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1、江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷( (八) ) 数 学 (满分 160 分，考试时间 120 分钟) 一、 填空题：本大题共 14小题，每小题 5 分，共 70 分 1. 已知集合 Ax|x22x0，B0，1，2，则 AB_ 2. 若复数 zi(32i)(i 是虚数单位)，则 z 的虚部为_ 3. 如图，若输入的 x 值为 ，则相应输出的值为_ 3 (第 3 题) (第 4 题) 4. 某学校从高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高据测量被测学生身高全部 介于 155 cm 和 195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组155，160)、第二组 160，16
2、5)、第八组190，195，按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所 示估计这所学校高三年级全体男生身高 180 cm以上(含 180 cm)的人数为_ x2 y2 5. 双曲线 1 的焦点到渐近线的距离为_ 9 16 6.从 1，2，3，4，5 这 5 个数中，随机抽取 2 个不同的数，则这 2 个数的和为偶数的概率 是_ 1 7. 已知等比数列an满足 a22a14，a23a5，则该数列的前 5 项和为_ 8. 已知正四棱锥底面边长为 4 2，体积为 32，则此四棱锥的侧棱长为_ 1 9. 已知函数 f(x)sin(2x 3)(0x)，且 f()f() ()，则 2 _ 3 10.
3、 已知 m m(cos，sin)，n n(2，1)，( 2)，若 mnmn1，则 sin(2 2 ) ， 2 _ 1 11. 已知 ab1 且 2logab3logba7，则 a 的最小值为_ b21 12. 已知圆 O：x2y24，若不过原点 O 的直线 l 与圆 O 交于 P、Q 两点，且满足直线 OP、 PQ、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线 l 的斜率为_ an2（an2）， 13. 已知数列an中，a1a(0a2)，an1an3（an 2）)(nN N*)，记 Sna1 a2an.若 Sn2 015，则 n_ 1 14. 已知函数 f(x)是定义在 R R 上的奇函数，当 x0 时
4、，f(x) (|xa|x2a| 2 3|a|)若集合x|f(x1)f(x)0，xR R ，则实数 a 的取值范围为_ 二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤 15. (本小题满分 14 分) 如图，已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC，D、E 分别为 BC、CC1中点，BC1B1D.求证： (1) DE平面 ABC1； (2) 平面 AB1D平面 ABC1. 2 16. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x) 3cos2xsinxcosx(0)的周期为. (1) 当 x0， 2时，求函数 yf(x)的值域； A (2) 已
5、知ABC 的内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，若 f(2 ) 3，且 a4，b c5，求ABC 的面积 17.(本小题满分 15分) x2 y2 如图，已知椭圆 1(ab0)的左、右焦点为 F1，F2，P 是椭圆上一点，M 在 PF1上， a2 b2 且满足F1MMP(R R)，POF2M，O 为坐标原点 x2 y2 (1) 若椭圆方程为 1，且 P(2， 2)，求点 M 的横坐标； 8 4 (2) 若 2，求椭圆离心率 e 的取值范围 3 18. (本小题满分 15 分) 某隧道设计为双向四车道，车道总宽 20米，要求通行车辆限高 4.5 米，隧道口截面的拱 线近似地看成抛物线形
6、状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系 xOy. (1) 若最大拱高 h 为 6 米，则隧道设计的拱宽 l 是多少？ (2) 为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小现隧道口的最大拱高 h 不小 于 6 米，则应如何设计拱高 h 和拱宽 l，使得隧道口截面面积最小？(隧道口截面面积公式为 S 2 lh) 3 4 19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)(ax2x2)ex(a0)，其中 e 是自然对数的底数 (1) 当 a2 时，求 f(x)的极值； (2) 若 f(x)在2，2上是单调增函数，求 a 的取值范围； (3) 当 a1 时，求整数 t 的所有值，使方程 f(x)
