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1、例 计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。设铜中的电场为E0sint，铜的电导率=6.8107S/m, 0。 解： 铜中的传导电流大小为,例 证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流总量为零。解： 根据麦克斯韦方程,可知，通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为,例 在坐标原点附近区域内，传导电流密度为,试求： (1) 通过半径r=1mm的球面的电流值； (2) 在r=1mm的球面上电荷密度的增加率； (3) 在r=1mm的球内总电荷的增加率。,解：(1),(2) 因为,由电流连续性方程式，得,(3) 在r=1 mm的球内总电荷的增加率：,例 在无源的自由空间中，已知磁场强度,求位移电流密
2、度Jd。 解：无源的自由空间中J=0,例 证明均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。 解：将J=E代入电流连续性方程，考虑到媒质均匀，有,由于,例 已知在无源的自由空间中，,其中E0、为常数，求H。 解：所谓无源，就是所研究区域内没有场源电流和电荷，即J=0, =0。,由上式可以写出：,例 设z=0 的平面为空气与理想导体的分界面，z0 一侧为理想导体，分界面处的磁场强度为,试求理想导体表面上的电流分布、电荷分布以及分界面处的电场强度。 解：,假设t=0 时，S=0，由边界条件nD=S以及n的方向可得,例 证明在无初值的时变场条件下，法向分量的边界条件已含于切向分量的边界条件之中，即只有
3、两个切向分量的边界条件是独立的。 因此，在解电磁场边值问题中只需代入两个切向分量的边界条件。 解： 在分界面两侧的媒质中，,将矢性微分算符和场矢量都分解为切向分量和法向分量，即令,于是有,由上式可见：,对于媒质 1 和媒质 2 有,上面两式相减得,代入切向分量的边界条件：,有,从而有,如果t=0 时的初值B1、B2都为零，那么C=0。 故,同理，将式,中的场量和矢性微分算符分解成切向分量和法向分量，并且展开取其中的法向分量，有,此式对分界面两侧的媒质区域都成立， 故有,将两式相减并用,代入，得,再将切向分量的边界条件,例 设区域(z0)的媒质参数r2=6, r2=20, 2=0。区域中的电场强
4、度为,区域中的电场强度为,试求： (1) 常数A； (2) 磁场强度H1和H2； (3) 证明在z=0处H1和H2满足边界条件。,解：(1) 在无耗媒质的分界面z=0处， 有,由于E1和E2恰好为切向电场，,(2) 根据麦克斯韦方程,有,所以,同理，可得,(3) 将z=0代入(2)中得,例 试求一段半径为b，电导率为，载有直流电流I的长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。 解：如图一段长度为l的长直导线，其轴线与圆柱坐标系的z轴重合，直流电流将均匀分布在导线的横截面上，于是有,坡印廷定理验证,在导线表面，,因此，导线表面的坡印廷矢量,其方向处处指向导线的表面。将坡印廷矢量沿导线段表面积分
5、，有,例 一同轴线的内导体半径为a，外导体半径为b，内、外导体间为空气，内、外导体均为理想导体，载有直流电流I，内、 外导体间的电压为U。求同轴线的传输功率和能流密度矢量。 解：分别根据高斯定理和安培环路定律，可以求出同轴线内、外导体间的电场和磁场：,上式说明电磁能量沿z轴方向流动，由电源向负载传输。 通过同轴线内、外导体间任一横截面的功率为,这一结果与电路理论中熟知的结果一致。,例 将下列场矢量的复数形式写为瞬时值形式。,例 已知无源(=0, J=0)的自由空间中，时变电磁场的电场 强度复矢量 式中k、E0为常数。求： 磁场强度复矢量； 坡印廷矢量的瞬时值； 平均坡印廷矢量。,解： (1),
6、由 得,(2) 电场、 磁场的瞬时值为,所以，坡印廷矢量的瞬时值为,(3) 平均坡印廷矢量：,例在无源区求均匀导电媒质中电场强度和磁场强度满足的波动方程。 解：考虑到各向同性、线性、均匀的导电媒质和无源区域，由麦克斯韦方程有,所以，电场强度E满足的波动方程为,同理，可得磁场强度满足的波动方程为,例已知时变电磁场中矢量位 ，其中Am、k是常数，求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。,解：,如果假设过去某一时刻，场还没有建立，则C=0。,坡印廷矢量的瞬时值为,例 已知无源(=0, J=0)的自由空间中，时变电磁场的电场 强度复矢量 式中k、E0为常数。求： 磁场强度复矢量； 坡印廷矢量的瞬时值； 平均
7、坡印廷矢量。,解： (1),由 得,(2) 电场、 磁场的瞬时值为,所以，坡印廷矢量的瞬时值为,(3) 平均坡印廷矢量：,解：(1),(2),(3),例 试求一段半径为b，电导率为，载有直流电流I的长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。,坡印廷定理验证,解：如图一段长度为l的长直导线，其轴线与圆柱坐标系的z轴重合，直流电流将均匀分布在导线的横截面上，于是有,在导线表面，,因此，导线表面的坡印廷矢量,其方向处处指向导线的表面。将坡印廷矢量沿导线段表面积分，有,例 一同轴线的内导体半径为a，外导体半径为b，内、外导体间为空气，内、外导体均为理想导体，载有直流电流I，内、 外导体间的电压为U。求同轴线的传输功率和能流密度矢量。 解：分别根据高斯定理和安培环路定律，可以求出同轴线内、外导体间的电场和磁场：,上式说明电磁能量沿z轴方向流动，由电源向负载传输。 通过同轴线内、外导体间任一横截面的功率为,这一结果与电路理论中熟知的结果一致。,