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1、江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷( (二) ) 数 学 (满分 160 分，考试时间 120 分钟) 参考公式： n n 1 1 1. 样本数据 x1，x2，xn的方差 s2 (xi x) 2，其中 x xi； n n i1 i1 1 2. 锥体的体积公式：V Sh，其中 S 是锥体的底面面积，h 是高 3 一、 填空题：本大题共 14小题，每小题 5 分，共 70 分 1. 已知集合 Ax|1x1，则 AZ Z_ 2. 若复数 z(1i)(m2i)(i为虚数单位)是纯虚数，则实数 m 的值为_ 3. 数据 10，6，8，5，6 的方差 s2_ 4. 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别
2、标有 1，2，3，4 的正四面体，记落在桌面的底 x 面上的数字分别为 x，y，则 为整数的概率是_ y (第 6 题) y2 5. 已知双曲线 x2 1(m0)的一条渐近线方程为 x 3y0，则 m_ m2 6. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是_ 7. 底面边长为 2，侧棱长为 3的正四棱锥的体积为_ 8. 在等比数列an中，若 a11，a3a54(a41)，则 a7_ 9. 已知|a|a|1 1，|b|b|2 2，a ab b(1 1， 2 2)，则向量 a a，b b 的夹角为_ 10. 直线 axy10 被圆 x2y22axa0 截得的弦长为 2，则实数 a 的值是 _ 11
3、. 已知函数 f(x)x22x，则不等式 f(log2x)f(2)的解集为_ 3 12. 将函数 ysin2x的图象向左平移 (0)个单位，若所得的图象过点( 2)，则 ， 6 1 的最小值为_ 13. 在ABC 中，AB2，AC3，角 A 的平分线与 AB边上的中线交于点 O，若AOxAByAC (x，yR R)，则 xy 的值为_ 14. 已知函数 f(x)ex1x2(e为自然对数的底数)，g(x)x2axa3，若存在实 数 x1，x2，使得 f(x1)g(x2)0，且|x1x2|1，则实数 a 的取值范围是_ 二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、
4、证明过程或演算 步骤 15. (本小题满分 14 分) 在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，b4，c6，且 asinB2 3. (1) 求角 A 的大小； (2) 若 D 为 BC的中点，求线段 AD 的长 16.(本小题满分 14分) 如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，ACBD，AC与 BD 交于点 O，且平面 PAC底面 ABCD，E 为棱 PA上一点 (1) 求证：BDOE； (2) 若 AB2CD，AE2EP，求证：EO平面 PBC. 2 17. (本小题满分 14 分) 已知数列an满足 2an1anan2k(nN N*，kR R)，且 a12，a3
5、a54. (1) 若 k0，求数列an的前 n 项和 Sn； (2) 若 a41，求数列an的通项公式 an. 18. (本小题满分 16 分) 如图，墙上有一壁画，最高点 A 离地面 4 m，最低点 B 离地面 2 m，观察者从距离墙 x m(x 1)，离地面高 a m(1a2)的 C 处观赏该壁画，设观赏视角ACB. (1) 若 a1.5，问：观察者离墙多远时，视角 最大？ 1 (2) 若 tan ，当 a 变化时，求 x 的取值范围 2 3 19. (本小题满分 16 分) x2 y2 如图，椭圆 C： 1(ab0)的上、下顶点分别为 A，B，右焦点为 F，点 P 在椭圆 C a2 b2
6、 上，且 OPAF. (1) 若点 P 坐标为( 3，1)，求椭圆 C 的方程； (2) 延长 AF交椭圆 C 于点 Q，若直线 OP 的斜率是直线 BQ的斜率的 2 倍，求椭圆 C 的离心 率； (3) 求证：存在椭圆 C，使直线 AF平分线段 OP. 20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)cosxax21，aR R. (1) 求证：函数 f(x)是偶函数； (2) 当 a1 时，求函数 f(x)在，上的最值； (3) 若对于任意的实数 x 恒有 f(x)0，求实数 a 的取值范围. 4 (二) 1.1. 1，0，1 解析：本题主要考查集合的运算本题属于容易题 2.2. 2 解
7、析：z(1i)(m2i) m2(2m)i是纯虚数，则 m2.本题主要考查 纯虚数的概念及四则运算等基础知识本题属于容易题 16 16 3.3. 解析：平均数为 7，由方差公式得方差 s2 .本题考查了平均数及方差的概念及 5 5 计算公式本题属于容易题 1 x 1 4.4. 解析：本题的基本事件数为 16， 为整数的的基本事件数为 8，则所求的概率是 .本 2 y 2 题考查古典概型，属于容易题 3 y2 y 5.5. 解析：双曲线 x2 1(m0)的一条渐近线方程为 x 0，与 x 3y0 是同 3 m2 m 3 一条直线，则 m .本题考查了双曲线方程与其渐近线的方程之间的关系本题属于容易
