建筑力学第十三章.ppt

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1、第二节 杆件的变形和位移,第三节 应用图乘法计算结构的位移,第一节 概述,第13章 静定结构的位移计算及刚度校核, 13-1 结构位移计算概述,一、结构的位移,引起结构位移的原因,荷载,还有什么原 因会使结构产 生位移?,为什么要计算 位移?,铁路工程技术规范规定:,二、 计算位移的目的,(1) 刚度要求,在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；,桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 1/700 和1/900跨度,高层建筑的最大位移 1/1000 高度。 最大层间位移 1/800 层高。,(2）超静定、动力和稳定计算,(3）施工要求,（3）理想联结(Ideal Constrain

2、t)。,三、 本章位移计算的假定,叠加原理适用（principle of superposition),（1）线弹性 (Linear Elastic),（2）小变形 (Small Deformation),四、 计算方法,单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method), 13-2 杆件的变形和位移,1、轴向拉（压）杆的变形和位移,当杆内应力不超过材料的某一极限值（“比例极限”）时,引进比例常数E,E 弹性模量，量纲与应力相同，为 ，,拉（压）杆的胡克定律,EA 杆的拉伸（压缩）刚度。,单位为 Pa；,称为单轴应力状态下的胡克定律,即,横向变形的计算,单轴应力状态下，当应力不超过材

3、料的比例极限时，一点处的纵向线应变e 与横向线应变e的绝对值之比为一常数：,或,n - 横向变形因素或泊松比。,低碳钢（Q235）：,例13-1 一阶梯状钢杆受力如图，已知AB段的横截面面积A1=400mm2， BC段的横截面面积A2=250mm2,材料的弹性模量E=210GPa。试求：AB、BC段的伸长量和杆的总伸长量；C截面相对B截面的位移和C截面的绝对位移。,解：,由静力平衡知，AB、BC两段的轴力均为,故,AC杆的总伸长,C截面相对B截面的位移,C截面的绝对位移,思考：,1. 上题中哪些量是变形，哪些量是位移？二者是否相等？,2. 若上题中B截面处也有一个轴向力作用如图，还有什么方法可

4、以计算各截面处的位移？,2、圆截面杆的扭转的变形,扭转时的变形,两横截面的相对扭转角j,扭转角沿杆长的变化率,相距d x 的微段两端截面间相对扭转角为,等直圆杆仅两端截面受外力偶矩 Me 作用时,称为等直圆杆的扭转刚度,相距l 的两横截面间相对扭转角为,(单位：rad),例13-2 图示钢制实心圆截面轴，已知： M1=1592Nm, M2=955 Nm，M3=637 Nm，d =70mm， lAB=300mm，lAC=500mm，钢的切变模量G=80GPa。求横截面C相对于B的扭转角jCB。,解： 1、 先用截面法求各段轴的扭矩：,BA段,AC段,2、 各段两端相对扭转角：,3、 横截面C相对

5、于B的扭转角：,例13-3 图示空心圆杆 AB，A端固定，底板 B为刚性板，在其中心处焊一直径为d2的实心圆杆CB。空心杆的内、外径分别为 D1和 d1，外力偶矩 Me、两杆的长度l1、l2 及材料的切变模量G 均为已知。试求： 1、两杆横截面上的切应力分布图； 2、实心杆C端的绝对扭转角jC。,解：1、分析两轴的受力如图，求出其扭矩分别为,B,C,2、求横截面上的切应力,空心圆轴,实心圆轴,空心圆轴,实心圆轴,t2,max,3、计算绝对扭转角jC,3、梁的位移及刚度条件,挠度：横截面的形心（即轴线上的点）在y方向的线位移w。在图示坐标系中，w向下为正。,转角：横截面对其原来位置的角位移。也等