7、x4 在t，t1上有解 20. (本小题满分 16 分) 若数列an中不超过 f(m)的项数恰为 bm(mN N*)，则称数列bm是数列an的生成数列，称 相应的函数 f(m)是数列an生成bm的控制函数 (1) 已知 ann2，且 f(m)m2，写出 b1，b2，b3； (2) 已知 an2n，且 f(m)m，求bm的前 m 项和 Sm； (3) 已知 an2n，且 f(m)Am3(AN N*)，若数列bm中，b1，b2，b5是公差为 d(d0)的等 差数列，且 b310，求 d 的值及 A 的值 5 (八) 1.1. 1 解析：Ax|0x2，B0，1，2，则 AB1本题主要考查集合的交 集
8、以及简单的一元二次不等式的解法等基础知识本题属于容易题 2.2. 3 解析：z23i，则 z 的虚部为 3.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知 识本题属于容易题 1 1 3.3. 解析：由于 sin cos ，则 ycos ，所以输出的值为 .本题考查了流程图的基 2 3 3 3 2 础知识以及特殊角的三角函数值本题属于容易题 4.4. 144 解析：由题意知，组距为 5，这所学校高三年级全体男生身高 180 cm以上(含 180 cm)的人数为 80015(0.0080.0160.080.06)144.本题考查了频率分布直方图基 础知识本题属于容易题 5.5. 4 解析：由题意知，焦点
9、(5，0)到渐近线的距离为 b4.本题考查了双曲线焦点及 渐近线等基础知识本题属于容易题 2 6.6. 解析：由从 1，2，3，4，5 这 5 个数中，随机抽取 2 个不同的数共有 10 种取法，其 5 2 中 2 个数的和为偶数共有 4 种，则所求的概率是 .本题考查了古典概型求法，主要是用列举法 5 列出基本事件总数本题属于容易题 7.7. 31 解析：由 a23a5，得 a11，代入 a22a14，则 a22，得到公比为 2，则该数列 的前 5 项和为 12481631.本题考查了等比数列的通项公式以及求和公式等内容本 题属于容易题 8. 8. 5 解析：由正四棱锥底面边长为 4 2，则
10、对角线的一半长为 4，再由体积公式得四棱 锥的高为3，则此四棱锥的侧棱长为5. 本题考查了正四棱锥体积、底面边长与侧棱长的关系本 题属于容易题 7 1 5 13 9.9. 6 解析：由 f(x)sin(2x 3) ，则 2 ，2 ，相加并化 2 3 6 3 6 7 简得 .本题主要考查了已知三角函数的值求角，此时一定要注意角的范围本题属 6 于容易题 7 10.10. 解 析 ： 由 mnmn 2cos sin 1， 又 cos2 sin2 1， 由 25 4 3 7 ( ， 2)，得 cos5，则 sin(2 2 )cos212cos2 .本题主要考 2 25 查了数量积的坐标运算，同角的三
11、角函数关系，二倍角公式等内容本题属于中等题 1 11.11. 3 解析：由 ab1，得 logab1，由 2logab3logba7，得 logab ，即 b2a， 2 1 1 1 a a 11213，则 a 的最小值为 3.本题考查了对数的运算，指数 b21 a1 b21 与对数的互化，以及基本不等式的运用、代数式的变换本题属于中等题 12.12. 1 解析：由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0，故可设直线 l 的方程为 ykx m (m0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由 x2y24，ykxm，消去 y，得(1k2)x22kmxm2 2km m24 40 ，且 x1x2 ，x
12、1x2 ，故 y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2) 1k2 1k2 y1 y2 k2x1x2km（x1x2）m2 m2.因为直线 OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以 x1 x2 x1x2 k2，化简得 m2k2m2.又 m0，所以 k21，即 k1.本题考查了直线与圆的位置关系，以及 韦达定理的运用，此方法也同样适用于直线与椭圆的位置关系本题属于中等题 n 13.13. 1 343 解析：当 1a2 时，a1a，a23a2，a3a.若 n 为偶数时，即 3 2 n1 2 015，无解；若 n 为奇数时， 3a2 015，即 3n4 0332a，nN N*，由 2
