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1、1/30,2009年3月6日,第4章 扩散方程的数值解法及其应用,2/30,4.1 一维导热问题,一、一维导热问题的通用控制方程,3/30,一、一维导热问题的通用控制方程（续）,4/30,二、用控制容积积分法导出离散形式,假设： （源项线性化）,5/30,二、用控制容积积分法导出离散形式（续）,分段线性插值（中心差分）,6/30,三、界面上当量导热系数的确定方法,根据界面上热流密度连续的原则： 根据界面上当量导热系数的含义： 调和平均法：,7/30,三、界面上当量导热系数的确定方法（续）,算术平均法： 调和平均法优于算术平均法。 导热系数发生阶跃变化时的处理方法： (1)把阶跃面作为控制容积的
2、分界面。 (2)把阶跃面设置成一个节点的位置。（更准确）,8/30,四、一维非稳态导热方程及其离散化,采用全隐格式离散：,9/30,四、一维非稳态导热方程及其离散化（续）,令： 得： 其中：,10/30,4.2 多维非稳态导热问题的全隐格式,一、三种正交坐标系中的全隐离散方程 (1)直角坐标系 非稳态项：,11/30,一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）,源项：,扩散项：,12/30,一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）,整理得： 其中：,13/30,一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）,(2)圆柱轴对称坐标系,14/30,一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）,(3)极坐标系,
3、15/30,二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式,三种坐标系的区别： x-y x-r q-r 东西坐标 x x q 引入尺度系数SX 南北坐标 y r r 引入名义半径R 通用离散形式：,16/30,二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式（续）,17/30,二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式（续）,18/30,4.3 源项及边界条件的处理,一、非常数源项的线性化处理 说明：1、当源项为未知量的函数时， 线性化处理比假定为常数更合理。 2、线性化处理是建立代数方程所必须的。 3、为了保证代数方程迭代求解收敛，要求SP0。 4、SP绝对值的大小影响到迭代过程中温度的变化速度。,19/30,一
4、、非常数源项的线性化处理（续）-举例,20/30,二、边界条件的处理,1、补充边界节点代数方程的方法 第2类BC： 内节点法Dx=0，得 第3类BC： 得： 由控制容积平衡法导出离散方程物理意义明确。 对于不规则区域，可用区域扩充法使之成为规则区域。,21/30,二、边界条件的处理（续）,22/30,二、边界条件的处理（续）,2、附加源项法 P点的通用方程：,23/30,二、边界条件的处理（续）,第3类BC：,24/30,二、边界条件的处理（续）,附加源项法的实施步骤： (1)计算与边界相邻的内部节点控制容积的附加源项SC,ad及SP,ad ，并将它们分别加入到该控制容积原有的SC， SP中去
5、。 (2)令该边界上节点的导热系数lB=0，以使aW=0。 (3)按常规方法建立起内节点的离散方程，并在内节点的范围内求解代数方程组。 (4)获得收敛的解以后按Fourier导热定律或Newton冷却公式解出未知的边界温度。,25/30,二、边界条件的处理（续）,3、两种处理方法的比较 附加源项法优于补充节点方程法 (1)有利于用统一模式来处理三种边界条件。 (2)可以缩小计算区域。 (3)节省计算时间。,26/30,4.4 求解离散方程的三对角阵算法及交替方向隐式算法,一、三对角阵算法（TDMA）Thomas算法 将： 消元与回代 写成： 目的：,27/30,一、三对角阵算法（续）,先求P1，Q1：,28/30,一、三对角阵算法（续）,第1类边界条件下TDMA实施 i=1： 由于T1已知，应取P1 =0，Q1 = T1 依此可以求得P、Q TM1已知 求解步骤： (1)消元过程从i=2开始，取P1 =0，Q1 = T1 (2)回代过程从i=M2开始，,29/30,一、三对角阵算法（续）,0,0,30/30,二、交替方向隐式算法,Peaceman-Rachford ADI格式 非稳态问题交替方向隐式算法(Implicit)与 ADI 稳态非线性问题交替方向迭代法(Iteration)在本质上是一致的。,