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1、第三章 随机信号的频域分析,使用班级：09050641,09050642 09050941,09050942,第三章 随机信号的频域分析,3.1 实随机过程的功率谱密度 （3） 3.2 两个实随机过程的互功率谱密度（17） 3.3 白噪声 （22）,3.1 实随机过程的功率谱密度,3.1.1 确知信号的频谱和能量谱密度,（1）狄里赫利 设信号s(t)为时间t的非周期实函数，满足如下条件： ,即s(t)绝对可积； s(t)在 内只有有限个第一类间断点和有限个极值点。,（2）频谱密度 s(t)的傅立叶变换 又称为频谱密度，也简称为频谱。,信号s(t)可以用频谱的傅立叶反变换来表示,（3）能量谱密度
2、,信号s(t)的总能量为,根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的能量等于频域内信号的能量。即,称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。,能谱密度存在的条件是 即总能量有限，所以s(t)也称为有限能量信号。,3.1.2 实随机过程的功率谱密度,随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。经推导可得,为随机过程X(t)的功率谱密度函数，简称为功率谱密度。,（1）定义,通过截取样本函数-T到T的一段，傅立叶变换得,具有随机性,根据能量守恒，总能量：,时间平均能量:,注：平均功率包含了集合平均和时间平均的双重含义,统计平均能量:,平均功率：,随机过程的平均功率为,对于平稳随机过程，其平均
3、功率为,若X(t)为各态历经过程，则功率谱密度可由一个样本函数得到，即,性质1：非负实函数,（2）实随机过程功率谱密度的性质,性质2：偶函数,性质3：平稳过程功率谱密度绝对可积,性质4：若平稳过程的功率谱密度可以表示为 的有理函数形式,则必定满足： 式中分母无实根(即在实轴上无极点),且 。,（1）维纳辛钦定理,它成立的条件是 绝对可积，即,3.1.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系,对于实平稳随机过程，利用其自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，又可将维纳辛钦定理表示成：,物理功率谱,例3.2：已知广义平稳过程的自相关函数为,求过程的功率谱密度。,解：,例3.3：设X(t)为随机相位随机
4、过程,其中a， 为实常数； 为随机相位，在 均匀分布。可以推倒导出X（t）是广义平稳过程，其自相关函数为：,求X(t)的功率谱密度,解：,例3.4：已知平稳过程X(t)，具有功率谱密度为,求该过程的自相关函数和均方值。,解：,例：设平稳随机过程 ，其中a为常数，是服从0，2的均匀分布的随机变量，是具有分布密度为 偶函数的随机变量，且与相互独立，试证 的功率谱密度为,返回,傅里叶变换对,（1）互谱密度的定义,称为两个联合平稳随机过程X(t)和Y(t) 的互功率谱密度，简称互谱密度。,3.2 两个实随机过程的互功率谱密度,（2）互谱密度与互相关函数的关系,（3）实随机过程互谱密度的性质,性质1：,
5、性质2：互谱密度的实部是偶函数，虚部是奇函数。,性质3：如果X(t),Y(t)互相正交，互谱密度为零。,性质4：若X(t),Y(t)是互不相关的两个随机过程，且数学期望不为零，则有,性质5：互谱密度的幅度平方满足,例3.5：设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数为：,求互相关函数 和,解：,返回,3.3 白噪声,（1）噪声的定义 信息在传输过程中，不可避免地要受到各种干扰，使信号产生误差。 误差的来源 信号传输处理过程中串入了其它信号 信息传输处理时，信道或设备不理想造成 广义地说，称这些使信号产生失真的误差源为噪声。来自外部的噪声也称为干扰。,3.3.1 噪声,（2）噪声的分
6、类,从噪声与电子系统的关系来看： 内部噪声：系统本身的元器件及电路产生的 外部噪声：包括电子系统之外的所有噪声 根据噪声的分布： 高斯噪声：具有高斯分布的噪声 均匀噪声：具有均匀分布的噪声 从功率谱的角度来看： 白噪声：随机过程的功率谱为常数（无论是什么分布）。 色噪声：功率谱中各种频率分量的大小不同。,（1） 定义 一个均值为零，功率谱密度在整个频率轴上为非零常数，即 的平稳过程N(t)，称为白噪声过程，简称为白噪声。,（2）白噪声的自相关函数,3.3.2 理想白噪声,（3）白噪声的相关系数,这说明，白噪声在任何两个相邻时刻，不管多么近，只要0，状态之间都是不相关的；白噪声过程的样本随时间起
7、伏极快，相当脉冲宽为0的冲激(t)。,白噪声是一个理想化的数学模型。在物理上是不存在的。,任何一个物理可实现过程，两个相邻时刻的状态之间总存在一定的相关性。无法构造出脉冲宽为0的冲激(t) 做为样本。 平均功率 无穷大 任何一个物理可实现过程，其平均功率总是有限的,（4）白噪声的特点,数学上有很好的分析性质,是大多数噪声的模型,白噪声可以替代系统中的宽带噪声,在实际应用中，系统带宽总是有限的，无论是否是理想白噪声，通过系统后的结果都一样。只要输入噪声功率谱在观察的范围（系统带宽）内是一常数，就可以把它近似为白噪声来处理。,高斯白噪声在任意两个时刻是相互独立的，且具有各态历经性,若平稳过程N(t)在有限频带上的功率谱密度为常数，在频带之外为零，则称N(t)为理想带限白噪声。,3.3.2 理想限带白噪声,（1）定义,分类 低通型限带白噪声 带通型限带白噪声,（2）低通白噪声,自相关函数,平均功率,功率谱密度,（3）带通白噪声,自相关函数,平均功率,功率谱密度,返回,