6、于平面曲线AC1B在C1点的切线和x轴的夹角。在图示坐标系中， 顺时针转向的为正。,挠曲线方程：横截面的挠度w与横截面位置x有关，即w=f(x)为挠曲线方程。,转角方程：转角 很小，有：,表明挠曲线在任一点的切线斜率足够精确地代表该截面的转角。,纯弯曲时：,横力弯曲时（不计剪力FS的影响）：,所以：,几何上：,因为在小变形情况下：,即：,对于本书采用的坐标系，由下图可见：,此即为挠曲线的近似微分方程，其积分为：,对等直梁：,C1、D1为常数，由梁的边界条件（包括位移约束和连续条件）确定。,常数C1、D1确定后，代入上两式即可分别得到梁转角方程和挠曲线方程，从而可确定任一截面的转角和挠度。,例1

7、3-4 求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。,建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程的积分并积分,解：,应用位移边界条件求积分常数,写出弹性曲线方程并画出曲线,最大挠度及最大转角,积分法求解梁位移的思路：, 建立合适的坐标系；, 求弯矩方程M(x) ；, 建立近似微分方程：, 用约束条件或连续条件，确定积分常数；, 一般求极值可用数学方法，也可由挠曲线直接判别。,根据本书的规定坐标系，取负号进行分析。,例135 图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度fmax和最大转角qmax 。,将式(1)中的M(x)代入公式,

8、再通过两次积分,可得:,解:首先,由对称关系可知梁的两个支反力(见图)为: FA = FB = ql/2 然后, 写出此梁的弯矩方程,在简支梁中,边界条件是左、右两铰支座处的挠度都等于零,即:,根据这两个边界条件,由式(3)可得:,从而解出:,于是,得梁的转角方程和挠曲线方程分别为:,在x = 0处，w = 0 ; 在x = l处，w= 0 。,由于梁上外力及边界条件对于梁跨中点都是对称的,因此,梁的挠曲线也应是对称的。由图可见,两支座处的转角绝对值相等,而且都是最大值。分别以x=0及x=l代入式(4)可得最大转角值为:,挠曲线为一对称的光滑曲线, 最大挠度必在梁跨中点x=l/2处。所以其最大

9、挠度值为:,从以上两例题知: 转角及挠度方程中的积分常数C,D的几何意义为:,q0和y0分别代表坐标原点处截面的转角和挠度。,梁的刚度条件,其中称为许用转角；w称为许用挠度。,1、变形体虚功原理,（1）功、实功和虚功,功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力力作用点沿力方向上的位移,实功：力在自身所产生的位移上所作的功,虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功, 13-3 应用图乘法计算结构位移,力状态,位移状态,（虚力状态）,（虚位移状态）,注意： （1）属同一体系； （2）均为可能状态。即位移 应满足变形协调条件；力状态应满足平衡条件。 （3）位移状态与力状态完全无关；,（2）广义力、广义位

10、移,一个力系作的总虚功 W=P,P-广义力; -广义位移,1)作虚功的力系为一个集中力,2)作虚功的力系为一个集中力偶,3)作虚功的力系为两个等值反向的集中力偶,4)作虚功的力系为两个等值反向的集中力,质点系的虚位移原理,具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：,（3）变形体的虚功原理,对于任何可能的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。即,刚体系的虚位移原理,去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：,对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。,原理的表述为 任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意

11、一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功We，恒等于变 形体各微段外力在微段变形位移上作的虚 功之和Wi。也即恒有如下虚功方程成立,We =Wi,变形体的虚功原理,Wi 的计算:,Wi =N+Q+Mds,微段外力:,微段变形可看成由如下几部分组成:,变形体虚功方程的展开式,对于直杆体系，由于变形互不耦连，有:,We =N+Q+Mds,（4）虚功原理的两种应用,虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的平衡力状态之间。,例13-6 求 A 端的支座反力。,解：去掉A端约束并代以反力X，构造相应的虚位移状态.,直线,待分析平衡的力状态,虚设协调的位移状态,由外力虚功总和为零，即：,通常取,