13、2a4， 2 2a4，得 n1 343.当 0a1 时，a1a，a23a2，a31a，a4a2，a5a.同理此 6 1 时 a ，得 n1 343.本题考查了数列的和问题，突出分类讨论思想和函数周期思想本题属 2 于难题 1 14.14. ( ， 解析： x|f(x1)f(x)0，xR R ， f(x1)f(x)0 恒成 立，即 f(x1)f(x) 6 1 (1) 当 a0 时，当 x0 时，f(x) x，又函数 f(x)是定义在 R R 上的奇函数， 函数 f(x) 2 1 是在 R R 上的解析式为 f(x) x，而 f(x1)是由 f(x)向右平移 1 个单位，则函数 f(x)和 f(x
14、 2 1)的图象有下图关系： 通过图象观察，当 a0 时，f(x1)f(x)恒成立； x, x 0,a) (2) 当 a0时，当 x0 时，f(x) 函数 f(x)是定义在 R R f (x) a, x a,2a) x 3a, x 2a,) 上的奇函数， f(x)在 R R 上的图象为(如下图)： 要使 f(x1)f(x)，两图象只要满足： 1 由图知，只要满足3a13a，即 00， 2 ，解得 1， 2 3 f(x)sin(2x 3) .(4分) 2 4 3 3 3 又 0x ， 得 2x ， sin(2x 3 )1，0sin(2x 3) 2 3 3 3 2 2 2 3 1，即函数 yf(x
15、)在 x0， 2上的值域为0， 1.(7分) 2 A 3 (2) f(2 ) 3， sin(A 3) . 2 4 2 由 A(0，)，知 . 2 1 综上，椭圆离心率 e 的取值范围为(，1 ).(15分) 2 3 18.18. 解：(1)设抛物线的方程为 yax2(a0)，则抛物线过点(10，2)， 3 代入抛物线方程解得 a ，(3分) 200 令 y6，解得 x20，则隧道设计的拱宽 l 是 40 米(5 分) 9 (2) 抛物线最大拱高为 h 米，h6，抛物线过点(10，(h2 )，代入抛物线方程得 a 9 h 2 . 100 9 h 2 100h 令 yh，则 x2h，解得 x2 ，
16、 100 9 h 2 9 l2 l 2 100h 2 则(2 ) ，h .(9分) 9 l2400 h 2 9 l2 2 h6， 6，即 20l40， l2400 9 l2 2 2 2 3l3 S lh l (20l40)(12分) 3 3 l2400 l2400 9l2（l2400）3l32l 3l2（l21 200） 3l2（l20 3）（l20 3） S . （l2400）2 （l2400）2 （l2400）2 当 20l20 3 时，S0，即 ax2(2a1)x30 在 x2，2上恒成立；(6 分) 9 令 g(x)ax2(2a1)x3. 1 a0，对称轴 x1 0. 2a 1 1 当
17、1 2，即 0a 时，g(x)在2，2上单调增， 2a 2 1 g(x)ming(2)10， 0a .(8分) 2 1 1 1 1 当21 0，即 a2时，g(x)在2，12a上单调减，在1 ，2上单 2a 2a 调增， 3 3 (2a1)212a0，解得 1 a1 ， 2 2 1 3 a1 . 2 2 3 综上，a 的取值范围是(0，1 2.(10分) (3) a1，设 h(x)(x2x2)exx4，h(x)(x23x3)ex1， 令 (x)(x23x3)ex1，(x)(x25x6)ex， 令 (x)(x25x6)ex0，得 x2，3. x ( ，3) 3 (3，2) 2 (2， ) (x)
18、 0 0 (x) 增 极大值 减 极小值 增 3 1 (x)极大值(3) 10， e 存在 x0(1，0)，x( ，x0)时 (x)0 ， h(x)在( ，x0)上单调递减，在(x0， )上单调递增 14 8 h(4) 0，h(3) 10， e4 e3 由零点的存在性定理可知：h(x)0 的根 x1(4，3)，x2(0，1)，即 t4，0.(16 分) 20. 解：(1) m1，则 a111， b11；m2，则 a112t适合题意，(12 t1，2td2， 125 2 125 t1，2t1， 125 分) 128 此时 2tA 2t，b1t，b2t3，b5t6， t3b3t6. 125 b310， 4t7. t 为整数， t4，t5，t6 或 t7. 210 211 f(3)27A，b310， 21027A211， A .(14 分) 27 27 211 当 t4 时，24A ， 无解 125 212 当 t5 时，25A ， 无解 125 213 213 当 t6 时，26A ， 64A . 125 125 214 当 t7 时，27A ， 无解 125 213 26A . 125 AN N*， A64或 A65. 综上：d3，A64或 65.(16 分) 11