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1、7.2 节 定解条件,什么是边界？ 由连接研究对象和环境的所有点组成的物理区域 对于一维系统，它是两个端点 对于二维系统，它是闭合曲线 对于三维系统，它是封闭曲面 要确定一个由数理方程描述的物理问题的解，必须给定所有边界上的信息：确切说明边界上的物理状况,边界条件,常见的线性边界条件，数学上分为三类： 第一类边界条件，直接规定了所研究的物理量在边界上的数值。 第二类边界条件，规定了所研究物理量在边界外法线方向上方向导数的数值。 第三类边界条件，规定了所研究物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。,边界条件,第一类,第二类,第三类,课堂作业（5 分钟）,弦的横振动问题，一端固定，另一端与一
2、竖直弹簧相连，弹簧的另一端固定，求这个定解问题的边界条件。 板书画图。 笔记 P66 页。,具体的例子（第一类边界条件）,弦的两端固定而振动，边界条件为,具体的例子（第一类边界条件）,热传导问题，杆的两端恒温，边界条件为,具体的例子（第二类边界条件）,具体的例子（第二类边界条件）,板书推导 笔记 P1 P2 页,具体的例子（第二类边界条件）,纵振动杆一端受沿外法向方向外力，根据胡克定律，边界条件为,具体的例子（第二类边界条件）,一端有已知热流流入的热传导问题，根据热传导定律，边界条件为,板书推导,具体的例子（第三类边界条件）,具体的例子（第三类边界条件）,板书推导 笔记 P2 页,具体的例子（
3、第三类边界条件）,杆的一端通过弹簧与固定点连接，经过受力分析，边界条件为,一个完整的定解问题的边界条件可以是三类边界条件的组合，例如：,一端固定另一端受力的杆的纵振动问题的完整边界条件为（第一类和第二类边界条件的组合）,一端恒温，另一端有已知热流的热传导问题的完整边界条件为（第一类和第二类边界条件的组合）,还有其他类型的边界条件 边界条件只要确切说明边界上的物理状况就行。 具体问题具体分析：把物理定律应用到边界上，就能得到需要的边界条件。,没有边界条件的问题,拿弦振动问题为例, 如果弦很长, 着重研究靠近一端的那段弦。在不太长的时间里, 另一端的影响还没来得及传到，不妨认为另一端并不存在，或者
4、说另一端在无限远，当然就无需提出另一端的边界条件。这样，有限长的真实的弦抽象成半无界的弦。 如果着重研究不靠近两端的那段弦，不妨认为两端都不存在，或者说两端都在无限远，当然就无需提出边界条件了。这样，有限长的真实的弦抽象成无界的弦。,看书,衔接条件,针对研究区域里的跃变点，泛定方程在跃变点失去意义,板书推导 笔记 P 23 页,衔接条件,针对研究区域里的跃变点，泛定方程在跃变点失去意义,板书推导,数学物理方程的分类 偏微分方程的分类,观看动画,偏微分方程：关于具有多个独立变量的未知函数及其偏导数的方程。 不同物理现象可以由相同的偏微分方程描述，因而具有相同的动力学规律。（举例说明）,线性二阶偏
5、微分方程,线性,二次,指数,线性二阶偏微分方程,满足如下特征的函数称为线性函数： 1. 叠加性,板书推导反例,线性二阶偏微分方程,满足如下特征的函数称为线性函数： 2. 常数因子不变,板书推导反例,线性二阶偏微分方程,其中,aij, bi, c, f 只是x1,x2,xn 的函数,就叫做线性的方程.,二阶偏微分方程如果可以表示为,则方程称为齐次的,否则叫非齐次的.,板书验证线性 解释P3页 笔记 P68页,课堂作业（5 分钟）,1. 如下方程是否为线性偏微分方程？给出说明。,如果泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解看作几个部分的线性叠加，只要这些部分各自所满足的泛定方程和定解条件相
6、应的叠加正好是原来的泛定方程和定解条件就行。这叫做叠加原理。,叠加原理,适当解释,线性非齐次常微分方程的通解等于非齐次方程的特解 + 齐次方程的通解。,双曲型方程 两个自变数方程的分类,一维波动方程：弦的横振动方程,杆的纵振动方程,电报方程等都是标准形式的双曲型方程。,抛物型方程 两个自变数方程的分类,一维输运方程：扩散方程、热传导方程都是标准形式的抛物型方程,椭圆型方程 两个自变数方程的分类,二维拉普拉斯方程：静电场方程、稳定温度分布方程都是标准形式的椭圆型方程,达朗贝尔公式 定解问题,大家已经熟悉常微分方程的常规解法: 先不考虑任何附加条件, 从方程本身求出通解, 通解中含有任意常数 (积
