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1、第4章 流体动力学微分形式的基本方程 4.1 连续性方程与流函数 4.2 运动微分方程及有关概念 4.3 NS方程组求解的分析 4.4 层流精确解举例 4.5 蠕动流方程 4.6 雷诺方程 4.7 欧拉方程及其积分,4.1 连续性方程与流函数,1. 连续性方程 （1）方程的推导,液体三元流动的连续性方程,液体三元流动的连续性方程,依据质量守恒定律： x 向质量净通率：,y、z 向质量净通率分别为：,和,体积内的质量减少率 ：,则有：,除以体积xyz，并令x0,y0,z0取极限，得到直角坐标下的连续性方程 ：,或,或, 柱坐标下的不可压缩流体连续性方程：, 对于不可压缩流体：,（2）方程的简化
2、对于恒定流动：,（3）连续性方程的应用 判别流动能否发生。 求解某一未知速度分量。 与运动微分方程联立求解。,2. 流函数,(1) 定义,二维不可压缩流体连续性方程为：,(2) 物理意义,常数时，则得到不同流线。,为流线，当取不同, 两条流线的流函数数值之差等于这两条流线间所通过的单宽流量。,公式表明，两条流线间所通过的单宽流量等于两个流函数数值之差。且，引入后可将求ux，uy的问题化为求 的问题。,4.2 运动微分方程 1. 应力形式的运动微分方程 （1）运动流体一点处的应力状态,双下标含义： 第一个下标：作用面的外法线方向， 第二个下标：应力的方向。, 正的应力：正面、正力或负面、负力。
3、负的应力：正面、负力或负面、正力。, 依据牛顿第二定律。 六面体流体元中心点M的坐标为 x，y，z，应力状态为，可求出各面中心点的应力。,（2）方程的推导,表面力的 x 向分量：, 加速度的 x 向分量 ax ：, 质量 m ：,除以xyz，并令 x0,y0,z0 取极限，得出,同理可得 y、z 向方程。,应力形式的运动微分方程为,存在问题： 方程组不闭合（4个方程，9个未知量）。,2. 不可压缩流体的应力与应变率关系,3. 纳维斯托克斯方程（NS方程）,写成矢量形式：,方程各项的含义： 左端：惯性力 右端：质量力、压力（压强梯度力）、粘性力,4.3 NS 方程组求解的分析,1. NS 方程组
4、,矢量式：,分量式：,理论上，方程组可解。,3. 主要解法,（1）层流精确解 对于某些简单流动，非线性项为零，可求得精确解。例如：, 平行平板间的二维恒定层流运动, 斜面上具有等深自由面的二维恒定 层流运动, 等直径圆管恒定层流运动,蠕动流的例子：小球在极粘流体中的沉降,为什么不适用于固体壁面附近？ 计算结果与实际不符合： 边界条件不符合 阻力规律不符合 流型不符合,1904年，普朗特提出边界层概念，将微粘流体的广大流场划分为边界层和外流区，分别用边界层理论和势流理论求解。,4.4 层流精确解举例,1. 平行平板间的二维恒定层流运动,重力作用下的两无限宽水平平行平板间的二维恒定不可压缩流体的层
5、流运动。平板间距为a，流体的密度为，动力粘度为，上板沿 x 方向移动的速度 U 为常量，试求平板间流体的速度分布。,求解步骤：, 绘图并选取坐标系及坐标取向。 依据题中条件，简化NS方程组。 依据题意，给出边界条件。 解方程组。,（1）选直角坐标系 取 x 轴 沿下板， z 轴垂直于平板。,（2）简化NS方程组, 由二维流动可知 uy0，且各量与y 无关； 由流体作平行于x 轴的流动，可知 uz0， 故仅有ux ； 由恒定流可知 ；, 由不可压缩流体的连续性方程,和,即 ux 仅是 z 的函数；, 由重力场可知单位质量力 即 X = Y = 0，Z = -g。,于是 NS 方程组简化为,（1）
