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1、1,上堂课的主要内容,稳态导热问题的求解（一维平板、一维圆筒、多层、有内热源、变导热系数、边界条件的不同）,2,临界热绝缘直径,工程上，为减少管道的散热损失，常在管道外侧覆盖热绝缘层或称隔热保温层,总热阻:,3,临界热绝缘直径：总热阻达到极小值时的热绝缘层外径,4,一维稳态导热问题的求解步骤,写出描述物理过程正确的导热微分方程 列出所有的定解条件 通过两次积分，得出导热微分方程的通解，将边界条件带入，求出温度场,5,一个圆柱体，高l，半径r，上表面受外热流加热，热流密度q W/m2，下表面受温度 tf 的流体冷却，圆柱体四周绝热。 圆柱体的导热系数，下表面与冷却流体的对流换热系数为h。 试写出
2、描述该问题（最简单）的导热微分方程和边界条件。 1、稳态的情况； 2、非稳态的情况，圆柱体初始温度t0。,例题一,6,解一：稳态的情况 t(x),一维稳态导热微分方程：,边界条件：,7,解二：非稳态的情况 t(x,),一维非稳态导热微分方程：,边界条件：,初始条件：,8,一维无内热源、平壁稳态导热的温度场如图所示。试说明它的导热系数是随温度增加而增加，还是随温度增加而减小？还是不变？,例2-2,9,例2-3,平壁与圆管壁材料相同，厚度相同，在两侧表面温度相同的条件下，圆管内表面积等于平壁表面积，如图所示，试问哪种情况下导热量大？,10,11,例2-4,12,dx,dt,A,Q,dx,dt,dx
3、,dt,t,t,x,x,0,2,1,=,-,=,=,=,l(t1) l(t2),l,d,某处x热流密度表达式：,b=0,b0时的温度分布曲线如图(b),(c)所示,故温度分布曲线如图(a)所示。同理，,所以,当b0时，显然,设,由于A不变，故有,常数,解：由题意。沿平板厚度方向(x方向)，热流量为常数, 即,13,讨论：利用傅立叶定律表达式来判断温度分布曲线凹向是一种很重要的方法，应很好掌握。,14,例2-5,如图所示的墙壁，其导热系数为50 ，厚度为50mm，在稳态情况下的墙壁内一维温度分布为： 式中 t 的单位为 ，x的单位为m，试求: (1)墙壁两侧表面的 热流密度； (2)壁内单位体积
4、的 内热源生成热。,15,16,2-4 通过肋壁的稳态导热,第三类边界条件下通过平壁的一维稳态导热：,17,18,1、等截面直肋的稳态导热,19,20,21,关于将肋片导热视为有内热源 一维导热的物理含义,22,23,导热微分方程:,边界条件：,二阶线性常微分齐次方程，其通解为：,24,边界条件：,等截面直肋内的温度分布：,25,26,27,（2）上述分析近似认为肋片温度场为一维。 当Bi=h/ 0.05 时，误差小于1%。对于短而厚的肋片，二维温度场，上述算式不适用；实际上，肋片表面上表面传热系数h不是均匀一致的 数值计算,（3）敷设肋片不一定就能强化传热，只有满足一定的条件才能增加散热量。
5、设计肋片时要注意这一点。（参考有关书）,28,2、肋片效率,29,30,th(mH)的数值随mH的增 加而趋于一定值（mH 3）,当m数值一定时，随着肋片高度H增加，Q先迅速增大， 但逐渐增量越来越小，最后趋于一定值。说明：当H增 加到一定程度，再继续增加 H f,31,32,33,2-5 通过接触面的导热,34,35,例：,36,2-6 二维稳态导热问题,37,1、分析解法简介,y=H,x=L,38,39,分析解思路-分离变量法 (1) 假定温度分布是所含自变量的函数的乘积，从而将导热偏微分方程转换为以各自变量为变量的几个常微分方程 (2) 各空间坐标变量的常微分方程与相应的边界条件构成原导
6、热偏微分方程问题的特征值问题 (3) 由特征值问题求得特征函数与特征值，并由它们构成偏微分方程的特解，称为基本解 (4) 根据线性方程的解迭加原理，将基本解进行迭加，得到通解 (5) 根据特征函数的正交性，确定通解中所含的待定常数,40,41,基本解 至此，完成了分离变量的前三个步骤。 请注意特征值的取值问题,42,基本解 利用边界条件 得到关系式 无意义,43,讨论 的取值问题 取 (a) 不符合边界条件 (b) 无解 (c) 只能取,44,45,最终解的形式 边界条件 通解（第四步）,46, 的确定（第五步）(尚有一个边界条件未用) 利用三角函数的正交性,47,的确定 最终解的结果,48,
7、49,50,压气机设备的储气筒里的空气温度，用一支插入装油的套管中的玻璃水银温度计来测量。已知温度计的读数为100, 储气筒与温度计套管连接处的温度为t0=50, 套管高H=140mm, 壁厚 =1mm, 管材的导热系数=58.2 W/(mK)，套管外表面传热系数为 h=29.1 W/(m2K)。试分析 (1)温度计的读数能否准确地代表被测地点处的空气温度？(2)如果不能，分析其误差有多大？,例题,51,可以认为温度计的读数就是套管顶端的壁面温度tH。温度计套管与周围环境之间发生三种方式的热量传递，即：从套管顶端向根部的导热；从压缩空气向套管外表面的对流换热；从套管外表面向储气筒筒身的辐射换热
8、。稳态时，套管从压缩空气获得的热流量正好等于套管向储气筒筒身的导热及辐射换热之和。因此，套管的壁温必然低于压缩空气的温度，即存在测量误差。 套管中每一截面的温度可认为是相等的，因而温度计可以看成是截面积为d 的一等截面直肋。测量误差，就是套管顶端的过余温度H=tH-tf。,52,换热周长 P=d，套管截面积 Ac=d。 于是,从数学手册查出 ch3.13=11.5。,53,温度计套管测量误差热阻分析,要减小测量误差，应使tH尽量接近tf ，,选用导热系数小的材料做套管，增加R2 增加套管高度，减小壁厚，增加R2 强化套管与流体间的换热，减小R1 在储气筒外包以保温材料，增加R3,改进措施：,54,课堂习题,2、试比较如图所示的三种一维稳态导热问题的热流量大小：凸面锥台、圆柱、凹面锥台。比较的条件是：无内热源，侧面绝热，两端面分别保持为恒温（T1T2）。 T1 T2 进一步思考：反之，情况又如何？,d1,1、下雪天气，有时桥面上的积雪化得比路面上的积雪慢，有时又化得快；试指出什么天气化得慢？什么天气化得快？解释其原因。,55,本节课主要内容,通过肋壁的稳态导热、肋片效率 接触热阻 二维稳态导热的分析解法,