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1、时间序列分析,信息与通信工程学院 叶方,学习内容,什么是随机时间序列 为什么要讨论随机时间序列 如何进行随机时间序列分析 利用时间序列分析解决实际工程问题,离散随机过程,为什么要讨论随机时间序列,时间序列包含了产生该序列的系统的历史行为的全部信息，问题在于怎样才能根据这些时间序列较精确的找出相应系统的内在统计特性和发展规律，尽可能多地从中提取出我们所需要的准确信息。 根据系统的有限长度的运行记录（观测数据），建立能够比较精确反映时间序列中所包含的动态依存关系的数学模型，通过对随机序列的分析，达到解决预测、决策、滤波（将有关信息从无关信息中滤出）和检测等问题。,时间序列的特点,时间序列与其他变量
2、数列不同，序列中的观察值是按照一定顺序取得的，并保持其顺序不变，只有这样才能保证研究现象的历史发展过程不改变。 时间序列的观察值之间存在一定得依存关系，而数理统计研究的其他变量数列一般要求变量各自独立。时间序列分析要定量的描述这种依存关系。 时间序列根据预测变量本身或其它相关变量过去的变化规律动态预测未来的变化，而非根据变量间的静态相关关系来预测。,时间序列与数理统计学的区别,数理统计的样本值是对同一随机变量进行多次独立重复试验的结果，是多个相互独立、同分布的随机变量序列的一个实现。时间序列是某一随机过程的一次样本实现。 数理统计学中进行统计推断的目的主要是对一个随机变量的分布参数进行估计或假
3、设检验。时间序列分析中是对某一个时间序列建立统计模型。 数理统计学中的回归模型描述的是因变量和其它变量之间的统计静态依存关系。时间序列分析中自回归模型描述的是某一变量自身变化的统计规律。,如何进行时间序列分析,掌握平稳随机序列统计特性及谱特性 掌握时间序列的数学模型，从时域和频域分别进行探讨。 （1）模型的建立（包括ARMA、AR、MA模型） （2）模型的平稳性和可逆性 （3）模型性质（谱密度、自相关函数、偏相关函数） （4）参数和相关函数的关系、参数估计 利用时间序列数学模型进行预测、实际工程分析,本课时主要学习内容,回顾一元回归线模型 学习一元自回归线模型 建立ARMA模型、AR模型、MA
4、模型 探讨上述三个模型之间的关系,一元线性回归模型,一元线性回归模型,由于是 确定性函数，因此 的随机性完全由 的随机性所引起 正是由于 是白噪声，所以 完全回归于,物理含义,参数的最小二乘估计,一元线性自回归模型,一元线性回归模型中观测数据对： 若以 组成数据对： 相应回归模型变为,一元线性自回归模型,自回归模型,定义,设 为零均值的平稳时间序列。阶数为P的自回归模型为：,其中：,白噪声,自回归系数,常数p（正整数）叫做阶数,自回归AR（p）模型,引入延迟算子,的根全在单位圆外，即所有的根的模大于1，则称此条件为 AR（p）模型的平稳性条件。,(2) 在满足平稳性条件时， 存在且一般为B的幂
5、级数，则 为AR（p）模型的逆转形式。AP（p）模型可以看作是把相关的 变为一个不相关序列 的系统。,滑动平均模型,定义,设 为零均值的平稳时间序列。阶数为q的滑动平均模型为：,常数q（正整数）叫做阶数,滑动平均系数,滑动平均MA（q）模型,引入延迟算子,的根全在单位圆外，即所有的根的模大于1，则称此条件为 MA（q）模型的可逆性条件 。,(2) 在满足可逆性条件时， 存在且一般为B的幂级数，则 为MA（q）模型的逆转形式。 MA（q）模型可以 看作是白噪声序 列 输入线性系统的输出 。,自回归滑动平均ARMA(p,q)模型,定义 引入延迟算子,设 为零均值的平稳时间序列。 p阶自回归 q 阶
6、滑动平均混合模型：,其中， 、 无公共因子， 满足平稳性条件， 满足可逆性条件。,ARMA模型的物理背景和物理含义,从数理统计的角度看，它是一个转化器将相关的平稳时序转化为独立的平稳时序。 从信号处理的角度看，它是一个估计器利用已有的观测数据对某一位置数据的取值进行估计。当此未知数据是过去的历史数据时，ARMA模型是一个平滑器；当此未知数据是现在数据时，ARMA模型是一个预测器。 从信息论的角度看，它是一个信息的凝聚器，将大量数据所蕴含的信息凝聚成少数几个模型参数，便于分析。 从系统分析的角度看，它是一个以白噪声为输入的、与某一实际物理系统输出等价的系统离散动力学方程，用以反映实际系统的特性。
7、,ARMA(p,q)序列VS具有理谱的平稳序列,具有理谱的平稳序列定义,设是 零均值平稳序列，它的谱密度 是 的有理函数：,其中， 与 是 的实系数多项式,与 无公共因子，且零点全部在复平面上的单位圆 之外，即 满足可逆性， 满足平稳性，则称是 具有有理谱密度的平稳序列。,ARMA(p,q)序列VS具有理谱的平稳序列,随机差分方程的平稳解 定理 具有有理谱密度的均值为零的平稳序列，一定是随机差分方程的一个平稳解。反之，方程的平稳解一定具有有理谱密度。,设 满足可逆性， 满足平稳性，如果均值为零的平稳序列 满足：,则称 是随机差分方程的平稳解。,格林函数和逆函数,问题： 对于一般的 模型， 如何用白噪声 表示； 反之，白噪声 如何用 表示。,格林函数,逆函数,应用随机序列实例 自适应噪声对消器,随机噪声序列,