6、,（2）,（3）边界条件,（4）解方程组, 先解（2）式，得,（5）,表明 与 z 无关，对 z 积分解（1）式时， 可作为常量看待。, 对（1）式积分二次得到,则流速分布为,利用边界条件（3）、（4）求得,（5）讨论,，为泊肃叶流动。, 当,得出,U = 0,最大流速 ：,单宽流量:,断面平均流速与最大流速之比：,断面平均流速：,2. 斜面上具有等深自由面的二维恒定层流运动,重力作用下的无限宽斜面上具有等深自由面的二维恒定不可压缩流体的层流运动。若深度H为常量，斜面倾角为，流体的密度为 ，动力粘度为，液面压强 pa为常量，且不计液面与空气之间的粘性切应力，试求流体的压强分布、速度分布、断面平
7、均流速及作用于斜面上的粘性切应力。,（1）选直角坐标系 取 x 轴沿斜面， z 轴垂直于斜面。,（2）简化NS方程组,得出,则流速分布为：, 利用边界条件（3）、（4）求得,（7）,该式表明：p 与 z 成线性关系，与 x 无关。 对（1）式积分二次，得到,需要指出，在实际应用中，对于宽浅河道，由于河宽 B 远远大于水深 H ，可按二维明渠水流计算。当水流为二维明渠均匀层流时，可直接应用本例计算结果。,3. 等直径圆管恒定层流运动,重力作用下的等直径圆管中的恒定不可压缩流体的层流运动。若圆管半径为r0 ，流体的密度为 ，动力粘度为，试求流体的速度分布、断面平均流速及作用于管壁上的粘性切应力。,
8、（1）选用圆柱坐标系 取 z 轴与管轴重合， r 垂直于管轴和管壁，沿周向， h 表示铅直方向 。,（2）简化 NS方程组 得出：,（1）,（3）边界条件,（4）解方程组, 将（1）式化为：,（4）,（5）, 利用边界条件（2）、（3）求得,由（4）式可知（ p +gh）与 r和无关，仅为 z 的函数，对r 积分求uz 时，可将 作为常量看待，则得出,则流速分布为：,（6）,需要说明：上述计算结果只适用于充分发展的均匀流动区，对于管道进口段则不适用。,1. 蠕动流概念,当惯性力可被完全忽略而雷诺数趋近于零时，就会出现层流运动的极端情况，即蠕动流。,小球在极粘流体中沉降以及液体穿过孔隙介质的流动
9、（即渗流）均可作为蠕动流处理。,4.5 蠕动流方程,忽略惯性力的条件意味着运动非常缓慢，迁移加速度没有明显的惯性作用及非恒定性可以忽略不计。,2. 蠕动流方程,略去惯性项后，重力场中不可压缩流体的 NS方程化为,1. 层流与紊流,粘性流动中的两种流态：层流与紊流（湍流）,1839年哈根通过圆管试验首次发现这两种流态。 1883年雷诺通过圆管流动试验，清楚地演示这两种流态，如图所示。,4.6 紊流基本概念,圆管流动的临界雷诺数：,U,（a）层流 （b）紊流,2. 雷诺方程,（1） 求时均的规则,紊流为相当复杂的流动型态。流体质点激烈混掺，导致运动要素随时间作随机变化。,容易证明：,若,可利用这些
10、关系式推导紊流基本方程。,则得出,（2） 雷诺方程的推导, NS方程组为粘性流体的基本方程组，既适用于层流，也适用于紊流的瞬时值。, 将“瞬时值”表示为“时均值脉动值”，并用求时均规则，可以导出雷诺方程：,雷诺方程中增加了由雷诺应力：,构成的附加项。雷诺应力为二阶对称张量。 由于雷诺应力分量均未知，雷诺方程组不闭合，必须补充方程后才能求解。,（2） 二阶封闭模式的紊流模型,主要有：,雷诺应力模型（微分模型，RSM）； 代数应力模型（k-A 模型， ASM ）； 二方程模型（涡粘性模型， k-E 模型）； 双尺度二阶紊流模型等。 这些属于紊流模式理论范畴。,4.7 欧拉方程及其积分,1. 莱姆葛
11、罗米柯方程,此式为莱姆葛罗米柯方程。,对于质量力有势的均质不可压缩流体， 利用矢量恒等式，可将欧拉方程化为：,式中，为力势函数, 。,2. 伯努利积分,依据莱姆葛罗米柯方程，对于恒定有旋流动，可以导出：,（沿流线）,此式为伯努利积分。该式表明：有势质量力作用下的理想、不可压缩流体的恒定有旋流动，同一流线上各点的 值相等。, 对于重力场， ,当取 z 坐标 与 h 重合时，则有,（沿流线）,3. 拉格朗日积分,（全流场）,依据莱姆葛罗米柯方程，对于恒定无旋流动，可以导出：,此式为拉格朗日积分。该式表明：有势质量力作用下的理想、不可压缩流体的恒定无旋流动，全流场各点的 值相等。, 对于重力场， ,当取 z 坐标与 h 重合时，则有,（全流场）,