《西南专版2018届九年级数学下册27.2相似三角形教案新版新人教版20170717231.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《西南专版2018届九年级数学下册27.2相似三角形教案新版新人教版20170717231.wps（27页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、27272 2 相似三角形 27272.12.1 相似三角形的判定 第 1 1 课时 平行线分线段成比例 知识与技能 使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用 过程与方法 通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，通过应 用锻炼识图能力和推理论证能力 情感、态度与价值观 通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学图形的对称美，激 发学习数学的兴趣 重点 平行线分线段成比例定理和推论及其应用 难点 平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用 一、复习导入 师：什么是相似多边形？ 生：对应角分别相等，对应 边成比
2、例的两个多边形 教师用多媒体展示： 如图，在ABC和ABC中， AB BC AC 如果AA，BB，CC， k. AB BC AC 师：这样的两个三角形有什么关系呢？ 生：ABC 和ABC相似 师：对，两个三角形相似记作ABCABC“”“”， 读作 相似于 师：上面的两个三角形的相似比为 k，假如 k1，这两个三角形有怎样的关系？ 生：当 k1 时，ABAB，BCBC，ACAC，ABCABC. 师：所以全等是相似的特殊情况 师：既然全等有很多种判定方法，我们可以类比全等的判定方法找到两个三角形相似的方法 吗？在这之前，我们先来探究下面的问题 二、共同探究，获取新知 师：我们知道两条平行线之间的距
3、离是相等的如果有三条直线 l3l4l5，任意两直线 l1 和 l2与它们相交且截得的线段 ABBC. 我们会得到 DEEF， AB DE 即 1. BC EF 你们知道为什么吗？ 生：学生思考、讨论，得出结论 平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那 么在另一条上截得的线段也相等 AB DE AB 师：如果 1，那么 和 还相等吗？ BC EF BC 师：引导学生按要求画图，测量 生：操作后，讨论 AB DE BC EF BC EF 可 以发现，当 l3l4l5时，总有 ， ， 等 BC EF AB DE AC DF 一般地，我们有平行线分线段成比例的基
4、本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 师：把平行线分线段成比例的 基本事实应用到三角形中，会出现什么样的情况呢？ 生：思考、画图 图(1)中把 l4看成平行于ABC 的边 BC的直线，图(2)中把 l3看成平行于ABC的边 BC 的直 线，可以得到结论： 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例 三、例题讲解 例 如图，在ABC 中，E，F 分别是 AB和 AC 上的点，且 EFBC. (1)如果 AE7，EB5，FC4，那么 AF的长是多少？ (2)如果 AB10，AE6，AF5，那么 FC 的长是多少？ 解：(1)EFBC， AE AF
5、. EB FC AE7，EB5，FC4， AEFC 7 4 28 AF . EB 5 5 (2)EF BC， AE AF . AB AC AB10，AE6，AF5， ABAF 10 5 25 AC ， AE 6 3 25 10 FCACAF 5 . 3 3 四、巩固练习 1如图，已知 ABCDEF，那么下列结论正确的是( ) AD BC BC DF A. B. DF CE CE AD CD BC CD AD C. D. EF BE EF AF 答案 A 2如图，DEBC，ABDB31，则 AEAC_ 答案 23 五、课堂小结 师：今天你学习 了哪些定理？ 学生口述定理 在思考中，学生总结出当求
6、证的两个比例式的线段不在同一基本型的时候应该怎样解题，并 “”且掌握中间比的找法对于添加辅助线的证明比例式问题，需要 透析 题目中的条件和证明方 法从课堂练习和作业反馈上体现出学生对知识的接受还比较理想，这堂课还是比较成功的 第 2 2 课时 相似三角形的判定(1 1) 知识与技能 “” 掌握 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 的判定 方法； 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题 过程与方法 经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力 情感、态度与价值观 培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神 重点 三角形相似的判定方法 1：
