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1、第5章 误差理论基本知识,本章内容：误差分类及其特性、算术平均值、衡量精度的标准、误差传播定律、误差理论应用。,5-1 测量误差概述,1. 基本概念 误差的定义：被观测量的观测值与其真值之差。 真值：被观测量的真实大小，属理论值。 三大客观条件：仪器条件、观测条件、外界条件。 误差产生原因：实践表明，由于三大客观条件的存在，对同一量进行观测多次时，测量结果总是存在着差异。,5-1 测量误差概述,1. 基本概念 粗差：读错、记错、测错等错误，统称粗差。粗差在测量中不允许出现，它不属于误差的范畴。 等精度观测：三大客观条件相同的观测。 不等精度观测：三大客观条件不同的观测。,5-1 测量误差概述,
2、2. 误差的分类 误差按性质分为：系统误差、随机（偶然）误差。 2.1 系统误差 定义 在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若误差出现的符号、数值的大小均相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。,5-1 测量误差概述, 性质 系统误差具有累积性。它可以通过适当的观测方法或计算方法加以消除。,5-1 测量误差概述,2.2 随机（偶然）误差 定义 在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若误差出现的大小和符号均不一致，且从表面上看没有任何规律性，这种误差称为随机误差。 例如，估读误差、气泡居中误差、照准误差等。,5-1 测量误差概述, 性质 随机误差表面上无规律可寻，但受其内部
3、必然规律的支配。 实践表明：对某量进行多次观测，在只含有随机误差的情况下，其误差出现统计学上的规律性。观测次数越多，规律性越明显。 例如，掷硬币，出现正反面的机会，随次数的增多而趋于相等。,正面,反面,正面,反面,反面,正面,正面,反面,反面,5-1 测量误差概述, 随机误差的特性 有界性 在一定的观测条件下，随机误差的绝对值不会超过一定限度。 范围性 在一定的观测条件下，绝对值较小的随机误差出现的概率比绝对值较大的误差出现的概率大。,5-1 测量误差概述, 对称性 在一定的观测条件下，绝对值相等的正、负误差出现的概率相等。,+,-,-,+,+,-, 抵偿性 在一定的观测条件下，同一量的等精度
4、观测，其随机误差的算术平均值，随着观测次数的增多而趋于0，即 其中， 为总和的意思，相当于“”,5-1 测量误差概述,+,-,+,+,-,-,3. 学习误差理论知识的目的 了解随机误差的特性； 正确处理观测值，得出最可靠结果，衡量精度； 用误差理论指导实践，规划测量作业，达到预期精度。,5-1 测量误差概述,O,Y(k/n/d),X(),1.算术平均值 在等精度观测条件下，对某量进行多次观测，通常取其平均值作为最后结果，认为是最可靠的。例如，对某量丈量4次，观测值为l1，l2，l3，l4 则算术平均值为,5-2 观测值的算术平均值,若观测n次，则,2. 观测值的改正数v 改正数的定义：观测值与
5、算术平均值之差。即,5-2 观测值的算术平均值,上式两端取和有：,因,所以,即，观测值的改正数之和为0，它可以作为计算工作的检核。,所谓精度，即是指误差分布的集中与离散程度，误差分布集中，说明观测值精度好（高），误差分布离散，说明观测值精度低。 标准有： 方差或中误差、相对误差、极限误差,5-3 衡量精度的标准,1. 方差与中误差 在同精度观测条件下，对某量进行了n次观测，得观测值为l1,l2,ln，设其真误差分别为1，2，n，则定义该组观测值的精度为：,5-3 衡量精度的标准,方差,其中,1. 方差与中误差 当n有限时，用均方差，即中误差m来衡量精度，即菲列罗公式：,5-3 衡量精度的标准,
6、1. 方差与中误差 菲列罗公式：,5-3 衡量精度的标准,注意：m代表一组观测值的精度。即这组观测值中的每一个观测值都具有这样的精度，或者说，同精度观测值具有相同的精度。 彼此并不相同，这是由于随机误差的性质所决定的。 m的取位，要取2-3位有效数字。,1. 方差与中误差 例1：设对某个三角形用两种不同的精度分别对它们进行10次观测，求得每次观测所得的三角形内角和真误差为： 第1组： +3、-2、-4、+2、0、-4、+3、+2、-3、-1 第2组： 0、-1、-7、+2、+1、+1、-8、0、+3、-1 试求这两组观测值的中误差，并比较精度高低。,5-3 衡量精度的标准,解：依据菲列罗公式得
