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1、4.2 方 差 前面曾提到在检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长度，还要注意纤维长度与平均长度的偏离程度那么，怎样去度量这个偏离程度呢？ 用EX E(X)来描述是不行的，因为这时正负偏差会抵消； 用E|X E(X)|来描述原则上是可以的，但有绝对值不便计算； 通常用EX E(X)2来描述随机变量与均值的偏离程度,第四章 随机变量的数字特征,4.2.1 方差的概念与计算 定义4.3 设X是随机变量，若EX E(X)2存在，则称其为X的方差，记为D(X) (或Var(X)，即 称 为X的标准差 特别地，如果X是离散型随机变量，分布律为 则 如果X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，则,将方差
2、定义式右端展开，并利用数学期望性质可得 即 今后我们会经常利用这个式子来计算随机变量X的方差D(X).,4.2.1 方差的概念与计算,【例4.13】求例4-2中随机变量X的方差D(X). 解：由于 1161 所以,4.2.1 方差的概念与计算,4.2.1 方差的概念与计算,【例4.14】设随机变量X服从参数为（ 0）的泊松分布，求D(X) 解：由于X的分布律为 ，k = 0，1，2， 在例4-4中已经求出 ，下面计算E(X 2)： 故,4.2.1 方差的概念与计算,【例4.15】设随机变量X服从参数为（ 0）的指数分布，求D(X) 解：由于指数分布的概率密度为 在例4-7中已求出 ， 故有,4
3、.2.1 方差的概念与计算,【例4.16】设随机变量X服从(a，b)上的均匀分布，求D(X) 解：由于均匀分布的概率密度为 所以,4.2.1 方差的概念与计算,【例4.17】设(X，Y)的概率密度为 求D(X)及D(Y) 解：记D：| y | x，0 x 1，如图，则 ,4.2.1 方差的概念与计算,【例4.18】已知随机变量X的概率密度为 又E(X) = 0.5，D(X) = 0.15，求a，b，c 解：由于 从上面三个方程中可以解得a = 12,b = 12,c = 3,4.2.2 方差的性质 (1) 设c是常数，则D(c) = 0； (2) 设c是常数，X是随机变量，则 D(cX) =
4、c2D(X)，D(X + c) = D(X)； (3) 设X，Y是两个随机变量，则有 D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2EX E(X)Y E(Y)； 特别，当X，Y是相互独立的随机变量时，有 D(X + Y) = D(X) + D(Y)； (4) D(X) = 0的充要条件是X以概率1取常数c，即PX = c = 1,4.2.2 方差的性质,(1) 设c是常数，则D(c) = 0； 证明： (2) 设c是常数，X是随机变量，则 D(cX) = c2D(X)，D(X + c) = D(X)； 证明：,4.2.2 方差的性质,(3) 设X，Y是两个随机变量，则有 D(X + Y) =
5、 D(X) + D(Y) + 2EX E(X)Y E(Y)； 特别，当X，Y是相互独立的随机变量时，有 D(X + Y) = D(X) + D(Y)； 证明： 当X，Y是相互独立的随机变量时，,4.2.2 方差的性质,性质(4)证明从略. 由性质(2)和(3)容易推广得到，若X1，X2，Xn是相互独立的随机变量， 为常数，则 前面例4-3中已经用定义求出了二项分布的数学期望，现在再用数学期望和方差的性质来求它的期望和方差。,4.2.2 方差的性质,【例4.19】设随机变量X服从二项分布B(n，p)，求E(X)和D(X) 解：X可视为n重伯努利试验中某个事件A发生的次数，p为每次试验中A发生的概
6、率 引入随机变量Xi（i = 1，2，n）： 则 又,4.2.2 方差的性质,因为X1，X2，Xn相互独立，且 由数学期望和方差的性质可得,4.2.2 方差的性质,【例4.20】一机场班车载有20名乘客自机场开出，途中有10个车站可以下车，如果到达一个车站没人下车则不停车，用X表示班车的停车次数，求X的数学期望E(X)及标准差（设每位乘客在各个车站下车是等可能的，且各位乘客是否下车相互独立） 解：依题意，每位乘客在第i个车站下车的概率均为1/10，不下车的概率均为9/10, 则班车在第i个车站不停车的概率为 所以,4.2.2 方差的性质,从而，,4.2.2 方差的性质,【例4.21】设随机变量
7、X服从正态分布 求D(X) 解：设 ，由于 所以ZN(0，1)，从而 又E(Z) = 0，所以 故,【实验4-1】用Excel计算例4-2中随机变量的数学期望与方差 实验准备： 函数SUMPRODUCT的使用格式： SUMPRODUCT(array1,array2,array3, .) 功能：返回多个区域array1,array2,array3, . 对应数值乘积之和,实验步骤： ( 1) 整理数据如图4-2左所示 图4-2 计算数学期望 (2) 计算E(X)，在单元格B8中输入公式：= SUMPRODUCT(A2:A7, B2:B7) 得到期望E(X)如图4-2右所示,(3) 为了计算方差，首先计算xi E(X)2，在单元格C2中输入公式：= (A2-B$8)2 并将公式复制到单元格区域C3:C7中，如图4-3左所示 图4-3 计算方差 (4) 计算方差，在单元格B9中输入公式：= SUMPRODUCT(C2:C7, B2:B7) 即得计算结果如图4-3右所示,【建模实例】,解,(1) 建立概率模型,因为的概率密度为,所以,(2) 模型求解,分布,参数,数学期望,方差,两点分布,二项分布 B(n,p),泊松分布 (),均匀分布 U(a,b),指数分布 Exp(),正态分布 N(,2),重要分布的期望和方差,