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1、玉溪一中高 20202020 届高二下学期第一次月考 文科数学试卷 一选择题（共 1212小题, ,每小题 5 5 分, ,共 6060分） 1已知全集U 1, 2, 3, 4, 5, 6，集合 A 1, 2, 4， B 1, 3, 5，则 ( ) =（ ） C A B U A1 B3, 5 C1, 6 D1, 3, 5, 6 2下列函数中与函数 2 的奇偶性相同，且在 上单调性也相同的是（ ） y x (,0) 1 A log B C D y x y x3 1 y y 1 x2 3 x 3在极坐标系中，极点关于直线 cos sin 1 0 对称的点的极坐标为（ ） 3 3 A ( 2, )
2、B ( 2, ) C ( 2, ) D ( 2, ) 4 4 4 4 4已知三棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则 此三棱锥的体积等于（ ） 3 3 2 3 A B C D 3 2 3 3 5下列能使 cos sin tan 成立的 所在区间是（ ） 5 3 A (0, ) B ( , ) C ( , ) D ( , ) 4 4 2 2 4 2 6如图是实现秦九韶算法的程序框图，若输入的 x 2 ， n 2 依次输入 a 3, 4, 5, 6, 7, ，则输 出的 s（ ） 1 A3 B10 C25 D56 7甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的
3、成绩.老师说：你们四人中有两位优 秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩.看后乙对大 家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ） A甲可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩 C甲、丁可以知道对方的成绩 D甲、丁可以知道自己的成绩 8已知直线 x y 2a 与圆 x2 y2 4 交于 A，B 两点，O 是坐标原点，且OAOB 0 ，则实数 a 的值为（ ） A 2 B 2 或 2 C1或 1 D 6 或 6 9已知 y f (x) 是可导函数，如图，直线 y kx 2 是曲线 y f (x) 在 x 3 处的切线，令 g(x) f (x) g(x) g
4、(x) g(3) ， 是 的导函数，则 （ ） x 1 2 1 A B C D 4 9 9 1 4 10 已 知 函 数 f (x) 2 cos(x ) 3 (x R) ， 其 中 为 常 数 ， 且 (1, 2) ， 若 4 f (x ) f ( x) ，则 f (x) 的最小正周期为（ ） 8 8 A8 B C D 3 5 8 7 2 x 2 11已知双曲线 C： y2 1，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近 3 线的交点分别为 M，N若OMN 为直角三角形，则 MN （ ） 3 A B3 C 2 3 D6 2 x x e e e, x 0 12设函数
5、f (x) （e 为自然对数的底数），则满足 ( 2) ( ) 的 的取 f x2 f x x e , x 0 值范围是（ ） A (1, 2) B (1, 2) C (, 2) (2, ) D (, 1) ( 2, ) 二填空题（共 4 4 小题, ,每小题 5 5 分, ,共 2020分） 13若向量 m (2k 1, k) 与向量 n (4,1) 共线，则 mn 14不等式 x 1 2 x 1 0 的解集为 15已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 3 的半圆，若该圆锥的顶点及底面圆周在球 O 的表 面上，则球 O 的体积为 16设等比数列an满足 a1+a310，a2+a45，则 a1
6、a2an 的最大值为 三解答题（共 6 6 小题, ,共 7070分） 17（本小题 12 分）已知函数 f (x) 2 sin x cos x 3(2 cos2 x 1) A （1）若ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b，c，锐角 A 满足 f ( ) 3 ，求 2 6 锐角 A 的大小. （2）在（1）的条件下，若ABC 的外接圆半径为 1，求ABC 的面积 S 的最大值 18（本小题 12 分）已知等差数列 的公差 ，它的前 n 项和为 ，若 ，且 a d 0 S S 2 , 6 , 18 n n 3 12 a a a 成等比数列 （1）求数列 的通项公式； a n 2
7、（2）设数列 的前 n 项和为 ，求证： T 1 T 2 n n S n 3 19（本小题 12 分）如图所示，在直三棱柱 中， 为正三角形， 1 2 ， ABC A B C ABC AA M 1 1 1 是 AC 的中点， N 是 A B 中点 1 1 1 （1）证明： MN / / 平面 BCC B ； 1 1 （2）若三棱锥 N MAB 的体积为 3 ，求该正三棱柱的底面边长 20已知函数 f (x) lnx ax2 bx （其中 a ，b 为常数）在 x 1 处取得极值 （1）当 a 1 时，求 f (x) 的单调区间； （2）当 a 0 时，若 f (x) 在 (0 ， e 上的最大