7、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原 三角形相似 难点 三角形相似的判定方法 1 的运用 一、创设情境，引入新课 师：根据相似三角形的定义，三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形那 么， 两个三角形至少要满足哪些条件就相似呢？能否类比两个三角形全等的条件寻找判定两个三 角形相似的条件呢？今天这节课我们就一起来探索三角形相似的条件 二、探究新知 问题 平行于三角形一边的直线与其他两边相交所构成的三角形，与原三角 形相似吗？ 师生活动： 如图，在ABC 中，DEBC，且 DE分别交 AB，AC 于点 D，E，ADE 与ABC有什么关系？ 直觉告诉我们，ADE 与AB
8、C相似，我们通过相似的定义证明它，即证明AA，ADE AD AE DE AD AE DE B，AEDC， .由前面的结论可得， .而 中的 DE不在ABC 的边 BC AB AC BC AB AC BC AE DE 上，不能直接利用前面的结论但从要证的 可以看出，除 DE外，AE，AC，BC都在ABC AC BC AE BF 的边上，因此只需将 DE 平移到 BC边上去，使得 BFDE，再证明 就可以了只要过点 E AC BC 作 EFAB，交 BC于点 F，BF就是平移 DE 所得的线段 先证明两个三角形的角分别相等 如图，在ADE 与ABC中，AA. DEBC， ADEB，AEDC. 再证
9、明两个三角形的边成比例 过点 E 作 EFAB，交 BC于点 F. DEBC，EFAB， AD AE BF AE ， . AB AC BC AC 四边形 DBFE 是平行四边形， DEBF， DE AE ， BC AC AD AE DE . AB AC BC 这样，我们证明了ADE 和ABC的角分别相等，边成比例，所以ADEABC，因此，我 们有如下判定三角形相似的定理 三角形相似的判定方法 1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原 三角形相似(定理的证明由学生独立完成) 三、例题讲解 例 如图，D，E 分别是ABC 的边 AB，AC上的点，DEBC，AB7，AD5，DE1
10、0，求 BC 的长 解：DEBC， ADEABC， AD DE ， AB BC ABDE 7 10 BC 14. AD 5 四、课堂小结 本节课学习了： 三角形相似的判定方法 1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原 三角形相似 本节课主要是探究相似三角形的判定方法 1，本课教学力求使探究途径多元化，把学生利用 “” 刻度尺、量角器等作图工具做静态探究与应用 几何画板 等计算机软件做动态探究有机结合起 来， 让学生充分感受探究的全面性，丰富探究的内涵另外小组合作学习的开展不仅提高了数学 实验的效率，而且培养了学生的合作能力 第 3 3 课时 相似三角形的判定(2 2) 知识
11、与技能 理解并掌握相似三角形的判定方法 2，3. 过程与方法 培养学生的观察、发现、比较、归纳的能力，感受两个三角形全等的两种判定方法 SSS 和 SAS 与三角形相似定理的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系 情感、态度与价值观 让学生经历从试验探究到归纳证明的过程，发展学生合理的推理能力 重点 两个三角形相似的判定方法 2，3 及其应用 难点 探究两个三角形相似的判定方法 2，3 的过程 一、问题引入 1我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ (三角形相似的定理 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角 形相似) 2全等三角形与相似三角形有怎样的关系？ (全等三角形是特
12、殊的相似三角形，相似比 k1) 3如果要判定ABC与ABC相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边 的关系？ (不需要) 二、新课教授 由三角形全等的 SSS 判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边 对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？ 探究 1： 任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的 k 倍，度量这 两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的 结论 学生动手画图、测量，独立研究后再小组讨论 三角形相似的判定方法 2：三边成比例的两个三角形相似 探究 2： AB AC 利用刻度尺和
