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1、1,标尺刻度的设计,13.1 实验目的,本实验涉及微积分和线性代数的若干基本知识。通过实验复习函数的反函数、定积分的应用和计算、解微分方程和解代数方程组等内容；并且介绍了连续型数学问题近似化处理的若干基本技巧，例如插值法、二分法和两点边值问题的差分法等。,13.2 实际问题,在石油的生产地和加工厂，为了储存原油，经常使用大量的储油罐。油罐的外形为一个圆柱体和两个圆锥体的组合，上端有一注油孔（见图13.1）。,2,由于经常注油和取油，有时很难知道油罐中剩油的数量。这给现有储油量的统计带来很大的麻烦。显然，将剩油取出计量是不现实的。因此，希望能设计一个精细的标尺：工人只需将该尺垂直插入使尺端至油罐
2、的最底部，就可以根据标尺上的油痕位置的刻度获知剩油量的多少。这是一个来自油田的问题。,3,13.3 数学模型,设圆柱的底面半径为R，长度为L；而圆锥的底面半径也是R，高为A。若标尺被油浸湿位置的高度为H，而此时罐内的油量为V。那么我们的问题归结为求出函数,换言之，要求油量函数,的反函数。,4,由于对称性，我们只要研究,的情形就行了。,13.4 问题的解法,求油量函数的解析方法,其中,和,分别为相应圆柱和圆锥（一侧部分）,中的储油量。,先求,。,5,设圆柱体截面中储油部分对应的弓形区域面积为S(H)，弓形对应的圆心角的一半为,那么易得,利用三角函数表达式，就有,6,7,再求,设与圆锥体底面平行且
3、距底面x处的截面上表示储油部分的弓形区域面积为Q，那么和前面S不同的是：Q不仅与H有关，而且与x有关。设该弓形的半径为r高为h，,由几何关系（见图13.3）不难看出：,从而得到,8,于是类似于S的求法，有,通过作变换,9,这个积分虽然比较复杂，但还是可以积出来，建议读者自己进行计算，也可以借助数学软件。具体结果为,从而可知,10,综合（13.4）、（13.6）和（13.11）三式，就有,11,刻度位置函数的求法,显然，要由油量函数的解析表达式（13.12）来解析地求出反函数H(V)的显式表示是不可能的。,介绍两种近似方法。,1插值法,将区间0，R作如上等分：,那么由式（13.12）可以求得V在
4、各分点的值：,现在的问题是：如果给出油量V*，如何确定（求出）相应的标尺刻度位置H*？,而这实际上是求方程,的根。,12,（1）线性插值,设,，在此区间上用线性函数近似H(V)，则有,（2）二次插值,先找出最接近的V*的,用二次函数近似H(V)，则有,，然后在,插值方法还有多种，这里介绍的是最简单的。,13,2二分法,综上所述，可以将标尺刻度设计的过程归纳为：,步骤一 把区间0，R依精度需要分成n等份，,得剖分点,；其中,利用公式（13.12）算出刻度位置,处相应的油量,。,步骤二 根据所需的各油量读数所在上一步骤中的某一油量区间，通过插值或二分逼近法获得相应的刻度位置值。,14,五、数值实例,现在我们以,（单位：m）为例进行实际计算。,（1）求油量函数的值 取,，由油量表达式（16.12）可得计算结果如表13.1所示。,15,（2）用插值法求刻度位置的值,这里我们仅求对应,的H*的值。,由式（13.14）得线性插值近似值为,而由式（13.15）得二次插值近似值为,两种插值得到的结果有相同的两位有效数字， 说明线性插值在此已有了相当的精度。,16,（3）用二分法求刻度位置的值,我们仍以,即0.002 5，那么计算的结果,为例，如要求误差界为1/400,与前述插值法的结果很接近。,13.6 实验任务,