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1、1,层次分析法,2,层次分析法 (Analytic Hierarchy Process，简称AHP),一、层次分析法概述 二、AHP的基本原理 三、AHP的求解步骤 四、应用实例,3,一、层次分析法概述,美国运筹学家Saaty教授于二十世纪70年代提出的一种实用的多方案或多目标的决策方法。 主要特征是：合理地将定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。 1982年被引入国内后迅速地在我国社会经济各个领域内，如能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛的重视和应用。,4,二、层次分析法的基本原理,层次分析法的基本思想：把复杂问题分解为若干层次，在最低层
2、次通过两两对比得出各因素的权重，通过由低到高的层层分析计算，最后计算出各方案对总目标的权数，权数最大的方案即为最优方案。,例：,例：,7,层次分析法的基本假设：层次之间存在递进结构，即从高到低或从低到高递进。 层次分析法的基本方法：建立层次结构模型。 建立层次模型的步骤如下: (1)明确问题，搞清楚涉及的因素以及因素相互之间的关系。 (2)将决策问题层次化，划分为总目标层、分目标层和方案层。,8,三、AHP求解步骤,9,层次单排序求解过程,10,(一) 判断矩阵,概念：设Wi表示反映第i个方案对于某个最低层目标的优越性或某层第i个目标对于上层某一目标的重要性的权重，以每两个方案（或子目标）的相
3、对重要性为元素的矩阵A称为判断矩阵。,11,判断矩阵是层次分析法的核心。,12,判断矩阵中各元素的确定标度,对任意两因素的相对重要性进行判断，并予以量化。19标度方法列表如下：,13,设 ，则判断矩阵 的元素 具有三条性质：,满足这三条性质的判断矩阵，称为完全一致性判断矩阵。,n阶完全一致性判断矩阵的最大特征根为 其余特征根为 0。,14,实例,在城市公共交通系统中，针对“如何降低事故发生率”，可采取如下措施： P1：实行经济责任制； P2：加强职工培训(智力投资)； P3：加强交通管制(对行车安全有较大影响)； P4：发展快速电车； P5：修建人行天桥； P6：疏通瓶颈卡口； P7：合理限制
4、自行车。 如何确定上述措施对于目标的重要性次序(即权重)，从而为最终决策提供依据？,15,1，构造判断矩阵,16,(二) 权重的确定方法,设判断矩阵为：,为 的特征根， 为特征根所对应的特征向量。,17,特征向量近似解法,（1）将判断矩阵每一列归一化：,（2）将每一列经归一化后的矩阵按行相加：,1，和积法：,18,（3）将向量 归一化：,（4）计算判断矩阵最大特征根,所求得 即为所求特征向量。,其中 表示向量 的第 个元素。,19,2，求最大特征值及特征向量 (1)将判断矩阵每列归一化,实例,20,2，求最大特征值及特征向量 (2) 归一化后的矩阵按行加总,(3)将列向量归一化即得特征向量W
5、W=(0.044,0.075,0.103,0.021,0.212,0.137,0.409)T, (4)计算最大特征值Max=7.691 AW=(0.316,0.563,0.797,0.150,1.707,1.102,3.267)T,21,特征向量近似解法,2，方根法：,（1）计算判断矩阵A每行元素乘积的n次方根：,22,（3）计算判断矩阵最大特征根,其中 表示向量 的第 个元素。,（2）将向量 归一化：,所求得 即为所求特征向量。,23,(三) 一致性检验,构造好判断矩阵后，需要根据判断矩阵计算针对某一准则层各元素的相对权重，并进行一致性检验。虽然在构造判断矩阵A时并不要求判断具有一致性，但判
6、断偏离一致性过大也是不允许的。因此需要对判断矩阵A进行一致性检验。 通过计算一致性指标和检验系数进行检验。,24,CI，度量判断矩阵偏离一致性的指标,CI愈大，判断矩阵的一致性愈差； Max-n愈大，CI愈大，矩阵的一致性愈差； CI=0，判断矩阵具有完全一致性。,25,RI，平均随机一致性指标，是足够多个根据随机发生的判断矩阵计算的一致性指标的平均值。 39阶矩阵的RI取值见下表：,26,CR，检验系数,CR愈小，判断矩阵的一致性愈好； 一般地，当CR0.1时，可认为判断矩阵具有满意的一致性。否则需要调整判断矩阵，直至满意的一致性。,27,3，一致性检验,实例,28,(四) 层次总排序,利用
7、同一层次中所有层次单排序的结果，就可以计算针对上一层次而言的本层次所有元素的重要性权重值，这就称为层次总排序。层次总排序需要从上到下逐层顺序进行。对于最高层，其层次单排序就是其总排序。 若上一层次所有元素A1，A2，Am的层次总排序已经完成，得到的权重值分别为a1，a2，am与aj对应的本层次元素B1，B2，Bn的层次单排序结果为：,29,层次总排序表,30,31,32,总一致性检验,在(1)式中，CI为层次总排序的一致性指标，CIj为与aj对应的B层次中判断矩阵的一致性指标；在(2)式中，RI为层次总排序的随机一致性指标，RIj为与aj对应的B层次中判断矩阵的随机一致性指标；在(3)式中，C
8、R为层次总排序的随机一致性比例。 同样，当CR0.10时，则认为层次总排序的计算结果具有令人满意的一致性；否则，就需要对本层次的各判断矩阵进行调整，从而使层次总排序具有令人满意的一致性。,(1),(2),(3),33,小结：AHP求解步骤,建立层次结构模型； 对各层元素两两比较，构造判断矩阵； 求解判断矩阵的特征向量，并对判断矩阵的一致性进行检验； 一致性检验通过后，确定各层排序加权值，若检验不能通过，需要重新调整判断矩阵； 得出层次总排序。,34,案例2:,对深圳市建设用地进行生态适宜性评价，并根据评价结果提取深圳市基本生态控制区域 (王海鹰、张新长等，2009)。 利用德尔菲法确定影响城市
9、建设用地生态适应性的自然、社会经济和生态安全等因素，采用层次分析法计算相关影响因子权重。,35,36,续,38,39,40,附录：求最大特征值及特征向量,定理：设有因素C1，C2，Cn和目标D，记,则得判断矩阵C=(cij)nn,解矩阵C的特征方程 |C-E|=0，E为单位阵，求特征值i(i=1,2,n)，记最大特征值为max,对应的max的标准化特征向量为Y=(y1,y2,yn)T，则yi(i=1,2,n)为因素Ci对目标D的权重。,41,证明：设指标C1，C2，Cn对目标D的影响分别为正数x1,x2,xn,记为列向量X=(x1,x2,xn)T,通过专家评估得到比较矩阵C的判断矩阵为：,42,设C的特征值为，对应的特征向量为Y，解特征方程|C-E|=0 ，即,43,44,45,46,求对应于特征值Max的特征向量Y，解矩阵方程(C-nE)Y=0 ，即,47,48,49,50,则，特征向量,