13、量角器画ABC 和ABC，使AA， 和 都等于给定的 AB AC 值 k，量出它们的第三组对应边 BC 和 BC的长，它们的比等于 k 吗？另外两组对应角B 与 B，C 与C是否相等？ 改变A 或 k 值的大小，再试一试，是否有同样的结论？ 学生动手画图、测量，独立研究 三角形相似的判定方法 3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 三、例题讲解 例 1 根据下列条件，判断ABC 与A1B1C1是否相似，并说明理由 (1)A120，AB7 cm，AC14 cm，A1120，A1B13 cm，A1C16 cm ； (2)B120，AB2 cm，AC6 cm，B1120，A1B18 cm，A1C1
14、24 cm. AB AC 7 解：(1) ，AA1120ABCA1B1C1； A1B1 A1C1 3 AB AC 1 (2) ，BB1120，但B 与B1不是 AB 与 AC，A1B1与 A1C1的夹角，所 A1B1 A1C1 4 以 ABC 与A1B1C1不相似 AB BC AC 例 2 如图，在ABC 和ADE中， ，BAD20，求CAE 的度数 AD DE AE AB BC AC 解： ， AD DE AE ABCADE(三边成比例的两个三角形相似)， BACDAE， BACDACDAEDAC， 即 BADCAE. BAD20， CAE20. 四、 巩固练习 1根据下列条件，判断ABC和
15、ABC是否相似，并说明理由 (1)A40，AB8 cm，AC15 cm， A40，AB16 cm，AC30 cm； (2)AB10 cm，BC8 cm，AC16 cm， AB20 cm，BC16 cm，AC32 cm. 答案 (1)相似，两组对应边的比相等，且夹角相等 (2)相似，三组对应边的比相等 2图中的两个三角形是否相似？ 答案 (1)相似 (2)不相似 五、课堂小结 师：通过本节课的学习，同学们有什么体会与收获？可以与大家 分享一下吗？ 学生发言，说说自己的体会与收获，教师根据学生的发言予以点评 本节课主要是探究相似三角形的判定方法 2 和判定方法 3，由于上节课已经学习了探究两个 三
16、角形相似的判定方法 1，而本节课内容在探究方法上与上节课又具有一定的相似性，因此本课 “”教学设计注意方法上的 新旧联系 ，以帮助学生形成认知上的正迁移此外，由于判定方法 3 的条 “” 件 相应的夹角相等 在应用中容易被学生忽视，所以教学中教师要强调，以加深学生的印 象 第 4 4 课时 相似三角形的判定(3 3) 知识与技能 使学生了解三角形相似的判定方法 4 及直角三角形相似定理的证明方法并会运用 过程与方法 1类比证明三角形全等的方法(AAS，ASA，HL)，继续渗透和培养学生对类比思想的认识和 理解 2通过了解定理的证明方法培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力 情感、态度与价值
17、观 通过学习培养学生类比的意识，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点 重点 两个判定定理的应用 难点 了解两个判定定理的证明方法与思路 一、复习引入 师：判定两个三角形全等的方法有哪几种？ 生：SAS，ASA(AAS)，SSS，HL 师：三角形相似的判定方法 2 和 3“是类比三角形全等的判定方法SAS”“，SSS”得出的， “那我们能否类比ASA(AAS)”“，HL”用同样的方法得出新的三角形相似的判定方法呢？ 二、共同探究，获取新知 推理证明 探究 1： “师：由于ASA(AAS)”中只有一条边，是不能写出对应边的比的，那么就剩下两个角了，即 两角分别相等的两个三角形相似吗？ 教师用多媒体出
18、示： 如图，在ABC 和ABC中，AA，BB，判断ABC 和ABC是 否相似，为什么？ 教师引导学生在稿纸上按要求画图 学生动手画图、测量、独立研究 三角形相似的判定方法 4：两角分别相等的两个三角形相似 探究 2 “： 师：判定两个直角三角形是否全等时，除了用那些一般的方法外还可以用HL”的方 法，那 么判定两个直角三角形相似是否也有类似的方法呢？ 教师多媒体课件出示： AB AC 如图，在 RtABC和 RtABC中，CC90， .判断 RtABC AB AC 与 RtABC是否相似，为什么？ 师：已知一个直角三角形的斜边、一条直角边与另一个直角三角形的斜边、一条直角边对应 成比例，你能判
19、断这两个直角三角形是否相似吗？ 学生思考、讨论后回答 AB AC 生：设 k，则 ABkAB，ACkAC，根据勾股定理 BC 可以用含 AB AC AB，AC的式子表示，进而可以用含 AB，AC的式子表示，再用勾股定理就得到 BCkBC ，所以就得到了三边对应成比例，这两个三角形相似 师：你回答得太好了！现在请同学们写出具体的步骤，然后与课本上的对照，将不完善的地 方改正 学生证明并修改 AB AC 证明：设 k，则 ABkAB，ACkAC. AB AC BC AB2AC2 k2AB2k2AC2k AB2AC2kBC， AB AC BC k， AB AC BC ABCABC. 师：所以我们得到
