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1、第二章 测量误差与不确定度基础及测量数据处理,第一节 测量误差的基本概念,实际测量中，由于对客观规律认识的局限性、测量器具不准确、测量手段不完善、测量条件发生变化及测量工作中的疏忽或错误等原因，都会使测量结果与真值不同。,一、测量误差的定义 测量误差是指测量结果与被测量真值的差别。 真值：一个量在被观测时所具有的真实大小。 测量误差可用绝对误差和相对误差表示。 1、绝对误差 绝对误差又叫做绝对真误差，它可以表示为,x：绝对真误差 x：被测量的测量值 x0：被测量的真值,2、相对误差 绝对真误差不能确切反映测量的准确程度。 （1）相对真误差（相对误差） 相对真误差指绝对误差与被测量真值的比值，表
2、示为,示值相对误差（标称相对误差）：绝对误差x与测量值x的比值，绝对误差较大时不适合用示值相对误差表示。 一些仪器的准确程度，常用误差的绝对形式和相对形式表示。 【例】某信号发生器输出脉冲宽度误差表示为： 10%0.025us,（2）分贝误差相对误差的对数表示 在电子学和声学中常用分贝来表示相对误差，称为分贝误差。 分贝误差与相对真误差 【例】测量某电路网络，其电压传递函数真值为A0，可以将A0用分贝表示为 电压传递函数测量值A，用分贝表示为 A与A0之间相差A，即,AdB与A0dB之间相差dB，即 dB与关系怎样呢？,【例】某单级放大器电压增益的真值A0为100，某次测得电压增益A95，求该
3、测量的相对误差和分贝误差。,【例】某电压放大器，ui1.2mV，测得uo6000mV，设ui的误差不计，uo的测量误差13%。求该电压放大器电压增益的绝对误差A、相对误差及分贝误差dB。,3、引用误差 引用误差指测量值的绝对误差与仪表量程的比值，用来表示仪表的准确程度。,常用的电工仪表分为七个级别，表示它们引用误差不超过的百分比：,【例】检定一个1.5级量程为100mA的电流表，发现在50mA处的误差最大，为1.4mA，其他刻度处误差均小于1.4mA，问此电流表是否合格？,二、测量误差的分类 根据测量误差的性质和特点，测量误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。 （一）系统误差 在相同条件
4、下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差称为系统误差。 在重复条件下测量同一量时，系统误差的绝对值和符号保持恒定。 修正值：用于修正系统误差；由于系统误差确切值的不可知，修正值对系统误差的修正并不是完美的，但能够使测量结果更接近于真值。,（二）随机误差 在重复条件下，某次测量结果与对同一被测量进行无限多次测量所得结果平均值之差称为这次测量的随机误差。 随机误差是由对测量结果影响较小的、互不相关的因素引起的。 某一次测量的随机误差不可预测、不能控制，但足够多次测量中，随机误差总体上服从统计的规律。 在多次测量中，随机误差的特性： 有界性随机误差的绝对值实际上不会超过一定
5、的界限； 对称性绝对值相等的正负误差出现的机会相同； 抵偿性随机误差的算术平均值随着测量次数的无限增加而趋于零。,（三）粗大误差 超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。 粗大误差使测量结果明显偏离真值。 对含有粗大误差的测量值做剔除处理。,三、测量误差的估计和处理 根据不同误差的性质和特点，对其处理的方法也不同。 （一）随机误差的统计处理 足够多次测量中，随机误差体现了很强的规律性。对随机误差的研究采用概率、统计的方法，研究随机误差的分布形状和主要数字特征。 1、随机误差的概率分布密度 电子测量中常用的概率分布密度的图形（分布曲线）有：正态分布、矩形（均匀）分布、三角分布等。,（1）正态分布
6、 服从正态分布随机误差形成因素应满足中心极限定理的条件。即随机误差为多种互不相关的因素造成的许多微小误差的总和。 服从正态分布的随机误差概率密度表达式： 该随机误差影响下的测量值概率密度表达式：,（2）矩形分布 矩形分布又称均匀分布。 （3）三角形分布 2、随机误差影响下测量值的数学期望和方差 随机误差的影响，使测量值在一定范围内上下波动，测量值是一个随机变量。测量值的取值可能是连续的，也可能是离散的。,（1）测量值为离散值时的数学期望和方差 假设测量值X的可能取值个数为m，对其进行n次测量，测量值X的数学期望表示为：,当n时，可以用第k个取值发生的频率nk/n来代替第k个取值发生的概率pk（