8、题 3 1 6.6. 1 解析：由流程图知循环体执行 8 次，第 1 次循环 S ，n2；第 2 次循环 S 2 1，n3；第 3 次循环 S2，n4，第 8 次循环 S1，n9.本题考查了算法及流程图 的基本内容本题属于容易题 4 4 7.7. 解析：底面边长为 2，侧棱长为 3的正四棱锥的高为 1，底面积为 4，则体积为 .本 3 3 题考查了正四棱锥的体积公式本题属于容易题 8.8. 4 解析：由 a11，a3a54(a41)，得 q32，则 a7 a1(q3)24. 本题考查了等比数 列 通项公式，以及项与项之间的关系本题属于容易题 2 9.9. 解析：由 a ab b(1， 2)，得
9、(a ab b)23，则 142abab3 3，a ab b1 1 3 1 2 |a|b|a|b|cos，cos ，则 .本题考查了向量数量积的定义，模与坐标之间的关系本 2 3 题属于容易题 10.10. 2 解析：由圆 x2y22axa0 的圆心(a，0)，半径的平方为 a2a，圆心到直 线 axy10 的距离的平方为 a21，由勾股定理得 a2.本题考查了点到直线的距离公 式，以及利用垂径定理、勾股定理处理弦长问题本题属于容易题 11.11. (0，1)(4， ) 解析： 二次函数 f(x)x22x的对称轴为 x1， f(0) f(2)，结合二次函数的图象可得 log2x2，解得 04，
10、 解集为(0 ， 1)(4， ) 本题考查了二次函数的图象与性质，以及基本的对数不等式的解法本题属 于 中等题 3 12.12. 6 解析：易知 ysin2(x)，即 ysin(2x2)， 图象过点( 2)， ， 6 3 2 sin( 2) ， 2 2k 或 2 2k，kZ Z，即 k 或 3 2 3 3 3 3 6 k，kZ Z. 0， 的最小值为 .本题考查了三角函数的图象变换与性质本题属于 6 中等题 5 13.13. 解 析 ： AO 为 ABC 的 角 平 分 线 ， 存 在 实 数 (0)使 AO 8 1 AB AC x， 1 2 1 ( |)y ) ，即AO AB AC， .若
11、AB 边上的中线与 AB交于点 D， 2 3 1 |AB | |AC 3 3 1 则AO2xADyAC. C、O、D 三点共线， 2xy1 ，由得 x ，y ， xy 8 4 5 .本题考查了平面向量的线性表示以及向量的共线定理本题属于难题 8 5 14.14. 2，3 解析：易知函数 f(x)ex1x2 在 R R 上为单调增函数且 f(1)0， x1 x23 1，则|1x2|1 解得0x2， x2axa30 在x0，2上有解， a 在 x0， x1 （t1）23 4 2上有解令 tx11，3，则 xt1，a ，即 at 2 在1，2上 t t 递减，在2，3上递增，则当 t2 时 a 的最
12、小值为 2，当 t1 时 a 的最大值为 3， a 的取 值范围为2，3本题考查了函数的单调性，分离参数构造新函数，对数函数的性质以及换元 的应用本题属于难题 15.15. 解：(1) 由正弦定理，得 asinBbsinA，(2分) 3 因为 b 4，asinB2 3，所以 sinA .(4 分) 2 又 0A ，所以 A .(6分) 2 3 1 (2) 若 b4，c6，由余弦定理得 a2b2c22bccosA1636224 28，所以 a 2 2 7.(8分) 21 2 7 因为 asinB2 3，所以 sinB ，从而 cosB .(10 分) 7 7 因为 D 为 BC的中点，所以 BD
13、DC 7. 2 7 在ABD 中，由余弦定理得 AD2AB2BD22ABBDcosB，即 AD236726 7 7 19， 所以 AD 19.(14分) 16.16. 证 明：(1) 因为平面 PAC底面 ABCD，平面 PAC底面 ABCDAC，BDAC，BD平面 ABCD， 所以 BD平面 PAC. 因为 OE 平面 PAC，所以 BDOE.(6 分) (2) 因为 ABCD，AB2CD，AC与 BD 交于 O， 所以 COOACDAB12. 因为 AE2EP，所以 COOAPEEA，所以 EOPC. 因为 PC 平面 PBC，EO 平面 PBC， 所以 EO平面 PBC.(14分) 17
14、.17. 解：(1) 当 k0 时，2an1anan2，即 an2an1an1an，所以数列an是等 差数列(2 分) a12， a12， 设数列an公差为 d，则2a16d4，)解得.)(4分) 4 d 3 n（n1） n（n1） 4 所以 Snna1 d2n 2 (3 ) 2 2 8 n2 n.(6分) 3 3 (2) 由题意，2a4a3a5k，即24k，所以 k2.(8分) 又 a42a3a223a22a16，所以 a23. 由 2an1anan22，得(an2an1)(an1an)2， 所以，数列an1an是以 a2a11 为首项，2 为公差的等差数列 所以 an1an2n3.(10分
15、) 当 n2 时，有 anan12(n1)3， 于是 an1an22(n2)3，an2an32(n3)3，a3a2223，a2 a1213， 叠加，得 ana1212(n1)3(n1)(n2)， n（n1） 所以 an2 3(n1)2n24n1(n2)(13 分) 2 6 又当 n1 时，a12 也适合 所以数列an的通项公式为 ann24n1，nN N*.(14 分) 18.18. 解：(1) 当 a1.5时，过 C 作 AB的垂线，垂足为 D，则 BD0.5 m，且ACD 0.5 2.5 BCD，由已知观察者离墙 x m，且 x1，则 tanBCD ，tanACD ，(2分) x x 2.
