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1、2. FY(y)F (+, y),第二节 边缘分布与独立性,1. FX(x)F (x, +),称为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布函数；,边缘分布实际上是高维随机变量的某个,一、边缘分布函数,维随机变量(X, Y)关于Y的边缘分布函数.,(某些)低维分量的分布。,称为二,=PXx,=PYy,二、离散型随机变量的边缘分布律,若随机变量X与Y的联合分布律为,2.) 称 PY yjp.j,为(X, Y)关于X的边缘分布律；,则:1.) 称 PXxipi.,(X, Y) PXxi, Y yj, pij ，i, j1, 2, ,边缘分布律自然也满足分布律的性质。,为(X, Y)关于Y的边缘分布律
2、。,，i1, 2, ,，j1, 2, ,三、连续型随机变量的边缘密度函数,为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。,设(X, Y)f (x, y), (x, y)R2,为(X, Y)关于X的边缘密度函数；,则称,同理，称,易知:,正态分布。,密度函数，故二维正态分布的边缘分布也是,N(1, 12)的密度函数，而fX(x)是N(2, 22)的,N(1, 2, 12, 22, )的边缘密度函数fX(x)是,例5. 将某一医药公司 9月份和 8月份收到的,积累的资料知(X,Y)的分布律为:,青霉素针剂的订货单数分别记为X和Y,据以往,X Y 51 52 53 54 55,0.07 0.05 0.01 0
3、.01 0.01,0.05 0.10 0.10 0.05 0.05,0.05 0.06 0.05 0.01 0.03,0.05 0.02 0.01 0.01 0.03,0.06 0.05 0.05 0.01 0.01,51,52,53,54,55,求关于X及关于Y的边缘分布律.,解:,X及Y的边缘分布律可直接写在联合分布律表格,的边缘上.,X Y 51 52 53 54 55,53 0.05 0.10 0.10 0.05 0.05 0.35,54 0.05 0.02 0.01 0.01 0.03 0.12,55 0.05 0.06 0.05 0.01 0.03 0.2,0.28 0.28 0.
4、22 0.09 0.13 1,51 0.06 0.05 0.05 0.01 0.01 0.18,52 0.07 0.05 0.01 0.01 0.01 0.15,例6 设随机变量(X,Y)的概率密度为:,求(X,Y)关于X及关于Y的边缘概率密度.,解:,求X、Y的边缘分布律。,0 3/10 3/10,1 1/10 3/10,X Y 1 0,已知(X,Y)的分布律为,故关于X和Y的分布律分别为：,P 2/5 3/5 P 2/5 3/5,X 1 0 Y 1 0,解：,X y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 p.j,2/5,3/5,2/5,3/5,例 已知(X,Y)的
5、分布函数为,求FX(x)与FY(y)。,FY(y)=F(,y)=,解：FX(x)=F(x,)=,例 设(X,Y)的概率密度为,(1)求常数c;,(2)求关于X的边缘概率密度,解:(1)由归一性,例 设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，,x=y,x=-y,求关于X的和关于Y的边缘概率密度.,y=x,y=-x,四、随机变量的相互独立性,如果对任意的,定理：随机变量X与Y独立的充分必要条件是,变量X与Y独立。,即事件aXb与事件cYd独立，则称随机,PaXbpcYd,定义:,ab, cd，,F(x,y)=FX(x)FY(y),有:,PaXb,cYd=,2.)设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与
6、Y独立,定理:,必要条件是对任意i,j，Pi,j=Pi.Pj 。,Pi,j=PX=xi,Y=yj,i,j=1,2,.，则X与Y独立的充分,1.)设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为,的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y).,联合密度,边缘密度,乘积都等于联合分布即可.,看是否对(X,Y)的每一对可能取值点,边缘分布的,Y的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再,由上述定理可知，要判断两个随机变量X与,1 2,例7. 设二维随机变量(X,Y)的分布律为:,若X与Y相互独立,求 ,X Y 1 2 3,之值.,解 由独立性条件有,其它,求PYX.,例8. 设X与Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,0.2),上服从均匀分布,Y的概率密度为,解 由已知条件得,其它,其积分区域D如图所示.,X与Y相互独立,故(X,Y)的概率密度为,其它,故,课后练习 甲乙约定8:009:00在某地会面。设两人都,等待15分钟过时不候。求两人能见面的概率。,随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多,