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1、1,薄板弯曲问题的有限元法,有限元法的原理及应用,学院：机械工程学院 班级：锻压1班 小组成员：周均博 张杨 曹琛 孔晓华 祖晓阳,2,薄膜 厚度,薄板,厚板 b板长宽最小值,一.定义及假设,1.定义：工程力学理论研究中，概念定义的板是指厚度尺寸相对长宽尺寸小很多的平板，且能承受横向或垂直于板面的载荷。如板不是平板而为曲的(指一个单元)，则称为壳问题。如作用于板上的载荷仅为平行于板面的纵向载荷，则称为平面应力问题；如作用于板上的载荷为垂直于板面的横向载荷，则称为板的弯扭问题，常简称板的弯曲问题。,3,2、基本假设（克希霍夫假设） 1）直线假设：即变形前垂直于板中面的直线，在弯曲变形后仍为直线，
2、且垂直于弯曲后的中面。说明在平行于中面的面上没有剪应变，即,4,2）厚度不变假设：即忽略板厚变化。即 。由于板内各点的挠度与 z坐标无关，只是x，y的函数，即,3）中面上正应力远小于其它应力分量假设：平行于中面的各层相互不挤压，不拉伸，沿z向的正应力可忽略，即,4）中面无伸缩假设：弯曲过程中，中面无伸缩，（薄板中面内的各点都没有平行中面的位移）即,纵向荷载：可以认为他们沿薄板厚度均匀分布，因而他们所引起的应力、形变和位移可以按平面应力问题进行计算。,横向荷载：将使薄板弯曲，他们所引起的应力、形变和位移，可以按薄板弯曲问题进行计算。,5,二、基本方程 1）几何方程,积分可得,绕x轴转角,绕y轴转
3、角,6,2）物理方程（广义胡克定律）,写为矩阵形式：,7,3）内力矩公式及平衡方程 单位宽度上垂直x，y轴的横截面上弯矩、扭矩,8,图中力矩双箭头方向表示是力矩的法线方向，列平衡方程：,由应力的正负方向的规定得出：正的应力合成的主矢量为正，正的应力乘以正的矩臂合成的主矩为正；反之为负。,9,应力分量表达式,10,三、矩形薄板单元分析 用有限元法求解薄板弯曲问题，常在板中面进行离散，常用的单元有三角形和矩形。为了使相邻单元间同时可传递力和力矩，节点当作刚性节点，即节点处同时有节点力和节点力矩作用。每个节点有三个自由度，即一个扰度和分别绕x，y轴的转角。 1.设位移函数,节点位移分量和节点力分量,
4、11,薄板弯曲时，只有w(x,y)是薄板变形的未知基本函数，而其它量，如u,v等都是w(x,y)的函数，故薄板矩形单元的位移函数的选择实际就是w(x,y)的选取。注意单元有12个自由度，则,另两个转角为：,12,待定系数：利用12个节点位移值可待定12个系数，整理w(x,y)为插值函数形式：,其中，形函数：,13,2.单元收敛性分析： 1）位移函数 中包含有常量项，反映了刚体位移，如 为扰度常量， 为转角常量。 2）位移函数中包含了常量应变项， 如形变分量为： 表明薄板处于均匀弯扭变形状态，即常应变状态。这里的常应变为扰度的二次函数，而在平面单元中为位移的一次式，这是因为板有厚度，其形变是指不
5、同厚度上的。,14,3）相邻单元在公共边界上扰度是连续的但转角不一定连续。 设边界ij边 y=-b 则 有位移 四个系数刚好通过i，j两个端点的扰度值和绕y轴的两个转角值唯一确定；同时，相邻单元在此边界上也能通过i，j的值唯一确定，故连续。 如对于绕x轴的转角： 四个系数不能通过i，j的两个已知转角值唯一待定；同理，相邻单元在此边界上也不能唯一确定四个系数。故转角不连续。 所以，薄板矩形单元是非协调单元。但实践表明，当单元细分，其解完全能收敛真实解。,15,3.单元刚度矩阵 1）应变矩阵,其中：B为x，y的函数，与z无关,16,2）单元刚阵,17,4.总刚矩阵集成 按平面问题的有限元法介绍的方
6、法可集成得到结构的总刚矩 5.载荷移置 6.边界条件出来 7.求解线性方程组,18,四.三角形薄板单元 1.面积坐标,三角形单元的面积坐标定义:如图示三角形单元中，任意一点P的位置可以用下面3个比例确定 。,其中A为ijm的面积，Ai，Aj，Am分别为Pjm，Pim，Pij的面积。比值Li，Lj，Lm就称为P点的面积坐标。,19,实际为三角形 的高与 高的比，即平行jm线的直线上的所有点有相同的 。同时，易得,即，三角形内与任一条边平行的直线上的所有点有相同的面积坐标。,比较面积坐标与平面三角形单元形函数可知，面积坐标正是平面三节点三角形单元的三个形函数。,面积坐标与整体坐标之间的变换。,20
7、,2、位移函数 三角形单元能较好地适应斜边界，实际中广泛应用。单元的节点位移仍然为节点处的挠度wi和绕x，y轴的转角xi、yi，独立变量为wi。三角形单元位移模式应包含9个参数。若考虑完全三次多项式，则有10个参数：,若以此为基础构造位移函数，则必须去掉一项，则无法保证对称。经过多种选择，采用面积坐标比较合理可行。,对于三角形单元，面积坐标的一、二、三次齐次分别有以下项：,21,将三个节点的位移和面积坐标代入上式，可得：1=wi ， 2=wj， 3=wm。代入上式对Li，Lj求导，注意Lm=1-Li-Lj，可得,将节点的面积坐标代入上述两式，可得6个关于 4 9的方程，求解后可得 4 9：,22,23,最后，待定常数 1 9代入位移模式，整理后得：,将w,Lii和w,Lji变换成xi、 yi，从而得到相应于xi、 yi的形函数Nxi、 Nyi,利用：,24,25,利用求得位移函数，可以得到应变列阵和相应的应变矩阵B，进一步可得到形变列阵和相应的形变矩阵B。 单元刚度矩阵计算公式：,