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1、第十一章 超静定结构,111 超静定结构概述,1 超静定结构（系统）,若未知力的个数多于独立的平衡方程的数目，则仅由平衡方程无法确定全部未知力的结构或系统。,2 多余约束,从维持静力平衡角度而言是多余的约束，称多余约束；相对应的反力称为多余约束反力。,但从维持变形及承载而言并不多余,1)外力超静定,3 超静定分类,2)内力超静定,3)混合超静定：既有内力超静定，又有外力超静定,结构的外部约束力不能完全用静平衡方程求出的静不定问题。,结构的内部约束力或截面内力不能完全用静平衡方程求出的静不定问题。,4 超静定次数,结构的多余约束的数目,一次超静定,三次超静定,1）判断超静定次数的原则,解除几个约
2、束后结构成为静定，就称为几次超静定。,解除一个可动铰时相当于解除一个约束，解除一个固定铰或中间 铰相当于解除两个约束，解除一个刚性连接相当于解除三个约束。,2）静不定次数确定方法,静不定次数 =,未知力个数,- 独立平衡方程数,(1) 外力静不定次数的确定,根据约束的性质及力系的类型来确定。,(2) 内力静不定次数的确定,平面桁架,未知力个数 = 约束反力数 + 杆件数,独立方程数 = 节点数 2,刚架,对于闭口刚架，需截开一根杆才能 使其成为静定刚架。 对平面刚架，截面上有三个内力。,三次静不定,每增加一个闭合框架，就增加三 次静不定。,对空间刚架，截面上有六个内力。,六次静不定,第一类,第
3、二类,第三类,2次,1次,1次,3次,4次,6次,5 静定基和相当系统,超静定结构解除多余约束后得到的静定结构称静定基。,在静定基上共同作用外载及解除的约束力的系统称相当系统。,相当系统=,相当系统=,或, 与超静定系统静力等效。,112 用力法解超静定结构,1 力法及基本思路,解：1）判定为一次超静定,例如图所示，试求支座反力。梁EI为常数。,力法：以力为基本未知量求解超静定问题的解法。,2）选取静定基,3）变形协调方程,4）与平衡方程联立求解全部未知量,相当系统,2 力法正则方程,X1 多余未知力（广义力）；,变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程。,11 在静定基上，X1取单位值时
4、即单位载荷引起的在X1 作用点沿X1方向的位移；,1P 在静定基上，由外载荷（不包括X1 ）引起的在X1作 用点沿X1方向的位移。,1）有限次超静定,超静定系统正则方程如下：,由位移互等定理知：,ij 影响系数，表示在静定系上由Xj取单位值即单位载荷引 起的在Xi作用点沿Xi方向的位移；,iP 自由项，表示在静定系上由原载荷（不包括多于约束载 荷）引起的在Xi 作用点沿Xi 方向的位移。,2）n次超静定,3 解静不定问题的一般步骤,1) 判定静不定次数； 2) 选择静定基，得到相当系统； 3) 分解载荷：分别将外载荷、各单位载荷作用在静定基上； 4) 画出各载荷下的内力(弯矩)图或写出内力 (
5、弯矩)方程； 5) 用图乘法或莫尔积分等求出iP 和 ij ； 6) 求解正则方程，解出未知力。,例2 试求图示刚架的全部约束反力，刚架EI为常数。,解：刚架有两个多余约束,选取静定基，去除多余约束，代以多余约束反力,建立力法正则方程,用图乘法求解,计算系数ij和自由项iP,求多余约束反力,将上述结果代入力法正则方程可得,求其它支反力,由平衡方程得其它支反力，全部表示于图中。,例3 试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆 EI=常数。,解：1）相当系统如图,2）外载和单位载荷的M图,3）正则方程,113 对称及对称性质的应用,1 对称结构的对称变形与反对称变形,反对称变形：若外载荷反对称于结构对
6、称轴，则结构将产生 反对称变形。,对称结构：结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均 对称于某一轴。,对称变形：对称结构受载荷也对称于结构对称轴时，则结构 将产生对称变形。,2 利用对称性减少未知力数目，简化计算,1）对称内力和反对称内力：,对称内力,反对称内力,对称变形的对称截面上，反对称内力为零或已知；反对称变形的反对称截面上，对称内力为零或已知。,2）对称及反对称问题的性质：,3）证明：,同理：,例4 试求图示刚架的全部约束反力。刚架EI为常数。,因结构是对称的，而载荷反对称，故对称轴横截面上轴力、弯矩为零，只有一个多余未知力（剪力），只需列出一个正则方程求解。,用图乘法求1P和11,解：1）图示刚架为三次超静定问题。,2）正则方程,由平衡方程求,图乘法,