20、了判定两个直角三角形相似的一个定理： 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比 例，那么这两个直角三角形相似 三、练习新知 1如图，锐角ABC的边 AB，AC 上的高 CE，BF相交于点 D，请写出图中的两对相似三角 形 生甲：ABF 和ACE. 生乙：EDB 和FDC. 2如图，在 RtABC 中，C90，CD是边 AB 上的高，求证：(1)CD2ADBD； (2)BC2ABBD，AC2ABAD. 证明：(1)ADC和ACB 是直角三角形， AACD90，BCDACD 90， ABCD ， 又ADCCDB90， ADCCDB. CD AD . BD C
21、D CD2ADBD. (2)BB， ACBCDB， ABCCBD. BC BD . AB BC BC2ABBD. 同理可证ABCACD. AC AB . AD AC AC2ABAD. 四、课堂小结 本节课主要学习了三角形相似的另一个判定定理：两角对应相等的两个三角形相似除了前 面讲过的针对任意三角形相似的判定方法外，还有斜边和直角边分别对应成比例的两个直角三角 形相似这一判定定理在做题时要灵活运用，选取合适的方法 前面已经学习了几种三角形相似的判定方法，所以这节课以学生为主导，教师加以提示、纠 正、鼓励学生自己探索，讨论得出新的判定定理，培养学生的动手能力，勇于探索的精神 27272.22.2
22、 相似三角形的性质 第 1 1 课时 相似三角形的性质(1 1) 知识与技能 理解并掌握相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线) 之间的关系，掌握定理的证明方 法， 并能灵活运用相似三角形的判定定理和性质，提高分析和推理能力 过程与方法 “”在对性质定理的探究中，学生经历 观察猜想论证归纳 的过程，培养学生主动探 究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇 于 探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力 情感、态度与价值观 1在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律 2通过学生之间的合作交流使学生体验到成功的喜悦，树立学好数学的自信
23、心 重点 相似三角形性质定理的探究及应用 难点 综合应用相似三角形的性质与判定定理，探索相似三角形中对应线段之间的关系 一、复习回顾 师：相似三角形的判定方法有哪些？ 学生回答 师：相似三角形有哪些性质？ 生：相似三角形的 对应角相等，对应边成比例 师：三角形有哪些相关的线段？ 生：中线、高和 角平分线 二、共同探究，获取新知 教师多媒体 课件出示： 已知：如图，ABCABC，它们的相似比为 k，AD，AD是对应高求证： AD AB k. AD AB 师：这个题目中已知了哪些条件？ 生：ABC 和ABC相似，这两个三角形的相似比是 k，AD，AD分别是它们的高 师：我们要证的是什么？ 生：它们
24、的高的比等于它们对应边的比，等于这两个三角形的相似比 师：你是怎样证明的呢？ AD AB 生：证明ABD和ABD相似，然后由相似三角形的对应边成比例得到 . AD AB 师：你怎样证明ABD 和ABD相似呢？ 学生思考后回答：因为ABC和ABC相似，由相似三角形的对应角相等，所以B B，ADBADB90.根据两角对应相等的两个三角形相似得到ABD 和ABD 相似 学生写出证明过程 活动 1.已知：如图，ABCABC，它们的相似比为 k，AD，AD是对应的中线 AD AB 求证： k. AD AB 证明：ABCABC， AB BC BB， k. AB BC 又AD和 AD分别是ABC和ABC的中
25、线， 1 BC 1 1 BD 2 BC BD BC，BD BC， k， 2 2 BD 1 BC BC 2 ABDABD(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)， AD AB k. AD AB 活动 2.已知：如图，ABCABC，它们的相似比为 k，AD，AD分别是BAC 和 BAC的平分线 AD AB 求证： k. AD AB 证明：ABCABC， BB，BACBAC. 又AD和 AD分别是BAC和BAC的平分线， 1 BAD BAC， 2 1 BAD BAC， 2 BAD BAD， BADBAD(两角对应相等的两个三角形相似)， AD AB k. AD AB 师：于是我们就得到了相似三角
26、形的一个性质定理 定理 1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 三、例题讲解，应用新知 例 如图，AD是ABC 的高，ADh，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB边上，SRAD，垂足为 E. 1 1 当 SR BC时，求 DE 的长如果 SR BC 呢？ 2 3 解：SRAD，BCAD， SRBC， ASRB，ARSC， ASRABC(两角分别相等的两个三角形相似)， AE SR (相似三角形对应高的比等于相似比)， AD BC ADDE SR 即 . AD BC 1 hDE 1 1 当 SR BC时，得 ，解得 DE h. 2 h 2 2 1 hDE 1 2