7、k1m）。则测量值X的数学期望表示为：,以1/n取代nk/n，上式可写成：,测量值的数学期望反映了测量值的平均情况，并不能体现测量值的离散程度。测量值的离散程度通常用测量值的方差D（X）来表示。,方差的物理意义 标准偏差（标准差、均方差）：方差的算术平方根,（2）测量值为连续值时的数学期望和方差 测量值在其取值区间内连续的时候，取值有无穷多个，某一个取值出现的可能性（概率）趋于0，此时只能用概率密度的概念来对测量值进行分析。 概率密度表达式：,测量值的数学期望为：,测量值的方差为：,3、用有限次测量值估计数学期望和方差 总体的数学期望和标准偏差 单次测量的数学期望和标准偏差 实际测量是有限次测
8、量，只能根据n次测量结果对测量值数学期望和方差进行估计。 随机样本（样本） （1）有限次测量值平均值的性质 有限次测量平均值的数学期望与测量值数学期望的关系 有限次测量平均值的方差与测量值方差的关系,（2）数学期望和方差的估计 判断估计合理的两个原则： 估计的一致性原则和无偏性原则 A、一致性原则 假设 为 的估计值，当样本容量n无限增大时，估计值 依概率收敛于 ，则称 为 的一致估计值。,B、无偏性原则 如果 的数学期望等于 ，则 可以作为 的无偏估计值。,数学期望的估计： 用n次测量的平均值作为M（X）的估计值。 方差的估计： 贝塞尔公式,残差（剩余误差）：n次测量中第k次测量值与平均值之
9、差,（三）处理系统误差的一般方法 对系统误差，没有通用的处理方法，通常针对具体的测量条件采用一定的技术措施尽量减小系统误差对测量结果的影响。 1、系统误差的判别 系统误差可分为恒值系差和变值系差 （1）理论分析法,（二）用统计学方法剔除异常数据,（2）剩余误差观察法 测量中，固定其他测量条件不变，使某一条件有规律变化，记录测量值，计算剩余误差。,观察剩余误差的变化规律，从而了解系统误差随该条件的变化规律。WHY？ 假设该测量中，系统误差由变化部分和恒定部分组成，则测量值可以写成：,随机误差较大时，剩余误差中随机误差起主导作用，观察剩余误差的变化规律就很难发现系统误差的变化规律。,（3）公式判断
10、法 马利科夫判据 常用来判别累进性系统误差,阿卑赫梅特判据 常用来判别周期性系统误差,通常M的绝对值不小于最大的残差绝对值时，则认为有累进性系统误差。,2、测量前尽量消除产生系统误差的来源 3、消除或减弱系统误差的典型测量技术 （1）零示法,图中检流计G示数为0时,（2）代替法（置换法） 举例：电桥中代替法测位置电阻 （3）交换法（对照法） 举例：电桥测电阻时将被测电阻放在不同臂端测量并取平均值 （4）微差法 零示法要求标准量与被测量完全相等，若标准量不能连续可变，可用微差法进行测量。 设被测量为x，和它相近的标准量为B，被测量x与标准量B之间的微差为A，A的数值可以由指示仪表测量，相对误差为
11、A/A。试分析x的相对误差。,微差法测未知电压Vx： 用电压表V测量被测电压Vx与标准电压V之间的微差。设标准电压的相对误差不大于万分之五，电压表的相对误差不大于百分之一，相对微差为五十分之一。求被测电压的相对误差为多少。,第二节 测量不确定度及测量结果的表征 一、测量不确定度及其分类评定 测量不确定度实际上是指测量结果的可信程度。 二、测量结果的置信问题及扩展不确定度 三、测量误差和不确定度的合成 1、测量误差的合成 （1）误差传递公式 误差的合成是研究如何根据分项误差求总误差的问题。分项与总合之间是各种各样的函数关系。,常见函数的合成误差 和差函数 积函数 商函数 幂函数,和差函数,积函数
12、,商函数,幂函数,（2）系统误差的合成 （3）随机误差的合成 2、测量不确定度的合成 四、测量结果报告 五、测量结果的准确度及相关术语的演变,例：测量电阻R消耗的功率P时，可间接测量电阻值R、电阻两端的电压U、通过电阻的电流I，然后通过不同的计算方案得到P。假设对R、U、I测量的相对误差分别为： 试分析哪一种计算方案的误差最小。,第三节 加权平均与回归分析 一、非等权测量和加权平均 测量结果的分散性主要取决于测量条件。即相同条件下的每组测量具有相同的标准偏差，测量条件改变，测量结果的标准偏差也会不同。 一个特例：在测量条件不变时，对被测量进行几组测量并用几组测量结果的平均值作为最终测量结果，但这几组测量的测量次数不同。 例如：在环境和条件不变的情况下，测量某电压值。进行了两组测量，第一组测量100次，第二组测量10次，这110次测量具有相同的标准偏差。但对于这两组测量结果的平均值，标准偏差是不同的。,（一）测量结果的权 假设对某被测量进行了m组测量，得到 共m个测量值。,（二）加权平均 对某被测量进行了m次非等权测量，得到m个数值： 它们对应的权分别为： 估计X的数值。,采用将非等权测量等效为等权测量的方法进行X的估计。 基本思想：将每个测量值都看成是wj个等权测量的平均 值，这样，m次非等权测量就等效为 次等权测量。,X的估计值为n次等权测量的平均值：,（三）加权平均值的方差,