可由结点平衡条件M=0求出。也可以不截取结点，而直接按前述公式求出：,r11=M杆端=4i+6i=10i r12=3i r21=3i 这里r12=r21，符合反力互等定理。 r22=6i+3i=9i R1P=M固端=20-80=-60kNm R2P=80-60.94=19.06kNm,将上述所求系数和自由项代入位移法方程，解得 Z1=7.37/I Z2=-4.57/i 最后按叠加法公式M=M1Z1+M2Z2+MP可绘出连续梁的最后弯矩图如图15.21(
3、f)所示。,【例15.8】用位移法计算图15.22(a)所示刚架，并绘M图。 【解】此刚架具有两个刚结点B和C，无结点线位移，其基本结构如图15.22(b)所示。 列位移法典型方程： r11Z1+r12Z2+R1P=0 r21Z1+r22Z2+R2P=0 分别绘出M1图(图15.22(c)、M2图(图15.22(d)和MP图(图15.22(e)。 各系数和自由项分别计算如下：,图15.22,r11=M杆端=4i+8i=12i r21=r12=4i r22=8i+6i+4i=18i R1P=M固端+m=-26.67-10=-36.67kNm R2P=26.67-30=-3.33kNm 将上述所求
4、系数和自由项代入位移法方程，解得 Z1=3.23/iZ2=-0.53/i 按叠加法公式M=M1Z1+M2Z2+MP绘出最后弯矩图如图15.22(f)所示。,【例15.9】用位移法计算图15.23(a)所示刚架，并绘M图 【解】此刚架具有一个独立转角Z1和一个独立线位移Z2。在结点C加入一个附加刚臂和附加支杆，便得到图15.23(b)所示的基本结构。 根据附加刚臂和附加支杆上的反力矩和反力应等于零的条件，可建立 位移法方程如下： r11Z1+r12Z2+R1P=0 r21Z1+r22Z2+R2P=0 分别绘出M1图（图15.23(c)）、M2图（15.23(d)和MP图（图15.23(e)。,图
5、15.23,求第一个方程中的系数和自由项：这些系数和自由项都是刚臂的反力矩，可根据物理意义由刚臂所在结点的平衡条件M=0求出，实际上可按由此平衡条件推出的相应公式直接写出。 由M1图： r11=M杆端=3i+4i=7i 由M2图： r12=-3/2i 由MP图: R1P=M固端=0,求第二个方程中的系数和自由项：这些系数和自由项都是附加支杆的反力，可根据物理意义由包含附加支杆反力的截面平衡条件X=0求出，或按由此平衡条件推出的相应公式直接计算。 求r21可在M1图上经二柱顶引截面，根据柱端弯矩计算出作用于柱顶的剪力，取其上部为隔离体(图15.24(a)， 由X=0： r21-QCD=0 故 r
6、21=QCD=r12,图15.24,为求r22，可在M2图上引截面，由隔离体(图15.24(b)的平衡条件X=0，可推出计算公式如下： 对于本例： 同理可求得R2P，由MP图： R2P=被截柱顶剪力+P 故 R2P=-60kN,将上述所求系数和自由项代入位移法方程，解得 Z1=20.87/I Z2=97.39/i 按叠加法公式M=M1Z1+M2Z2+MP绘出最后弯矩图如图15.23(f)所示,【例15.10】计算图15.25(a)所示结构C点的竖向位移。 【解】变截面处C点应作为刚结点，加刚臂及支杆得位移法基本结构如图15.25(b)所示。其中未知量Z2即为所求。 位移法方程如下： r11Z1
7、+r12Z2+R1P=0 r21Z1+r22Z2+R2P=0 分别绘出M1图(图15.25(c)、M2图(图15.25(d)和MP图(图15.25(e)。各系数和自由项计算如下： r11=8i+4i=12i r12=-6i/l=r21,图15.25,R1P=ql2/12-ql2/12=0 r22=36i/l2 R2P=-ql 将上述所求系数和自由项代入位移法方程，解得 Z1=ql3/(66EI) Z2=ql3/33=ql4/(33EI) Z2即为所求的C点的竖向位移。,15.6 用结点、截面平衡方程计算刚架,如图15.26(a)所示刚架，共有刚结点C的转角Z1和结点C、D的水平线位移Z2两个基
8、本未知量。设Z1顺时针方向转动，Z2向右移动。 首先利用转角位移方程将各杆杆端弯矩表示为结点位移的函数。例如，将杆AC视为两端固定梁，C端转动了Z1、移动了Z2，并受到已知荷载的作用，杆端弯矩表达式如下： MAC=2iZ1-6i/lZ2-ql2/12=2Z1-Z2-3 MCA=4iZ1-6i/lZ2+ql2/12=4Z1-Z2+3,图15.26,同理，CD杆、BD杆的杆端弯矩表达式为： MCD=3iZ1=3Z1 MBD=-3i/lZ2=-0.5Z2 由以上各式可以看出，只要知道结点位移Z1、Z2，则可求得全部杆端弯矩。 下面建立求解Z1、Z2的位移法方程。 有侧移刚架的位移法方程，有下述两种：
9、 一是与结点转角Z1对应的基本方程为结点C的力矩平衡方程。取结点C为隔离体(如图15.26(b)，由MC=0得,MCA+MCD=0 即7Z1-Z2+3=0 二是与结点线位移Z2对应的基本方程为横梁CD的截面平衡方程，取两立柱顶端以上的横梁CD为隔离体(图20.26(c)，由X=0得 QCA+QDB=0 为了计算QCA和QDB，分别考虑立柱CA和DB的平衡。 取立柱CA为隔离体(图15.26(d)，由MA=0得 QCA=-(6Z1-2Z2)/6-ql/2=-Z1+Z2/3-3,同样，取立柱DB为隔离体（图15.26(e)，由MB=0得 QDB=0.5Z2/6=Z2/12 将QCA、QDB代入式(
10、b)得 -Z1+Z2/3+Z2/12-3=0 即-Z1+5/12Z2-3=0 联立方程(a)、(c)的位移法基本方程为 7Z1-Z2+3=0 -Z1+5/12Z2-3=0 解得 Z1=0.91 Z2=9.37,将Z1、Z2的值回代杆端弯矩表达式，得 MAC=20.91-9.37-3=-10.55kNm MCA=40.91-9.37+3=-2.73kNm MCD=30.91=2.73kNm MBD=-0.59.37=-4.69kNm 根据所求得的杆端弯矩以及杆上荷载，可作出最后弯矩图如图15.26(f)所示。,补充：刚架的设计与比较,1，刚架的特点是梁柱互助，协同抗弯； 1）刚架形成的主要原因 2）刚架使两产生负弯矩，减少了梁内的弯矩值 3）使刚架比排架的跨度更大，空间更加紧凑 2，减少柱的弯矩，转成柱的轴力； 3，梁柱线刚度比值k，影响弯矩的分布 ； 1）侧向力作用下，当k=0时，接近排架，当k=时，反弯点在柱中，当k=3时，梁柱弯矩的峰值接近； 2）排架时饺接于柱顶，所以梁柱的弯矩与梁柱的刚度无关； 3）竖向力作用下，当k=0时，柱刚度大，梁接近两端固定，当k=时，柱刚度小，梁接近两端铰接的简支梁，当k=0.5时，梁柱弯矩的峰值相等；,