7、 m1=2.7 m2=3.6 故 第1组观测值精度高于第2组观测值精度。,5-3 衡量精度的标准,白塞尔公式： 通常观测值的真值是不知道的。如某一段距离、某一角度、某一点高程等，因此，无法计算真误差，因而就不能用菲列罗公式计算一组观测值的中误差。但是观测量的最或是值是可求的，这时可用改正数v来计算中误差，即用白塞尔公式计算：,5-3 衡量精度的标准,白塞尔公式：,5-3 衡量精度的标准,方差与中误差 结论： 已知观测值真值时，用菲列罗公式求观测值得中误差； 未知观测值真值时，用白塞尔公式求观测值中误差。,5-3 衡量精度的标准,2. 相对误差 真误差与中误差m都是绝对误差。 相对误差(k)：
8、绝对误差的绝对值与相应的测量成果之比，并化成1/N形式，即,5-3 衡量精度的标准,相对中误差 相对误差,2. 相对误差 例2：分别丈量两段距离，其结果为100m0.02m和200m0.02m，试比较其角度高低。 解：两者中误差分别为 m1=0.02 ， m2=0.02m 相对误差为,5-3 衡量精度的标准,通过比较可知，后者较前者精度高。,2. 相对误差 例3：试比较角20352510和角70204210精度的高低。 解： 因为 m1=m2=10 且角度无论大小均为两方向读数之差，故只要中误差相等，说明精度相同。,5-3 衡量精度的标准,2. 相对误差 结论： 经纬仪测角时，不能用相对误差的
9、概念衡量精度，相对误差用于衡量与长度、面积、体积等有关的量。,5-3 衡量精度的标准,3. 极限误差与容许（允许）误差 根据随机误差的有界性可知，在一定的观测条件下随机误差的绝对值不会超过一定的限度。 中误差只能代表一组观测值的精度，而不能代表某一个观测值的真误差大小，但二者之间有一定的统计学上的关系。,5-3 衡量精度的标准,3. 极限误差与容许（允许）误差 在一系列等精度观测误差中： | |m|的随机误差出现的概率为30% |2|m|的随机误差出现的概率为5% |3|m|的随机误差出现的概率为0.3%,5-3 衡量精度的标准,3. 极限误差与容许（允许）误差 换言之， | |m|的随机误差
10、出现的概率为70% |2|m|的随机误差出现的概率为95% |3|m|的随机误差出现的概率为99.7%,5-3 衡量精度的标准,3. 极限误差与容许（允许）误差 故一般认为大于3m的随机误差是不可能的，所以一般取3m为随机误差的极限误差，即 |极|=3|m| 测量中，取2m为的容许值容，即 |容|=2|m| 若观测值的随机误差超过2m，认为该值不可靠（但不是错误），应舍去不用。,5-3 衡量精度的标准,1. 误差传播定律的定义 在实际工作中，某些未知量不能直接观测而求得，而是需要用观测值间接求得，如HB=HA+h中，HB是独立观测值h1,h2,hn的函数，那么就需要由观测值的中误差求出函数的中
11、误差。 定义：阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。,5-4 误差传播定律 观测值函数的中误差,5-5 误差传播定律的应用,求函数中误差的步骤 根据题意，列出函数式 求增量，即求全微分。若为线性函数，则可省略此步骤 应用误差传播定律求出函数中误差,5-5 误差传播定律的应用,例1：在三角形ABC中，直接观测了角A和角B，其中误差分别为mA=3， mB=4，试求角C的中误差mC 。 解： 列函数式： C=180-A-B 求增量（此步可省略）：C=-A-B 应用误差传播定律求mC,A,B,C,?,mc=5,5-5 误差传播定律的应用,例2： 若题为已知mA= ，为使C
12、角具有5的精度，问B角需以多高的精度观测？ 分析：题中观测量为A、B角，函数为C。,A,B,C,?,5-5 误差传播定律的应用,解题： 列函数式： C=180-A-B 求增量（此步可省略）： 应用误差传播定律,A,B,C,?,即，B角需以不低于4的精度观测，才能使C角具有5的精度。,5-5 误差传播定律的应用,例3：已知水准测量中，每测站高差中误差均为m站，由A测向B共测n站，求总高差的中误差,5-5 误差传播定律的应用,解： 列函数式, 应用误差传播定律,5-5 误差传播定律的应用,结论：水准测量高差的中误差，与测站数n的平方根成正比。 同距离丈量一样，若平坦地区有S公里的水准路线，已知mkm，则,5-5 误差传播定律的应用,结论： 水准测量高差的中误差与距离S的平方根成正比。,例如：mkm=20mm，S=25km，则,