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1、玉溪一中高 20202020 届高二下学期第一次月考 理科数学试卷 一选择题（共 1212小题, ,每小题 5 5 分, ,共 6060分） 1已知全集U 1,2,3,4,5,6，集合 A 1,2,4， B 1,3,5，则= C A B （ ） ( U ) A1 B3,5 C1,6 D1,3,5,6 x 2下列函数中与函数 的奇偶性相同，且在 上单调性也相同的是（ ） y 2 (,0) 1 A y log3 x B y x3 1 C D y x y 1 x2 z z 2 3设复数 z 满足 ( 3 i) (1 i) ,则 （ ） 1 2 A B C1 D 2 2 3 2 4已知三棱锥的三视图如
2、图所示，其中侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则 此三棱锥的体积等于（ ） 3 3 2 3 A B C D 3 2 3 3 5下列能使 cos sin tan 成立的 所在区间是（ ） A (0, ) B ( , ) C ( , ) D 4 4 2 2 5 3 ( , ) 4 2 6如图是实现秦九韶算法的程序框图，若输入的 x2，n2，依次输入 a3，4，5，6，7， 则输出的 s（ ） 1 A3 B10 C 25 D.56 7某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验，根据 收集到的数据（如表）， 零件数 x 个 10 20 30 40 50 加工
3、时间 y（min） 62 75 81 89 由最小二乘法求得回归直线方程 y 0.68x 54.4 由于后期没有保存好，导致表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（ ） A 67.2 B 68.2 C 68 D 67 8 已 知 直 线 x y 2a 与 圆 x2 y2 4 交 于 A， B 两 点 ， O 是 坐 标 原 点 ， 且 OA OB OAOB ，则实数 a 的值为（ ） A 2 B 2 或 2 C1或 1 D 6 或 6 9已知 y f (x) 是可导函数，如图，直线 y kx 2 是曲线 y f (x) 在 x 3 处的切线，令 g(x) f (x) g(x) g(x)
4、 g(3) ， 是 的导函数，则 （ ） x y y=f(x) 2 1 y=kx+2 1 2 1 A B C D 4 9 9 1 4 o 3 x 2 10已知三棱锥 ABCD 中，平面 ABD平面 BCD，BCBD，ABADBD 4 3 ，BC6，则三 棱锥 ABCD 的外接球的表面积（ ） 100 36 100 114 A B C D . 3 x 2 11已知双曲线 C： 1，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐 y 2 3 近线的交点分别为 M，N若OMN 为直角三角形，则 MN （ ） 3 A B3 C 2 3 D6 2 12已知函数 f（x）xlnxae
5、x（e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数 a 的取值范 围是（ ） 1 1 A (0, ) B (0,e) C ( ,e) D.(,e) e e 二填空题（共 4 4 小题, ,每小题 5 5 分, ,共 2020 分） y 1 x 0 13已知：x，y 满足约束条件 y 3 0 ，则 z 2x 的最小值为 x y 2y 1 0 14曲线 y x 与直线 y 2x 1及 x 轴所围成的封闭图形的面积为 15设等比数列an满足 a1+a310，a2+a45，则 a1a2an 的最大值为 16已知直线 l：y2x+b 被抛物线 C：y22px（p0）截得的弦长为 5，直线 l 经过 C 的焦
6、 点，M 为 C 上的一个动点，设点 N 的坐标为（3，0），则 MN 的最小值为 三解答题（共 6 6 小题, ,共 7070 分） 17（本小题 12 分）已知函数 f（x）2sinxcosx+ 3 (2cos2x1） A （1）若ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b，c，锐角 A 满足 f ( ) 3 ，求 2 6 锐角 A 的大小. （2）在（1）的条件下，若ABC 的外接圆半径为 1，求ABC 的面积 S 的最大值 18（本小题 12 分）已知等差数列an的公差 d0，它的前 n 项和为 ，若S3 12， s n 且 a2，a6，a18成等比数列 （1）求数列an的通
7、项公式； 3 2 （2）设数列 的前 n项和为 ，求证： T 1 T 2 n n s n 19（本小题 12 分）如图，设ABC是边长为 2 的正三角形，DC平面 ABC，EADC，若 EA： AB：DC2：2：1，F是 BE的中点 （1）证明： FD平面 ABE； （2）求 CE与平面 EAB所成角的正弦值. . 20（本小题 12 分)已知函数 f (x) x2 (a 2)x aln x,(a R) （1）求函数 f (x) 的单调区间 （2）当 a3 时，证明：对任意 x 0，都有 f (x) 2(1 x) 成立. x y x y 2 2 2 2 1 a b 21(本小题 12 分)已知