16、5 0.5 2 x x x 所以 tantan(ACDBCD) 2.5 0.5 1.25 1 1 x2 x2 2 2 2 5 5 ，当且仅当 x 1“时，取 ”(6分) 1.25 5 2 5 x 2 x 4 又 tan在(0， 2)上单调增， 5 所以，当观察者离墙 m 时，视角 最大(8分) 2 2a 4a 1 (2) 由题意，得 tanBCD ，tanACD ，又 tan ，所以 tantan(ACD x x 2 2x 1 BCD) ，(10 分) x2（a2）（a4） 2 所以 a26a8x24x， 当 1a2 时，0a26a83，所以 0x24x3， x24x 0 即x 24x3 0)
17、，解得 0x1 或 3x4.(14分) 因为 x1，所 以 3x4，所以 x 的取值范围为3，4(16 分) 1 19.19. (1) 解：因为点 P( 3，1)，所以 kOP . 3 b 1 因为 AFOP， 1， c 3 所以 3cb，所以 3a24b2.(2分) 又点 P( 3，1)在椭圆上， 3 1 13 13 所以 1，解之得 a2 ，b2 . a2 b2 3 4 x2 y2 故椭圆 C 的方程为 1.(4 分) 13 13 3 4 x y x2 y2 (2) 解：由题意，直线 AF 的方程为 1，与椭圆 C 的方程 1 联立消去 y， 得 c b a2 b2 2x 2a2c 2a2
18、c b（c2a2） x2 0，解得 x0 或 xa2c2，所以 Q 点的坐标为( ， a2c2 )，(7分) c a2c2 b（c2a2） b a2c2 bc 所以直线 BQ的斜率为 kBQ . 2a2c a2 a2c2 a2c2 a2c2 c 2bc 由题意得 ，所以 a22b2，(9 分) b a2 7 c b2 2 所以椭圆的离心率 e 1 .(10 分) a a2 2 cx x y (3) 证明：因为线段 OP垂直 AF，则直线 OP的方程为 y ，与直线 AF的方程 1 联 b c b b2c bc2 立，解得两直线交点的坐标( a 2 ). ， a2 2b2c 2bc2 因为线段
19、OP被直线 AF平分，所以 P 点坐标为( ， .(12分) a 2 ) a2 4b4c2 4b2c4 由点 P 在椭圆上，得 1， a6 a4b2 c2 又 b2a2c2，设 t，得 4(1t)2tt21. (*)(14分) a2 令 f(t)4(1t)2tt214(t3t2t)1 ， 因为 f(t)4(3t22t1)0，所以函数 f(t)单调增 又 f(0)10，f(1)30， 所以 f(t)0 在区间(0，1)上有解，即(*)式方程有解， 故存在椭圆 C，使线段 OP被直线 AF 垂直平分(16 分) 20.20. (1) 证明：函数 f(x)的定义域为 R R， 因为 f(x)cos(
20、x)a(x)21cosxax21f(x)，所以函数 f(x)是偶函数(3 分) (2) 解： 当 a1 时，f(x)cosxx21，则 f(x)sinx2x，令 g(x)f(x) sinx2x，则 g(x)cosx20，所以 f(x)是增函数 又 f(0)0，所以 f(x)0，所以 f(x)在0，上是增函数 又函数 f(x)是偶函数， 故函数 f(x)在，上的最大值是22，最小值为 0.(8 分) (3) 解：f(x)sinx2ax， 令 g(x)f(x)sinx2ax，则 g(x)cosx2a， 1 当 a 时，g(x)cosx2a0，所以 f(x)是增函数又 f(0)0，所以 2 f(x)
21、0，所以 f(x)在0， )上是增函数而 f(0)0，f(x)是偶函数，故 f(x)0 恒成 立(12 分) 1 当 a 时，g(x)cosx2a0，所以 f(x)是减函数又 f(0)0，所以 2 f(x)0，所以 f(x)在(0， )上是减函数而 f(0)0，f(x)是偶函数，所以 f(x)0， 与 f(x)0 矛盾，故舍去(14分) 1 1 当 a 时，必存在唯一 x0(0，)，使得 g(x0)0，因为 g(x)cosx 2 2 2a 在0，上是增函数，所以当 x(0，x0)时，g(x)0，即 f(x)在(0，x0)上是减函数 又 f(0)0，所以当 x(0，x0)时，f(x)0，即 f(x)在(0，x0)上是减函数而 f(0)0 ， 所以当 x(0，x0)时，f(x)0，与 f(x)0 矛盾，故舍去 1 综上，实数 a 的取值范围是，).(16分) 2 8