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1、测 量 学 第5章 测量误差基本知识,第5章 测量误差及数据处理的基本知识 5.1 概述 5.2 观测值的算术平均值 5.3 衡量观测值精度的标准 5.4 误差传播定律 5.5 加权平均值及中误差,测量与观测值,观测与观测值的分类, 观测条件, 等精度观测和不等精度观测, 直接观测和间接观测, 独立观测和非独立观测,5.1 测量误差概述,5.1 测量误差概述,1、 测量误差及其来源, 测量误差的来源 （1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。 （3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等, 测量误差的表现形式, 测量误差（真误差=观测值-
2、真值）,（观测值与真值之差）,（观测值与观测值之差）,例： 误差 处理方法 钢尺尺长误差ld 计算改正 钢尺温度误差lt 计算改正 水准仪视准轴误差I 操作时抵消(前后视等距) 经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均) ,2.系统误差 误差出现的大小、符号相同，或按 规律性变化，具有积累性。, 系统误差可以消除或减弱。 (计算改正、观测方法、仪器检校),测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差,2、测量误差的种类及处理方法,1.粗差(错误)超限的误差,3.偶然误差误差出现的大小、符号各不相同， 表面看无规律性。 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差， 导致观测值产生误差 。, 准确
3、度(测量成果与真值的差异）, 最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）, 测量平差（求解最或是值并评定精度）,4.几个概念:, 精（密）度（观测值之间的离散程度）,举例: 在某测区，等精度观测了358个三角形的内 角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误 差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差i 进行分析。 分析结果表明，当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。,3、偶然误差的特性,用频率直方图表示的偶然误差统计：,频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近， 对称于y轴。,频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区 间的频率k/n
4、，而所有条形的总面积等于1。,各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律,图5-1 误差统计直方图,从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误 差的四个特性：,特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。,3.偶然误差的特性,偶然误差具有正态分布的特性,当观测次数n无限增多(n)、误差区间d无限缩小 (d0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线， 这条曲线称为 “正态分布曲 线”，又称为 “高斯误差分 布曲线”。 所以偶然误差 具有正态分布 的特性。,图5-1 误差统计直方图,5.2 算术平均值原理,一、算术平均值原理 在等精度观测条件下，对某量作
5、一系列观测，取其观测值l i的算术平均值，做为真值X的最可靠估值（最或是值）。,二、最或是误差（观测值的改正数）,作为计算检核,代替真误差,用最小二乘法证明算术平均值原理,最小二乘法的意义：见下图，根据n个实验点可回归出的直线方程有无数个，其中使各个点至直线的距离vi满足vv=最小的为最优估值（最或是值）。,证明,vv=v12+v22+vn2=(x-l1) 2 + (x-l2) 2 + (x-l n) 2 vv=2 (x-l1) + 2(x-l2) +2 (x-l n) vv“ =2 + 2+2=2n0 有极小值 当：vv =2 (x-l1) + 2(x-l2) +2 (x-l n)=0 即当