8、值为 1，求 a 的值 x 2 2 2 2 y x y 21(本小题 12 分)已知椭圆 C： 2 2 1(a b 0) 的离心率与双曲线 1的离心率互 a b 4 12 3 为倒数，且过点 P(1, ) 2 （1）求椭圆 C 的方程； 3 （2）过 P 作两条直线l1 ,l2 与圆 2 2 2 相切且分别交椭圆于 两点求 (x 1) y r (0 r ) M、N 2 证：直线 MN 的斜率为定值 22(本小题 10 分)将圆 C1 : x2 y2 4 上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 5 倍 得到曲线C 2 （1）写出C 的参数方程； 2 x 4 2t （2）已知 F(4, 0)
9、，直线l 的参数方程为 为参数），直线 交曲线 于 ， 两 (t l C A B 2 y 2t 点，求| AF | | BF | 4 玉溪一中高 20202020 届高二下学期第一次月考 文科参考答案与试题解析 一选择题（共 1212 小题） BACDB CDCBC BB 二填空题（共 4 4 小题） 17 1 32 13 14. x x 3 15. 16. 64 2 3 3 三解答题（共 6 6 小题） 17【解答】解：（1） ， ， 又 A为锐角， （2）ABC的外接圆半径为 1， 由正弦定理得 2R2，得 a2sinA2sin 2 ， 所以 a2b2+c22bccos ， 即 3b2+c
10、2bc2bcbcbc， 即 bc3 则三角形的面积 S bcsinA 3 ，（bc时取等号） 故三角形面积最大值为 18【解答】解：（1）S312，即 3a1+3d12， a2，a6，a18成等比数列，可得 a62a2a18， 即有（a1+5d）2（a1+d）（a1+17d）， 由解得 a1d2， 则 an2n： （2）证明： 2（ ）， 则前 n项和为 Tn2（1 + + ） 5 2（1 ）， 由Tn为递增数列，可得 TnT11，Tn2， 即有 1Tn2 19【解答】解：（1）证明：如图，连接 B C ， 1 M 是 AC 的中点， 1 又 N 是 A B 的中点， 1 1 MN / /B
11、C 1 ， 又 MN 平面 ， 平面 ， BCC B B C BCC B 1 1 1 1 1 MN / / 平面 BCC B 1 1 （2）解：V V ， N MAB M ABN M 是 AC 的中点， 1 M 到平面 ABB A 的距离是C 到平面 ABB A 的距离的一半， 1 1 1 1 如图，作CP AB 交 AB 于 P ， 由正三棱柱的性质， 易证CP 平面 ABB A ， 1 1 设底面正三角形边长为 a ， 1 3 则三棱锥 M ABN 的高 h CP a ， 2 4 1 S a 2 a ABN 2 ， 1 3 V V S Ah a2 N MAB M AB N ABN 3 12
12、 3 解得 a 2 3 故该正三棱柱的底面边长为 2 3 6 20.【解答】解：（1）因为 f (x) lnx ax2 bx 所以 f (x) 1 2ax b ， x 因为函数 f (x) lnx ax2 bx 在 x 1 处取得极值， 则 f （1） 1 2a b 0 ， 当 a 1 时，b 3， 1 1 2x 3x 1 2 则 ， f (x) 2ax b 2x 3 x x x f (x) f (x) x ， 随 的变化情况如下表： x (0, 1) 2 1 2 1 2 ( ， 1) 1 (1,) f x 0 0 ( ) f x 极大值 极小值 ( ) 1 (1,) (1 所以 f (x)
13、的单调递增区间为 (0, ) ， ，单调递减区间为 ，1) 2 2 2ax 2(a 1)x 1 (2ax 1)(x 1) 2 （2）因为 f (x) ， x x 令 f (x) 0 ，得 x 1 或 1 ， x 2a 因为 f (x) 在 x 1 取得极值，且 a 0 ，所以 f (x) 在 (0,1) 上单调递增， 在 (1 ， e 上单调递减，所以 f (x) 在区间 (0 ， e 上的最大值为 f （1）， 由（1）知， f （1） 1 2a b 0 得 b 1 2a ， 则 f (x) lnx ax2 (1 2a)x ， 令 f （1） 1，解得ln1 a 1 2a 1 a 1， 得
14、a 2 21【解答】解：（1）双曲线 1 的离心率为 2， 可得椭圆 C 的离心率为 ，设椭圆的半焦距为 c，所以 a2c， 因为 C 过点 P，所以 + 1，又 c2a2b2， 解得 a2，b ，c1， 所以椭圆方程为 + 1； 7 （2）证明：显然两直线 l1，l2的斜率存在， 设为 k1，k2，M（x1，y1），N（x2，y2）， 由于直线 l1，l2与圆（x1）2+y2r2（0 ）相切，则有 k1k2， 直线 l1的方程为 y k1（x1）， 联立椭圆方程 3x2+4y212， 消去 y，得 x2（3+4k12）+k1（128k1）x+（32k1）2120， 因为 P，M 为直线与椭圆
15、的交点，所以 x1+1 ， 同理，当 l2与椭圆相交时，x2+1 ， 所以 x1x2 ，而 y1y2k1（x1+x2）2k1 ， 所以直线 MN 的斜率 k ； 日期： C P(x, y) 2019/3/18 22【解答】解：（1）设圆 上任意一点 ，曲线 C 上任意一点 1 2 P x y ( , ) ， 1 x 5x x x 2 2 则由题意得 ， 代入 方程 ，可得 ， 5 C x2 y2 4 1 1 20 4 y y y y x 2 5cos 即曲线 的参数方程为 为参数 C 2 y 2sin 2 x 4 t 2 ( （2）将直线的参数方程变为 为参数）代入 ， t x2 5y2 20 2 y t 2 4 2 4 化简得3t2 4 2t 4 0，设方程的两个实根为t ，t ，t t ，tt ， 1 2 1 2 1 2 3 3 32 4 4 5 则| | | | | | 4 AF BF t t 1 2 9 3 3 8 9