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1、1,第三章 随机信号分析,随机信号：信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全预知。,随机噪声：不能预测的噪声。（简称噪声）,随机过程：随机信号与随机噪声的统称。,2,主 要 内 容,3.1 随机过程的一般表述 3.2 平稳随机过程 3.3 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度 3.4 高斯过程 3.5 白噪声 3.6 随机过程通过线性系统,3.1 随机过程的一般表述,3,随机过程的基本特征是：它是时间t的函数，但在任一确定时刻上的取值是不确定的。,随机过程的不确定性使之只能通过统计分析方法研究。,随机性体现在出现哪一个实现是不确定的。,4,随机过程的统计特性是通过它的概率分布或数字特征加以表述的
2、。,5,一、分布函数,设 表示一个随机过程， （t1为任意时刻）是其中一个实现，则我们称 F1（x1，t1）=P x1 为 的一维分布函数。,主要性质：,0F1(x1，t1)1 若x1x2，则F1(x1，t1)F(x2，t1) F1(-,t1) = 0 F1(+,t1) = 1,6,n越大则越能体现 的统计特性。,7,二、概率密度函数,一维：,常用P(x)表示,性质：, P(x) 0 ,表示随机变量值为x的概率,8,三、数学期望,常用a(t)表示,统计平均值,性质：,EC = C，C为常量,9,四、方差,记为2(t),(t)又称为标准方差,性质：,常量的方差为0,10,五、相关函数,表征同一随
3、机过程两个时间样本之间的相关程度，所以又称自相关函数,11,设随机过程 ，式中是一个离散随机变量,且 试求 。,解：,例 题 3-1,12,13,3.1 随机过程的一般表述 3.2 平稳随机过程 3.3 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度 3.4 高斯过程 3.5 白噪声 3.6 随机过程通过线性系统,14,定义一：若随机过程的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关，则称之为平稳随机过程。（狭义） 即：,平稳随机过程的数字特征：,数学期望和方差与t无关，分别为a和2 自相关函数仅与时间间隔有关，即,15,定义二：数字特征满足上述特性的随机过程称为平衡随机过程。（广义）,通信系统中的信号与
4、噪声大部分都是平稳随机过程。,平稳随机过程的各态历经性：平稳随机过程的数字特征可由随机过程中的任一实现的数字特征来决定，即随机过程的数字特征可用“时间平均”代替“统计平均”。,16,假设x(t)是平稳随机过程的任一实现，其数字特征为：,则由“各态历经性”可得随机过程的数字特征为：,各态历经性可使统计平均转化为时间平均，简化计算。,17,3.1 随机过程的一般表述 3.2 平稳随机过程 3.3 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度 3.4 高斯过程 3.5 白噪声 3.6 随机过程通过线性系统,18,一、相关函数,主要性质：（设 为实平稳随机过程）,平均功率 直流功率 交流功率,19,二、功率谱密
5、度,平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度之间互为傅立叶变换。 即：,20,例 题 3-2,已知噪声n(t)的自相关函数 ,其中a为常数，求 。,解：,21,3.1 随机过程的一般表述 3.2 平稳随机过程 3.3 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度 3.4 高斯过程 3.5 白噪声 3.6 随机过程通过线性系统,22,任意n维分布都服从正态分布的随机过程称为高斯过程，故又称为正态随机过程。,23,性质：,f(x)关于 x=a 对称，即f(x + a) = f(x a) 在xa区间内单调下降，在x=a有最大值 ，且 或 时,24,若 =1，a=0，即 称为标准正态分布,正态分布函数：,称为概率
6、积分函数，,一般用查表法获得近似值。,标准正态分布的积分,25,正态分布函数经常表示成与误差函数有关的形式。,结论：,26,3.1 随机过程的一般表述 3.2 平稳随机过程 3.3 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度 3.4 高斯过程 3.5 白噪声 3.6 随机过程通过线性系统,27,白噪声是一个理想的宽带平稳随机过程。,定义：凡是功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声称为白噪声，即：,n0为常数，单位为W/Hz。,则白噪声的自相关函数,白噪声的自相关函数仅在 时才不为零，故白噪声只有在 时才相关，在任意两个时刻上随机变量都不相关（即相互独立）。,28,通信系统接收端为了限带经常要经过一滤
7、波器，这使白噪声变为带限白噪声，即白噪声被限制在区间（-f0，f0）内。,29,带限白噪声的相关函数为：,在 （k = 1,2)时 ,即带限白噪声在这些时刻互不相关（独立）。,利用欧拉公式：,30,3.1 随机过程的一般表述 3.2 平稳随机过程 3.3 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度 3.4 高斯过程 3.5 白噪声 3.6 随机过程通过线性系统,31,线性系统输入Vi(t)，输出V0(t)，冲激响应h(t),只要输入有界且系统是物理可实现的，则当输入是随机过程 便有输出随机过程 ，且：,由于线性系统是物理可实现的，则,32,假定输入 是平稳随机过程，分析 的统计特性。,1、数学期望,由于 与t无关，所以 也与t无关。,33,根据1和2的结论可知 是广义平稳随机过程。,2、自相关函数,即 的自相关函数与时间起点无关。,34,3、功率谱密度, 是广义平稳随机过程,令,则,35,4、 的分布,36,例 题 3-3,试求双边功率谱密度为n0/2的白噪声通过理想低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数及噪声功率。,解： 依题意得：,37,