6、：,时，vv=最小，满足最小二乘法原理要求。即在等精度观测中，算术平均值x为真值X的最优估值（最佳估值、最或然值、最可靠值等）。,1.方差与标准差,x=,y,正态分布曲线(a=0),令： ，上式为：,5.3 衡量精度的指标,标准差 的数学意义, 表示的 离散程度,x=,y,较小,较大,称为标准差：,测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。,中误差:,观测次数无限多时，用标准差 表示偶然误差的离散情形：,P123表5-2, m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中， 其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比 较离散，其精度较低：, m1=2.7是第一组观测值的中误差； m2=3
7、.6是第二组观测值的中误差。,例,对于同一个三角形分别观测两组各十次，每次测得三角 形内角和的真误差： 第一组：0，+1，-2，0，-8，-1，+2，0，+7，-4； 第二组：+4，-2，-3，+1，+2，-4，-3，-1，+3，-2。 若以平均误差|/n计算，则两组相同，均为2.5,由于中误差能突出地反映出大误差的存在，因而能较好地评定误差分布的离散程度（即精度）。,白塞尔公式,在等精度观测中，以算术平均值为最或然值代替真值；以最或然误差代替真误差：,m:观测值中误差（一测回中误差），并不等于每个观测值的真误差，而是一组观测值真误差离散程度的代表。 算术平均值中误差m x:,例题,等精度观测
8、某角四测回，观测值如下表，求其算术平均值、一测回中误差及算术平均值中误差。,257 36 00“,12,-6,6,-12,0,144,36,36,144,360,证明两式根号内相等,对上式取n项的平方和,由上两式得,其中:,证明两式根号内相等,中误差 定义:,白塞尔 公式:,2.容许误差(极限误差),3.相对误差(相对中误差) 误差绝对值与观测量之比。,用于表示距离的精度。 用分子为1的分数表示。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。,K2K1，所以距离S2精度较高。,0.02m,0.02m,例题,746.124,+9,+2,-6,+5,-2,-8,0,81,4,36,25,4,6
9、4,214,5.3 误差传播定律及其应用,水准测量中: h = a - b 高差 h 为水准尺读数 a 、b 的差函数，若 a、b的观测误差以偶然误差为主，可根据多次实验测出其中误差； 例如：m a = 1 mm，m b = 1 mm； 那么高差的中误差 m h=? 1、2、 0、2,研究观测值函数误差传播的规律，称为误差传播定律。,一、和差函数,设Z=XY （X、Y不相关）,有观测误差,真误差,平方求和,除以n,根据偶然误差第四特性，有,和差函数误差,二、倍函数,设Z=KX （K为常数）,有观测误差,真误差,平方求和,除以n,倍函数误差,例:在1:1000地形图上量得图上距离d=123.45
10、6mm,其误差m d=0.1mm，则其实地距离D及其误差m D:,D=123.456m,mD=0.1m,三、线性函数,设 Z=K1 X1K2 X2 K n X n,设Yi=K i X i，则,代入和差函数传播定律，则得线性函数传播定律,例：算术平均值,算术平均值中误差,四、一般函数,设有函数 Z=f(X1，X2，X n) (X i 间不相关) Z +Z =f(X1+1，X2 +2 ，X n +n ） 求全微分,式中的各偏导数，在实际观测了各X i 后，即为常数；以微分代表测量真误差，上述全微分公式与线性函数的真误差公式相似，则有：,如图6-3所示，用测距仪测得斜距L=1287.44m10mm，
11、竖直角=231218“6“。仪器高i=1.454m 2mm，镜高v=1.565m 2mm。求AB间距离D及高差 h AB 的中误差。 解：1、计算公式,3、代入公式，计算得,2、分别求全微分，,= 206265“,误差传播应用示例水准测量,水准测量的高差中误差 设水准测量测定A、B两点间高差，中间共设n站，则A、B间高差等于各站高差之和，即 h AB =h1+h2+h n 设每站高差中误差均为m站，则有,即水准测量高差中误差与测站数的平方根成正比。,即水准测量高差中误差与路线长的平方根成正比。,若为平坦地区，测站间距离S大致相等，设A、B间的距离为L，则测站数n=L/S，代入上式，并设每公里高差中误差=m站/S，得,误差传播应用示例角度测量,1、由三角形闭合差计算测角中误差菲列罗公式 设在三角网中等精度观测各三角形内角，其测角中误差均为m, 各三角形闭合差f i，闭合差的中误差m为,闭合差是内角的和函数，内角等精度,测角中误差,2、上、下半测回互差,J6经纬仪的“6”：一测回方向值中误差不超过6“。 一测回方向值是盘左、盘右方向值的平均值，故半测回方向值（即每次方向读数）中误差m半方为：,取容许误差为中误差的二倍，则上、下半测回互差容许值为：,半测回角值为两方向读数值之差函数，故其中误差,上、下半测回角值互差的中误差,