12、单位位移法,例13-7 求A端支座发生竖向位移c时引起C点的竖向位移。,虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协调位移状态之间。,解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。,由 求得：,解得：,单位荷载法,虚功方程为：,第一种应用一些文献称为“虚位移原理”而将第二种应用称为“虚力原理”。更确切的说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要性命题。上述两原理都是充分、必要性命题，它们和虚功原理是有区别的。,虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是:对 任意协调位移,虚功方程成立. 虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是:对 任意平衡力系,虚功方程成

13、立”。,2、单位荷载法,求k点竖向位移.,由变形体虚功方程:,变形协调的 位移状态(P),平衡的力 状态(i),We =Wi,We =P iP,Wi =NiP +QiP +MiP ds,iP =NiP +QiP +MiP ds,适用于各种杆件体系(线性,非线性).,求k点竖向位移.,变形协调的 位移状态(P),平衡的力 状态(i),iP =NiP +QiP +MiP ds,-适用于各种杆件体系(线性,非线性).,对于由线弹性直杆组成的结构，有：,适用于线弹性 直杆体系。,例13-8 已知图示粱的E 、G, 求A点的竖向位移。,解：构造虚设单位力状态.,对于细长杆,剪切变形对位移的贡献与弯曲变形

14、相比可略去不计。,梁与刚架,位移计算公式,桁架,组合结构,拱,这些公式的适 用条件是什么?,在杆件数量多的情况下,不方便。下面介绍计算位移的图乘法.,3、图乘法及其应用,刚架与梁的位移计算公式为：,图乘法,(等截面杆),(对于直杆),此时，图乘法求位移公式为:,图乘法： 梁或刚架结构的位移积分公式等于一个弯矩图的面积A与其所对应的另一个直线弯矩图上的竖标yc相乘再除以EI。,A与yc在基线同侧，取正号； A与yc在基线异侧，取负号；,yc只能取自直线图形的弯矩图，如果弯矩图为折线，则应分段计算,几种常见图形的面积和形心位置的确定方法,例13-9 试求图示梁B端转角.,解:,MP,Mi,例13-

15、10 试求图示结构B点竖向位移.,解:,MP,Mi,图,图,例13-11 求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角,解:,图形分解,求,MP,Mi,求,MP,Mi,当两个图形均 为直线图形时,取那 个图形的面积均可。,求,Mi,取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 线或折线.,求,MP,Mi,求,MP,Mi,求C截面竖向位移,MP,Mi,小结,1. 图乘法的应用条件：,（1）等截面直杆，EI为常数；,（2）两个M图中应有一个是直线；,（3） 应取自直线图中。,2. 若 与 在杆件的同侧， 取正值；反之，取负值。,3. 如图形较复杂，可分解为简单图形。,例13-12 已知EI为常数，求A、B两

16、点相对水平位移,应用举例,MP,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,例13-13 已知EI为常数，求铰C两侧截面相对角 。,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,例13-14 图示梁EI为常数，求C点竖向位移。,例13-15 图示梁EI为常数，求C点竖向位移 。,例13-16 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。,图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。,MP,练习,对称弯矩图,反对称弯矩图,对称结构的对称弯矩图与其反对称弯矩图图乘,结果为零.,求B点水平位移。,练习,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,注意:各杆刚度 可能不同,已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 ,并画出变形图。,MP,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,已知 EI 为常数，求B截面转角。,MP,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,求B点竖向位移，EI=常数。,练习,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,求C、D两点相对水平位移 。,已知： E、I、A为常数，求 。,解：作荷载内力图和单位荷载内力图,若把二力杆换成弹簧,该如何计算?,B支座处为刚度k的弹簧，该如何计算C点竖向位移？,P,有弹簧支座的结构位移计算公式为:,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,例13-17 求A点竖向位移,EI=常数 。,