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1、高等数学(上) 总复习,复习重点,三个基本计算 极限 , 导数 , 积分,两个基本应用 导数应用 , 积分应用,一个基本理论 有关中值的定理及应用,一、函 数,3. 理解掌握有关函数的性质；,要求,2. 要熟练掌握基本初等函数的定义域、值域及图形；,1. 理解函数定义，会求给定函数的定义域；,2019/6/4,5,1.定义,2. 常见定义域限制,a. 分母不等于0,b. 开偶次方根要求里面大于等于0,c. 对数函数真数大于0,d. 三角函数的定义域,f. 反三角函数的定义域,例 求下列函数的定义域,3. 三个反三角函数,二、极 限,1. 极限的计算,(1) 利用基本方法求极限,函数的连续性 ;
2、,四则运算法则 ;,极限存在准则 ;,两个重要极限 ;,等价无穷小替换 ;,洛必达法则 ；,(2) 利用特殊方法求极限,导数定义 ;,定积分定义 ;,微分中值定理 ;,变限积分求导 ;,讨论左右极限 .,泰勒公式 .,利用四则运算求极限,定理,14,例,解,利用四则运算求极限,15,解,例,利用四则运算求极限,16,例,解,利用四则运算求极限,17,小结:,利用四则运算求极限,18,例,解,先变形再求极限.,利用四则运算求极限,19,注意:构造两端，要求极限易求，且极限要一样,利用迫敛准则求极限,20,例,解,利用迫敛准则求极限,21,利用迫敛准则求极限,利用两个重要极限求极限,利用两个重要极
3、限求极限,24,常用等价无穷小:,利用等价无穷小求极限,大规模杀伤性武器之一,25,例,利用等价无穷小求极限,26,例,解,不能滥用等价无穷小代换.,对于代数和中各无穷小不能分别替换.,注意,利用等价无穷小求极限,27,例,解,解,错,利用等价无穷小求极限,函数之商的极限,导数之商的极限,转化,( 或 型),洛必达法则,利用洛必达法则求极限,大规模杀伤性武器之二,例. 求,解:,原式,注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !,利用洛必达法则求极限,例,利用洛必达法则求极限,例. 计算,解:,洛,这是积分变量,利用洛必达法则求极限,例. 求,解:,注意到,原式,利用洛必达法则求极限,利用洛必达法则
4、求极限,例 计算,34,例,解,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 .,步骤:,其他形式未定式,35,例,解,步骤:,36,步骤:,例,解,37,例,解,例,解,定义:,2. 无穷小的比较,(A)1 (B)2。 (C)3。 (D)4。,例.,三、连 续,要求：,1. 掌握如何判断点的连续性,对于分段函数分界点，讨论,是否存在相等，是否等于,？,例. 设,时,提示:,为,连续函数.,例. 设,解: 因为 x 0 时, F (x) 可导, 故连续,问 a 取何值时 F (x) 连续?,显然连续,要求：,2. 掌握间断点分类,可去间断点：,跳跃间断点：,第二类间断点：,要求：,3. 零
5、点定理应用,定理. ( 零点定理 ),至少有一点,且,使,例. 证明方程,一个根 .,证: 显然,又,故据零点定理, 至少存在一点,使,即,在区间,内至少有,四、导 数,(2) 计算复合函数的导数和微分 ;,(3) 计算隐函数的导数和微分 ;,(4) 参数方程求一阶导数 ;,(1) 用导数定义求特殊点的导数值 ;,(5) 计算 n 阶导数 .,(包括对数求导法),1. 基本内容要求掌握,例.,.,例.,例.,例,解,例. 已知,解法1.,等式两边对 x 求导, 得,故,解法2. 等式两边取对数, 得,两边对 x 求导, 得,故,需要熟悉的n阶导数,53,例,解,2. 导数的应用,(2) 单调性
6、与极值,(3) 凹凸性与拐点,(4) 求解最值问题,(5) 利用单调性证明不等式,(6) 渐近线的求法,(1) 罗尔中值定理、拉格朗日中值定理,基本理论 有关中值的问题,(1) 讨论函数的零点问题或方程根的问题,存在性,唯一性, 常用介值定理 ; 罗尔定理, 利用单调性 ; 反证法,(2) 利用微分和积分中值定理证明等式或不等式,提示:,利用逆向思维设出满足罗尔定理的辅助函数 .,证明方程,例. 已知,证: 先证存在性.,使,再证唯一性.,在 0, 1 上有唯一的根.,则,因此,即,假设方程还有一根,则,无妨设x 0 x1 ,故存在一点,则在x0 , x1上F (x) 满足罗尔定理条件,即,与
7、已知条件矛盾, 故假设不真, 因此根唯一.,例. 证明当 x 0 时,证法1: 设,则,故,证法2:当 x 0 时,在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,得,58,例,解,58,五、积 分,(2) 利用基本积分方法计算不定积分 ;,(3) 利用基本积分方法及公式计算定积分 ;,(5) 对称区间奇函数、偶函数计算积分 ;,(6) 广义积分的计算及收敛性判别 .,1. 基本内容要求掌握,(4) 变限积分求导公式;,(1) 理解原函数、不定积分的概念;,1. 若,提示:,原函数与不定积分概念,2. 若,的导函数为,则,的一个原函数,是 ( ) .,提示:,已知,求,即,B,?,?,或由题意,其原
8、函数为,基本积分方法：,1. 凑微分：关键要熟悉基本初等函数的积分,2. 第二换元法：,3.分部积分法：“反对幂指三”,倒代换、整体代换,64,变限积分求导公式,例 求,65,例 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,例 求,解,例.,证明,在,内为单调递增函数 .,证:,只要证,例. 设 在a,b内连续，在(a,b)内可导，且,证明：在(a,b)内有,结论：,证:,(1) 若,(2) 若,偶倍奇零,被积函数：奇函数,被积函数：偶函数,被积函数：非奇非偶函数,前提：对称区间,2. 定积分的应用,(1) 利用定积分计算面积,(2) 利用定积分计算旋转体体积,例. 求曲线,解:,设切点为,则切线方程为,令,得,与其通过原点的切线及 y 轴所围图形,的面积.,故所求面积为,例. 求抛物线,解:,与直线,所围的图形绕 y 轴,旋转一周所得旋转体体积.,