7、分常数), 然后利用附加条件确定这些常数. 偏微分方程能否仿照这种办法求解呢?,课堂作业（5 分钟）,在无界空间内求如下定解问题的解：,注意方程是线性的 笔记 P 68 页,达朗贝尔公式,运用达朗贝尔公式，给出无界或半无界条件下波动方程解的物理图象；数学上把偏微分方程化为常微分方程求解。,达朗贝尔公式,数学上把偏微分方程化为常微分方程求解。,板书推导 笔记P4页,作变量代换,变量代换的思想是数学和物理学中重要的解决问题的思路。,达朗贝尔公式,无界振动方程的通解,达朗贝尔公式,不同于常微分方程的情况, 式中出现任意函数而不是任意常数.,振动方程的通解,达朗贝尔公式,这个偏微分方程描写以速度 a
8、向两方传播的行波。,板书解释 笔记P4 页,由初始条件确定待定函数,我们假定所研究的弦、杆、传输线是“无限长”的，这就不存在边界条件。设初始条件是,该定解问题的解为,达朗贝尔公式,板书推导 笔记 P5 页,没有边界条件的问题,拿弦振动问题为例, 如果弦很长, 着重研究靠近一端的那段弦。在不太长的时间里, 另一端的影响还没来得及传到，不妨认为另一端并不存在，或者说另一端在无限远，当然就无需提出另一端的边界条件。这样，有限长的真实的弦抽象成半无界的弦。 如果着重研究不靠近两端的那段弦，不妨认为两端都不存在，或者说两端都在无限远，当然就无需提出边界条件了。这样，有限长的真实的弦抽象成无界的弦。,看书
9、,（P172）例一：定解问题为,初始速度为零,初始位移,（P172）例一：波已“通过”的地区，振动消失而弦静止在原平衡位置。,观看动画,（P173）例二：定解问题为,初始位移为零,初始速度,更正书上错误并推导 笔记 P5 页,（P173）例二：波已“通过”的地区，虽然振动也消失，但偏离了原平衡位置。,观看动画,端点的反射,定解问题：,端点的反射,奇延拓：,板书解释偶延拓和奇延拓的物理意义 笔记 P5,端点的反射,运用达朗贝尔公式：,板书推导 笔记 P6页,端点的反射,运用达朗贝尔公式：,端点的反射,观看动画,端点的反射,板书推导半无限长杆的自由振动，杆的端点自由。笔记 P6页,定解问题是一个整
10、体,从偏微分方程解出达朗贝尔公式的过程，与大家所熟悉的常微分方程的求解过程是完全类似的。 但是很可惜，绝大多数偏微分方程很难求出通解；即使已求得通解，用定解条件确定其中待定函数往往更加困难。 除了达朗贝尔公式一类极少的例外，不可能先求偏微分方程的通解然后再考虑定解条件，必须同时考虑偏微分方程和定解条件进行求解,达朗贝尔方程是对方程解的理解，但对于一般复杂问题的情形，简单的行波解形式是求不出来的。,定解问题的适定性,有解 解是唯一的 解是稳定的 稳定性：如果定解条件的数值有细微的改变，解的数值也只作细微的改变 非线性偏微分方程的解就有可能是不稳定的，出现混沌。,很长时间以后，位移自然出现比较大的
11、偏差,板书证明达朗贝尔解的稳定性。 笔记 P7页,分离变数法（傅里叶级数法）,先求泛定方程通解的办法只适用于很少数的某些定解问题。 分离变数法（傅里叶级数法）是定解问题的一种基本解法，适用于大量的各种各样定解问题。 分离变数法的基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。,课堂作业（5 分钟）笔记P69页,求解如下定解问题：,两端固定的均匀弦的自由振动,波在两端点之间反射，两列反向行进的同频率的波形成驻波，尝试驻波解,驻波,观看动画,驻波,在驻波中，有些点振幅最大，叫作波腹；有些点振幅最小，叫作波节。 驻波没有波形传播现象，各点振动相位并不依次滞后。 各点按同一方式随时间 t 振动，可以统一表示为 T(t) 各点的振幅 X 随地点 x 变化，振幅 X 是 x 的函数 X(x),驻波,自变数 x 只出现于 X(x) 之中，自变数 t 只出现于 T(t) 之中，驻波的一般表示式具有分离变数的形式。 尝试驻波解,板书讲解分离变量法 笔记 P7 页,