27、 当 SR BC时，得 ，解得 DE h. 3 h 3 3 四、课堂小结 师：今天你又学习 了什么内容？ 学生回答 在本节课的教学过程中，先让学生回顾了相似三角形的性质即对应角相等，对应边成比例， 为后面的证明做了铺垫在已有知识的基础上用类比化归的思想去探究新知，让学生充分体会数 学 知识之间的内在联系，以此激发学生的学习兴趣，能够使整个课堂气氛由沉闷变得活跃，尤其 是让学生板演使学生有机会展示他们的学习所得，做到了将课堂回归给学生，学生的主体地位得 到了很好的体现 第 2 2 课时 相似三角形的性质(2 2) 知识与技能 理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用
28、来解决简单 的问题 过程与方法 探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想 情感、态度与价值观 经历探索相似三角形性质的过程，并在探究过程中发展学生积极的情感、态度与价值观，体 验解决问题策略的多样性 重点 理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方 难点 探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方 一、复习引入 1回顾相似三角形的概念及判定方法 2复习相似多边形的定义及相似多边形的对应边、对应角的性质 二、新课教授 探究 1：如果两个三角形相似，它们的周长之间是什么关系？如果是两个相似多边形呢？ 学生小组自由讨论、交流，达成共识
29、设ABCA1B1C1，相似比为 k， AB BC CA 那么 k A1B1 B1C1 C1A1 ABkA1B1，BCkB1C1，CAkC1A1 ABBCCA A1B1B1C1C1A1 kA1B1kB1C1kC1A1 k. A1B1B1C1C1A1 由此我们可以得到： 相似三角形的性质 2 ：相似三角形周长的比等于相似比 用类似的方法，还可以得出： 相似多边形的性质 1：相似多边形周长的比等于相似比 探究 2： (1)如图(1)，ABCA1B1C1，相似比为 k1 ，它们的对应高的比是多少？它们的面积比是多 少？ 通过上节课的学习，我们得到了相似三角形的性质 1：相似三角形对应高的比等于相似比
30、AD AB k1. A1D1 A1B1 由上述结论， 我们有： 1 1 BC AD k1B1C1 k1A1D1 S ABC 2 2 k12. S A1B1C1 1 1 B1C1 A1D1 B1C1 A1D1 2 2 相似三角形的性质 3：相似三角形面积的比等于相似比的平方 (2)如图(2)，四边形 ABCD 相似于四边形 A1B1C1D1，相似比为 k2，它们的面积比是多少？ S ABC S ACD 分析： k22， S A1B1C1 S A1C1D1 S 四边形ABCD S ABCS ACD k22. S 四边形A1B1C1D1 S A1B1C1S A1C1D1 相似多边形的性质 2：相似多
31、边形面积的比等于相似比的平方 三、例题讲解 例 如图，在ABC和DEF 中，AB2DE，AC2DF，AD，ABC的周长是 24，面积 是 12 5，求DEF的周长和面积 解：ABC 和DEF中， AB2DE，AC2DF， DE DF 1 . AB AC 2 又AD， 1 ABCDEF，相似比为 . 2 1 DEF 的周长 2412， 2 1 面积( )212 53 5. 2 四、 巩固练习 填空： (1)如果两个相似三角形对应边的比为 35，那么它们的相似比为_，周长的比为 _，面积的比为_； (2)如果两个相似三角形面积的比为 35，那么它们的相似比为_，周长的比为 _； (3)连接三角形两
32、边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于 _，面积比等于_； (4)两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm，若较大三角形的周长是 42 cm，面 积是 12 cm2，则较小三角形的周长为_cm，面积为_cm2. 3 3 9 3 3 1 1 4 答案 (1) (2) (3) (4)14 5 5 25 5 5 2 4 3 五、课堂小结 相似三角形的性质： 性质 2.相似三角形周长的比等于相似比 性质 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方 相似多边形的性质 1：相似多边形周长的比等于相似比 相似多边形的性质 2：相似多边形面积的比等于相似比的平方 本节课主要
33、是让学生理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，通 过探索相似多边形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方让学生体验化归思想，学会 应用相似三角形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方来解决简单的问题因此本课 的 “教学设计突出了 相似比相似三角形周长的比”“相似多边形周长的比 ， 相似比相似三 角形面积的比”相似多边形面积的比 等一系列从特殊到一般的过程，让学生深刻体验到有限数 学归纳法的魅力 27.2.327.2.3 相似三角形应用举例 知识与技能 进一步巩固相似三角形的知识；能够运用三角形相似的知识解决不能直接测量的物体的长度 和高度(如测量金字塔高度
