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1、第二章 测量误差分析与处理,解决的问题,认识测量误差存在的规律性； 找出消除或减小误差对测量结果影响的方法； 获得正确合理的测量结果。,2.1 随机误差的分布规律,一、随机误差的正态分布性质,有界性：在一定的相当窄的范围内变动； 单峰性：绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小。 对称性：大小相等、符号相反的随机误差出现的概率相同。 抵偿性：在等精度测量条件下，测量次数趋于无穷时，全部随机误差的算术平均值趋于零。,随机误差服从正态分布规律，分布密度函数：,随机误差服从正态分布规律。 均方根误差：,二、正态分布密度函数与概率积分,正态分布密度函数是一个曲线族。 的大小表征测定值在真
2、值周围的弥散程度。 值愈小，表明测量的精密度愈高。,在一定条件下进行等精度测量时，任何单次测定值的误差i可能都不等于，一系列测定值却有同样的均方根误差。 随机误差的性质决定了不可能获得单个测定值的真误差i的数值。,只能是在一定的概率意义之下估计测量随机误差数值的范围，或者求得误差出现于某个区间的概率。这里需要用到概率积分。,2.2 直接测量误差分析与处理,解决的问题：,如何根据有限次的直接测量估计被测量真值？ 如何衡量这种估计的精密度？,两个概念,子样平均值：代表由n个元素x1，x2，xn组成的子样的散布中心，表示为： 子样方差：描述子样在其平均值附近散步程度，表示为：,一、算术平均值原理、真
3、值的估计,最大似然估计值 根据最大似然原理，使测定值x1，x2，xn同时出现的概率P达到最大的参数值，就是未知参数的最大似然估计值。,一、算术平均值原理、真值的估计,测定值子样平均值是被测量真值的最大似然估计值。 用测定值子样平均值估计被测量的真值应该具有协调性和有效性，由于测定值子样平均值的数学期望恰好就是被测量真值：,算术平均值原理：测定值子样的算术平均值是被测量真值的最佳估计值。 均方根误差：,说明：用测定值子样平均值估计被测量真值比用单次测量测定值估计具有更高的精密度。,二、均方根误差的估计与贝塞尔公式,三、测量结果的置信度,在实际测量过程中，我们真正关心的是被测量真值。确切地说，关心
4、的是真值处于区间 内的概率 。 表示在宽度一定 （2 ），中心值（为 ）作随机变动的随机区间 内包含被测量真值，这一事件的概率。,如果线段与真值相交，表明区间内包含有被测量真值；不相交，表明在相应的区间内不包含真值。,定义区间 为测量结果置信区间，也称置信限；为置信区间半长，也称误差限。置信概率为 。 置信区间与置信概率共同表明测量结果的置信度，即测量结果的可信程度。 测量结果完整表达式： 测量结果子样平均值置信区间半长 （置信概率P？）,例题2-1,在等精度测量条件下对某透平机械的转速进行了20次测量，获得如下的一列测定值(单位：rmin) 4753.1 4757.5 4752.7 4752
5、.8 4752.1 4751.0 4753.9 4751.2 4750.3 4753.3 4752.3 4748.4 4752.5 4754.7 4750.0 试求该透平机转速(设测量结果的置信概率95)。,计算测定值子样平均值 ；,由贝塞尔公式计算均方根误差；,对于给定的置信概率P，求置信区间半长。 设 ，且记,查表2-1，得z=1.96，故 测量结果表达为： 转速4752.00.9（r/min）(P=95%),四、测量结果的误差评价,置信区间半长，是测量的误差限，即测量误差。 它不是个别测定值与真值之间的真误差，而是指真误差在一定概率之下可能出现的一个范围界限。 实际测量中用测量误差对测量
6、结果进行误差评价。,1.标准误差 均方根误差定义为测量列的标准误差。 若测量结果用单次测定值表示： 测量结果单次测定值x标准误差 P(68.3） 若测量结果用测定值子样平均值表示： 测量结果子样平均值标准误差 （P68.3）,2.极限误差 测量列标准误差的三倍，定义为极限误差。 3 被测量真值落在x3范围之内的概率接近100% 3.平均误差 4.或然误差,五、小子样误差分析，t分布及其应用,当测量次数较少时（n10次），则应按t分布计算误差限。 自由度 t分布与母体均方根误差 无关，只与子样容量n有关。,测量结果表示为： 测量结果,当测量次数较少时（n10次），则应按t分布计算误差限。 若仍用
7、正态分布对小子样进行误差估计，往往会得到“太好”的结果。,2.5 粗大误差,产生原因,测量者的主观原因 测量时操作不当，或粗心、疏失而造成读数、记录的错误； 客观外界条件的原因 测量条件以外改变引起仪表示值的改变。,一、拉伊特准则,如果测量列中某一测定残差的绝对值大于该测量列标准偏差的3倍，认为该测量列有粗大偏差存在。 它是一种最简单的方法，但是当测量次数n10时，即使测量列中有粗大误差，此准则也判定不出来。,二、格拉布斯准则,当测量次数较少时，用以t分布为基础的格拉布斯准则判定粗大误差的存在比较合理。,2.7 误差的综合,一、随机误差的综合,若测量结果中含有k项彼此独立的随机误差，各单项测量的标准误差分别为1，2，, k,随机误差的综合效应是平方和之均方根，即综合的标准误差。,三、误差合成定律,作业,1、在等精度测量条件下，对某管道流体的压力进行了6次测量，获得如下一组数据（单位：MPa）： 0.665 0.666 0.678 0.661 0.672 0.664 试用正态分布和t分布进行分析与处理。,