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1、同学们，我们学习了误差理论的基本概念。那么如何处理观测数据、在处理数据中遵循何种原则？ 本次课程我们将简要地叙述这一问题。,第四章 平差数学模型与最小二乘原理,4.1 测量平差概述 4.2 函数模型 4.3 函数模型线性化 4.4 测量平差的数学模型 4.5 参数估计与最小二乘原理,Chapter 4 Mathematical Model of Adjustment and Principle of Least Squares,4.1 测量平差概述 General,一、测量控制网简介 1.高程控制网(水准网或三角高程网) 包括闭合水准网和符合水准网、三角高程网 网中元素：已知高程点，未知高程点
2、和高差观测值 距离 测站数,2. 平面控制网 1）三角网：包括测角三角网、测边三角网和边角同测三角网。 （1）测角三角网： 包括独立三角网和符合三角网。 网中元素：已知点、未知、角度观测值,（2）测边三角网： 包括独立测边网和符合测边网 网中元素：已知点，未知点和观测边长,（3）边角三角网： 包括独立边角网和符合边角网。 网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长,2）导线网：包括独立导线网和符合导线网。 网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长。 3）三维GPS控制网 网中元素：已知点，未知点，基线向量。,二、必要起算数据 确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据：起算数据 水准网（三角
3、高程网）： 测角网： 测边网和边角网：,确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据：起算数据 水准网（三角高程网）：,：一个已知点高程,确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据：起算数据 测角网：,（1）两个相邻点坐标 （2）一个已知点坐标，一个相邻已知方位， 一个相邻已知边长。,测边网和边角网：,一个已知点坐标，一个相邻已知方位， 一个相邻已知边长或两个相邻点坐标。,三、必要观测 必要观测/必要元素：唯一确定一个确定几何、物理模型 的形状、大小所必须进行的观测称为必要观测，其符号 用符号t表示。 必要元素的特点： （1）元素的个数仅与几何模型有关而与实际观测量无关 （2）必要元素之
4、间函数独立,必要观测量？ 条件方程？ 必要观测量？ 条件方程？,四、多余观测 必要观测之外的观测称为多余观测，其数目用符号r表示。多余观测数观测总数必要观测数（r=n-t） 与控制网有关几个基本概念： 必要观测、观测量、 起算数据、多余起算数据 待求量,必要观测的特点： 元素的个数仅与几何模型有关而与实际观测量无关 必要元素之间函数独立 问题 ： 多余观测： r=n-t nt 条件方程： 观测误差存在使得测量平差有必要，多余观测使得测量平差得以实现,仅有必要观测能否完成测量工作？观测结果是否可靠？,几何量符号表示,1、必要观测次数 t（个数和类型） 2、实际观测次数n 3、多余观测次数 r 4
5、、 观测值 5、 真值 6、 真误差 7、 估值 8、 平差值,五、几何模型,1、确定几何模型的必要元素（必要观测量） （1）几何模型的形状2个 （2）形状、大小3个 （3）形状、大小、位置6个 2、必要元素的选取与性质 （1）能唯一确定该模型 （2）最少需要 （3）元素间不存在任何确定的函数关系,测边网和边角网：,一个已知点坐标，一个相邻已知方位。,由于观测不可避免地存在偶然误差，当nt时，几何 模型中应该满足r=n-t个条件方程，实际存在闭俣差而并不 满足，如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使 其达到消除闭合差的目的，这是测量平差的主要任务。 一 个测量平差问题，首先要由观测值和
6、待求量间组成数学模 型，然后采用一定的平差原则对待求量进行估计，这种估计 要求是最优的，最后计算和分析成果的精度。,观测误差存在使得测量平差有必要，多余观测使得测量平差得以实现,函数模型： 是描述观测量与未知量间的数学函数关系模型，是确定客观实际的本质或特征的模型。 几何模型：各种测量控制网 几何观测量：方向、角度、高差、边长 物理模型：与时间、速度、加速度等物理量相关的模型； 物理观测量：时间、速度、加速度,4.2 测量平差函数模型 Functional Model,一、条件平差的函数模型 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。 出发点：观测量之间的函数关系式条件方程 在具体测量问
7、题中，实际观测次数 n，必要观测次数t ，则多 余观测次数r ，那么可建立(n-t)个条件方程，即：,测量平差函数模型,二、间接平差法,选择几何模型中t个独立量为平差的参数，将每一个观测量表达成 所选参数的函数，以此为平差的函数模型，称为间接平差法。 在具体测量问题中，实际观测次数n ，必要观测次数t ，则多余 观测次数r=(n-t) 。选择t个函数独立的参数后可列出观测方程：,线性方程情况下,其中,三、附有参数的条件平差法,线性方程情况下,四、 附有限制条件的间接平差法,线性方程情况下,4.3 函数模型线性化 Linearization of Functional Model,四种平差方法的
8、一般形式分别为,条件平差法：,间接平差法：,附有参数的条件平差法： 附有条件的间接平差法：,若平差的函数是非线性的，平差之前就要进行线性化。 线性化的方法是应用台劳级数展开，保留一次项,对于函数,按台劳级数展开则有,令,则函数F的线性形式是,4.4 测量平差的数学模型 Mathematical Model,一、平差的随机模型,随机模型：描述平差问题的中随机量及其相互间统计相关性质的模型, 随机模型描绘的是观测值的统计性质，是通过观测值的数学期望和协方差阵（协因数阵）来表示，借以说明观测值是否受系统误差的影响、观测值的精度季它们是否相关等。,二、数学模型,1、条件平差 2、间接平差（Gauss-
9、Markoff模型）,3、附有参数的条件平差 4、 附有限制条件的间接平差法,4.5参数估计与最小二乘原理 Estimation of Parameters and Principles of Least Squares,一、参数估计及最优性质 平差问题是由于测量中进行了多余观测而产生，不论何种平差方法，平差最终目的都是对参数和观测量 （或）作出某种估计，并评定其精度。所谓评定精度，就是对待估量的方差与协方差作出估计。所以，可统称为对平差模型的参数进行估计。,无偏性 一致性 有效性,一、参数估计及最优性质 数理统计理论证明，具有无偏性、最优性的估计量必然是一致性估计量，所以测量平差中参数的最佳估值要求是最优无偏估计量。由于平差模型是线性的，最佳估计也称为最优线性无偏估计。,二、最小二乘原理 测量平差就是测量数据调整，调整原则是使得观测值残差的平方和极小为原则：,观测量： 调整后的估值 改正数残差 观测值权阵,小结,重点：理解必要观测、必要起算数据、多余观测的概念 掌握：函数模型、随机模型的涵义、作用和实质 理解：四种平差方法的函数模型 函数模型线性化的方法 最小二乘原理 了解：最小二乘估计的性质,