34、问题、测量河宽问题、盲区问题)等一些实际问题 过程与方法 通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型进一步了解数学建模的思想，培养学生分 析问题、解决问题的能力 情感、态度与价值观 体会数学在生活中的作用，增强学习数学的兴趣，树立学好数学的信心 重点 运用三角形相似的知识计算不能直接测量的物体的长度和高度 难点 灵活运用三角形相似的知识解决实际问题，即如何把实际问题抽象为数学问题 一、新课教授 例 1 (测量金字塔高度的问题)根据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三 角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形来测量金字塔 的高度 如图，木杆 EF 长
35、 2 m，它的影长 FD为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的 影 子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定定理和性质，根据已知条件求出 金字塔的高度 解法一：BADE， BAOEDF. 又 AOBDFE90， ABODEF， BO AO ， EF DF AOEF 201 2 BO 134. DF 3 答：此金字塔的高度为 134 m. 问：你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？(如用身高等) 解法二：用镜面反射(如图，点 A 是个小镜子，根据光的反射定律：由入射角等于反射角 构造相
36、似三角形，解法略) 例 2 (测量河宽的问题)如图，为了估算河的宽度，我们可在河对岸选定一个目标点 P，在 近岸处取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与岸垂直，接着在过点 S 且与 PS垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直于 PS的直线 b 交于点 R，测得 QS45 m，ST90 m，QR60 m求河的宽度 PQ. 分析：设河宽 PQ 长为 x m，由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到相似三 PQ QR x 60 角形，因此有 ，即 .再解 x 的方程可求出河宽 PS ST x45 90 解法一：PQRPST90，PP， PQRP
37、ST， PQ QR ， PS ST PQ QR PQ 60 即 ，即 ， PQQS ST PQ45 90 PQ90(PQ45) 60， 解得 PQ90 ， 因此河的宽度 PQ 为 90 m. 问： 你还可以用什么方法来测量河的宽度？ 解法 二：如图，构造相似三角形(解法略) 例 3 (盲区问题)如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB8 m 和 CD12 m，两树根部 的距离 BD5 m一个身高 1.6 m 的人沿着正对这两棵树的一条水平直线 l 从左向右前进，当他 与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点 C? 解：如图所示，假设观察者从左向右走到点 E 时，他的眼睛
38、的位置点 F 与两棵树的顶端点 A，C 恰好在一条直线上 由题意可知，ABl，CDl， ABCD，AFHCFK， FH AH ， FK CK FH 81.6 6.4 即 ， FH5 121.6 10.4 解得 FH8. 由此可知，如果观察者继续前进，即他与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡， 右边树的顶端点 C 在观察者的盲区之内，观察者看不到它 二、巩固练习 1如图，身高 1.6 m 的小华站在距路灯杆 5 m 的 C 点处，测得她在灯光下的影长 CD为 2.5 m，则路灯的高度 AB为_ 答案 4.8 m 2在同一时刻，物体的高度与它的影长成正比例在某一时刻，有人测得一高为
39、1.8 米的 竹竿的影长为 3 米，某一高楼的影长为 60 米，那么高楼的高度是多少米？ 答案 36 m 三、课堂小结 本节课主要让学生了解：利用三角形的相似可以解决一些不能直接测量的物体的高度和长度 的问题指导思想是利用相似三角形对应边的比相等，如果四条对应边中已知三条，则可求得第 四条，具体研究了如何测量金字塔高度的问题、测量河宽的问题、盲区问题通过具体事例加强 有关相似三角形知识的应用 本节课主要是让学生学会运用两个三角形相似的知识解决实际问题，在解决实际问题的过程中经 “ 历从实际问题到建立数学模型的过程，培养学生的抽象概括能力因此在教学设计中突出了 审 题 画示意图明确数量关系” 解决问题 的数学建模过程，学生可以从中锻炼把生活中的实际 问题转化 为数学问题的能力