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1、第2章 拉格朗日方程,一、约束及其分类 1).理想约束和非理想约束： 系统中所有约束力的虚功的代数和为零的约束是理想约束，否则称为非理想约束。 2).完整约束与非完整约束： 约束方程仅是坐标和时间的函数的约束是完整约束；约束方程不仅和坐标与时间，还和速度有关，则是非完整约束 3).定常约束和非定常约束： 约束方程中不显含时间的是定常约束，反之为非定常约束,二、达朗贝尔方程和拉格朗日方程 1).达朗贝尔(dAlembert)方程： 如果系统所受到的约束是理想的，则有： 这是理想约束体系动力学的普遍方程。 2).拉格朗日(Lagrange)方程： 相比牛顿力学，拉格朗日动力学方程取较简洁的形式，并
2、且拉格朗日方程是从能量角度来写的动力学方程，有其普遍意义。,2.3 用达朗贝尔方程写出习题1.24的运动微分方程 解：取m位矢OM与OO连线夹角为，取极坐标系 则,代入达朗贝尔方程： ，并化简得,系数为零,2.6 用拉格朗日程写出习题1.20的运动微分方程 解：如图，取底面圆心处为坐标原点，建立柱坐标系，质点到轴距为R 有几何关系,代入完整保守体系的拉格朗日程，并化简得：,代入完整保守体系的拉格朗日方程，并化简得,2.7 用拉格朗日方程写出习题1.21的运动微分方程 解：建立柱坐标系，取R， 为广义坐标,由几何关系：,2.8 用拉格朗日方程写出习题1.24的运动微分方程 解：以为广义坐标，取极
3、坐标系,代入完整保守体系的拉格朗日方程，并化简得,则,2.9 用拉格朗日方程写出习题1.27的运动微分方程 解：体系为自由度为2的完整约束体系，取x,y为广义坐标,代入完整保守体系的拉格朗日方程，并化简得,2.11 光滑刚性抛物线R2=2pz以恒定角速度绕铅直轴z旋转，其上套有质量为m的小环.(1)试求小环的拉格朗日函数及运动方程；(2)小环可稳定某处时，？ 解：建立柱坐标系，R为广义坐标，,代入完整保守体系的拉格朗日方程，,则,化简得到，,当小环稳定时，R为定值，即有,代入上式，可得,即,2.12 质量为m的质点约束在光滑的旋转抛物面x2+y2=az的内壁运动，z轴为铅直轴。写出(1)质点的
4、运动方程，(2)质点做圆周运动所满足的条件。 解：体系自由度为2的完整约束体系，选用柱坐标系，R,为广义坐标,代入完整保守体系的拉格朗日方程，并化简得,将约束条件x2+y2=R2az，代入得,若质点做圆周运动，有,可得 即,当t=0时，有v=v0，z=h，得,由杆AC，DG力矩平衡：,2.13 图中所示是一台磅秤的简化机构.试证明：若 ，则在平衡条件下，秤锤的重量P与重物P在秤台的位置无关，且,若有 ，则有：,证明：由受力平衡，B处受力为(P-F1),又有F1 F1， F2 F2,即秤锤的重量P与重物P在秤台的位置无关，且,体系为完整保守平衡系统：,2.15 一水平的固定光滑钉子M与光滑铅直墙面的距离为d，一长为l的均匀棒AB搁在钉子上，下端靠在墙上，求平衡时棒与墙的夹角 解：以M点为原点建立直角坐标系，有,即,1),2),由图,由虚功为零,即,任意，,则,2.18 质量为m1和m2的两个质点用一固有长度为l，重量可忽略的弹簧连接，放置在半径R的光滑球壳内，求平衡时两质点的位置。 解： m1o和m2o分别和铅垂线的夹角为 ，原点为o,化简得,体系为完整保守平衡系统：,令,2.23 质量为m，电荷为q的粒子在轴对称电场 和均匀磁场 中运动。写出粒子的拉格朗日函数和运动微分方程。 解： 由题中 ，,代入：,在柱坐标系中，有：,化简得：, ,