8、椭圆 C： 2 2 1( 0)的离心率与双曲线 的离心 a b 4 12 3 率互为倒数，且过点 P（1， ） 2 （1）求椭圆 C的方程； 3 （2）过 P作两条直线 l1，l2与圆 1) ( r 相切且分别交椭圆于 M、N两 (x 2 y r ) 2 2 0 2 点 求证：直线 MN的斜率为定值； 求MON面积的最大值（其中 O为坐标原点） x a cost 22(本小题 10分)在直角坐标系 xOy中，曲线 C1的参数方程为 （t为参数， y 1 asin t a0）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：4cos （ ）说明 C1是哪种曲线，并将 C1的方程化为极
9、坐标方程； （ ）直线 C3的极坐标方程为 0，其中 0满足 tan02，若曲线 C1与 C2的公共点 都在 C3上，求 a 4 玉溪一中高 20202020届高二下学期第一次月考 理科参考答案与试题解析 一选择题（共 1212小题） BACAB CDCBC BA 二填空题（共 4 4 小题） 13 14. 15. 64 16.2 2 三解答题（共 6 6 小题） 17【解答】解：（1） ， ， 又 A为锐角， （2）ABC的外接圆半径为 1， 由正弦定理得 2R2，得 a2sinA2sin 2 ， 所以 a2b2+c22bccos ， 即 3b2+c2bc2bcbcbc， 即 bc3 则三角
10、形的面积 S bcsinA 3 ，（bc时取等号） 故三角形面积最大值为 18【解答】解：（1）S312，即 3a1+3d12， a2，a6，a18成等比数列，可得 a62a2a18， 即有（a1+5d）2（a1+d）（a1+17d）， 由解得 a1d2， 则 an2n： （2）证明： 2（ ）， 5 则前 n 项和为 Tn2（1 + + ） 2（1 ）， 由Tn为递增数列，可得 TnT11，Tn2， 即有 1Tn2 19证明：（1）取 AB 中点 M，连结 MC， ABC 是边长为 2 的正三角形，F 是 BE 的中点， FMEA，FM EA1DC， 又 EADC，FMDC，且 FMDC，
11、四边形 FMCD 是平行四边形，FDMC， CD平面 ABC，CDCM， 又 AECD，AECM， CMAB，DFAE，DFAB，AEABA， FD平面 ABE 解：（2）连结 EM，MC平面 ABE， CEM 是 CE 与平面 EAB 所成角， ABC 是边长为 2 的正三角形，DC平面 ABC， EADC，EA：AB：DC2：2：1， CM ，CM 2 ， sinCEM CE 与平面 EAB 所成角的正弦值为 20.【解答】解：（1）函数 f（x）的定义域是（0，+）， f（x）2x（a2） ， 当 a0 时，f（x）0 对任意 x（0，+）恒成立， 所以，函数 f（x）在区间（0，+）单
12、调递增； 当 a0 时，由 f（x）0 得 x ，由 f（x）0，得 0x ， 所以，函数在区间（ ，+）上单调递增，在区间（0， ）上单调递减； （2）a3 时，令 g（x）f（x）2（1x）x2+x3lnx2， 6 则 g（x）2x+1 ， x0， x（0，1）时，g（x）0，g（x）递减， x（1，+）时，g（x）0，g（x）递增， 故 g（x）ming（1）0， 故 g（x） 0，即 f（x） 2（1x） 21【解答】解：（1）双曲线 1 的离心率为 2， 可得椭圆 C 的离心率为 ，设椭圆的半焦距为 c，所以 a2c， 因为 C 过点 P，所以 + 1，又 c2a2b2， 解得 a2
13、，b ，c1， 所以椭圆方程为 + 1； （2）证明：显然两直线 l1，l2的斜率存在， 设为 k1，k2，M（x1，y1），N（x2，y2）， 由于直线 l1，l2与圆（x1）2+y2r2（0 ）相切，则有 k1k2， 直线 l1的方程为 y k1（x1）， 联立椭圆方程 3x2+4y212， 消去 y，得 x2（3+4k12）+k1（128k1）x+（32k1）2120， 因为 P，M 为直线与椭圆的交点，所以 x1+1 ， 同理，当 l2与椭圆相交时，x2+1 ， 所以 x1x2 ，而 y1y2k1（x1+x2）2k1 ， 所以直线 MN 的斜率 k ； 设直线 MN 的方程为 y x+
14、m，联立椭圆方程 3x2+4y212， 7 消去 y 得 x2+mx+m230， 所以|MN| ， 原点 O 到直线的距离 d ， OMN 的面积为 S ， 当且仅当 m22 时取得等号经检验，存在 r（0r ） ， 使得过点 P（1， ）的两条直线与圆（x1）2+y2r2相切， 且与椭圆有两个交点 M，N 所以MNO 面积的最大值为 22【解答】解：（）由 ，得 ，两式平方相加得，x2+（y1）2 a2 C1为以（0，1）为圆心，以 a 为半径的圆 化为一般式：x2+y22y+1a20 由 x2+y22，ysin，得 22sin+1a20； （ ）C2：4cos，两边同时乘 得 24cos， x2+y24x， 即（x2）2+y24 由 C3：0，其中 0满足 tan02，得 y2x， 曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上， y2x 为圆 C1与 C2的公共弦所在直线方程， 得：4x2y+1a20，即为 C3 ， 1a20， a1（a0） 8 9