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1、1,铸造过程计算机模拟讲义 复习-导热过程的传热学原理与导热微分方程,冒国兵,2,主要内容,1、傅立叶定律 2、导热微分方程 3、导热过程的定解条件 4、简化假设与实际问题的模型化 5、凝固潜热的处理,3,第一节 导热过程与傅立叶定律/傅立叶定律,二 、傅立叶（Fourier）定律,表达式：,含义：反应了物体内部温度场和热流场之间的关系。说明了物体内部各点的热流密度与温度梯度成正比。同时，热流密度向量与温度梯度向量在同一直线上，但方向相反，都垂直于等温面。,直角坐标系分量：,4,第二节 导热微分方程,1、直角坐标系下导热微分方程的一般形式,表达式：,含义：揭示了温度随空间和时间的变化规律。,上
2、述方程也可写成：,为拉普拉斯算子,5,第二节 导热微分方程,3、克希霍夫变换,目的：消除导热一般方程中由于导热系数 随温度变化造成的 项的非线性，以便进行数值求解。,方式：定义标量,6,第二节 导热微分方程,则无内热源方程：,可得：,7,第二节 导热微分方程,4、热焓变换,目的：消除导热一般方程中由于等压热熔 随温度变化造成的 项的非线性，以便进行数值求解。,方式：定义热焓标量,8,第二节 导热微分方程,则无内热源方程：,9,第三节 导热过程的定解条件/边界条件,1、第一类边界条件,给定边界上的温度值，即：,2、第二类边界条件,给定边界上的热流密度，即：,常用绝热条件,10,第三节 导热过程的
3、定解条件/边界条件,3、第三类边界条件,给定边界上物体表面与周围流体间的对流换热系数hc及周围流体的温度Tf，即：,上述分类目的是从数学上便于求解方程组，实际上物体边界的传热现象是多种多样的。,11,第三节 导热过程的定解条件/边界条件,4、辐射换热边界条件,针对铸件的凝固过程，要考虑辐射换热边界条件和铸件/铸型界面边界条件的处理。,12,第三节 导热过程的定解条件/边界条件,针对上式进行线性化处理，得：,实际导热问题，可能同时存在对流和辐射换热，其边界条件为：,13,第三节 导热过程的定解条件/边界条件,5、金属/铸型界面边界条件,金属/铸型界面上存在由于热胀冷缩而形成的气隙，在金属型铸造中
4、，铸型表面还存在着涂料的作用。界面上的传热非常复杂。 于是在凝固过程数值模拟中，引入界面换热系数 来处理这类换热条件。,14,第三节 导热过程的定解条件/初始条件,在铸件凝固模拟时，若假设铸型瞬时充满并在充型过程中无热量交换，则初始条件为：,否则，,这一凝固初始时刻的温度分布，可通过数值模拟充型过程的流场耦合温度场得到。,15,第四节 简化假设与实际问题的模型化,1、简化或假设原因,其原因在于：人们对铸造过程的很多现象尚无规律性 的认识，或缺乏有关的基础数据；简化方程组的求解过程。,2、具体内容 铸型瞬时充满，在充型过程中无热交换作用，液体金属的初始温度即为浇注温度。 液体金属内部无对流作用，
5、亦即无能量与质量的传输。,铸造凝固过程的数值模拟研究中，人们常作一定的简化或假设。,16,液固态金属的热物性均为常数，即不随温度而变。 铸型材料的热物性值亦取为常数。 常不考虑金属铸型界面气隙的存在，或以简化的综合换热系数来描述而忽略其间复杂的传热过程。,3、模型化,在数值模拟过程中，我们总是针对实际问题，经过分析后进行 一系列合理的简化，做出若干必要的假设，以便最终得到恰当的 数学模型，这个过程通常称为模型化。,第四节 简化假设与实际问题的模型化,17,第五节 凝固潜热的处理,1、含凝固潜热的导热微分方程,结晶潜热的释放是凝固过程区别于一般导热过程的显著特点，可将其视为具有内热源的导热问题。
6、,对于方程：,于是：,式中， 即为单位体积金属在单位时间内固相率的增量。,18,第五节 凝固潜热的处理,19,第五节 凝固潜热的处理,2、合金固相率 与温度的函数关系,（1）平衡凝固条件下二元合金的固相率与温度的关系,图5-1 具有结晶温度范围的合金状态图,21,第五节 凝固潜热的处理,（2）非平衡凝固条件下二元合金的固相率与温度的关系,考虑固相无扩散，液相溶质均匀分布。 则由夏尔（Sheil）方程：,22,由上述两种 的表达式可知， 是温度的非线性函数，给数值计算带来困难。,第五节 凝固潜热的处理,因此，在凝固过程的数值模拟中，采用不同的方法来处理凝固潜热的析出。目前常用等价比热容法、温度回
7、升法和热焓法。,23,第五节 凝固潜热的处理,3、温度回升法（温度补偿法）,（1）概念,对纯金属、共晶合金或凝固温度范围很窄的合金来说，凝固开始后的一段时间内，固相不断增多，但温度基本上保持在熔点附近，这是由于释放的潜热补偿了传导带走的热量。,因此，可将潜热折算成所能补偿的温度降落，加入到温度计算中去，这就是温度回升法。,24,第五节 凝固潜热的处理,3、温度回升法（温度补偿法）,（2）回升温度,体积为V的液态金属凝固时所释放的潜热为：,如果这部分热量用于提高其自身温度，则应可升温：, 对于体积为V的单元体，在凝固阶段可供补偿的温度为T.,25,第五节 凝固潜热的处理,（3）计算应用举例,设某
8、种铜合金L41Cal/g，C0.089Cal/g,熔点为890 ，通过计算判别潜热已释放完毕。,设单元i在t时刻温度已降至熔点之下，如为880 ，则计算中应补偿10 ，使之恢复到熔点温度，同时记下已补偿的温度数。,t+t时刻，又降为870 ，则再补偿20 ，使之回升至890 ， 同时累计补偿数为30 。如此不断计算，直至补偿数达到461 ，说明潜热已释放完毕。,26,第五节 凝固潜热的处理,基于同样的考虑，潜热释放也可以固相的增加来判断。故此不用T而用fs来监测计算过程。每次计算使温度仍回升至熔点，同时记录累计的fs，当fs1说明凝固结束，也即潜热释放完毕。温度也就不能再回升了。,27,第五节 凝固潜热的处理,4. 有效比热法（等价比热法）,比热指单位质量物体降低单位温度时释放的热量。同样，单位质量金属在凝固温度范围内降低单位温度时释放的热量也可以理解为比热。,28,第五节 凝固潜热的处理,5. 热焓法,采用热焓法处理凝固结晶潜热时，主要是通过热焓变换来处理方程：,当考虑凝固相变时，合金热焓为：,29,第五节 凝固潜热的处理,采用差分格式对上式离散后，可直接求出下一时刻的热焓值，然后根据热焓定义式求出下一时刻对应的温度值。,