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1、第四章 杆件的变形计算,第一节 拉（压）杆的轴向变形,EA称为拉（压）杆的抗拉（压）刚度,泊松比,阶梯形直杆受力如图所示，已知该杆AB段横截面面积A1=800mm2，BC段, A2=240mm2，杆件材料的弹性模量E=200GPa。试求该杆总变形量。 解 （1）求AB、BC段轴力 FNAB= 40kN（拉） FNBC= -20kN（压） （2）求AB、BC段伸长量,（3）AC杆总伸长,例4-1,图示桁架，钢杆AC横截面面积A1=960mm2 ，弹性模量E=200GPa 。木杆BC横截面A2=25000mm2 ，杨氏模量E=10GPa 。求铰节点C的位移。,（2）求AC、BC两杆的变形。,例4-
2、2,解（1）求AC、CB两杆的轴力。,（3）求C点位移。,练习,已知拉杆CD: l=2m，d=40mm，E=200GPa AB为刚性梁，求B点位移。,第二节 圆轴的扭转变形与相对扭转角,在圆轴扭转时，各横截面绕轴线作相对转动，相距为dx的两个相邻截面间有相对转角d,上式称为单位长度扭转角，用来表示扭转变形的大小，其单位是rad/m。,当GIP越大，则越小，故称GIP为圆轴的抗扭刚度。 两端相对扭转角,当Mx/GIP为常量时，上式为,某机器传动轴AC如图所示，已知轴材料的切变模量G=80GPa ，轴直径d=45mm。求AB、BC及AC间相对扭转角, 最大单位长度扭转角。 解 （1）内力分析,（2
3、）变形分析,AB段,BC段,例4-3,为轴的抗扭强度,当轴的截面为矩形时，两端相对扭转角的计算公式为,为与比值h/b有关的系数，可查表得,已知: n = 200r/min， PA = 200 kW， PB = 90kW， PC = 50kW， PD =60kW, G=200GPa, dAC=0.06m， dBC= dAD =0.04m。,解: 1.求外力扭矩; 2.求内力扭矩, 画内力图; 3.各段变形及总变形； 4.求最大单位长度扭转角。,练习,试求: (1)轴两端截面相对转角 (2)最大单位长度扭转角,解答,已知: n = 200r/min， PA = 60 kW， PB = 150kW，
4、 PC = 90kW， G=200GPa, dAB=0.06m， dBC= 0.04m。,试求: (1)轴两端截面相对转角 (2)最大单位长度扭转角,第三节 梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程,一、 梁的变形 当梁在平面内弯曲时，梁的轴线从原来沿轴方向的直线变成一条在平面内的连续、光滑的曲线，该曲线称为梁的挠曲线。 横截面形心沿竖向位移w，称为该截面的挠度; 而截面法向方向与轴的夹角称为该截面的转角。 截面形心C点的竖向位移w,一般可表为x的函数，这一关系式称为挠曲线方程,符号规定：挠度：向上为正，向下为负。转角：截面法线与轴夹角逆时针为正，顺时针为负，即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角为正
5、。,二、 挠曲线近似微分方程,在纯弯曲梁的情况下，梁的中性层曲率与梁的弯矩之间关系为,横力弯曲时，若梁的跨度远大于梁的高度时，剪力对梁的变形影响可以忽略不计,挠曲线与转角之间近似有,挠曲线的斜率近似等于截面的转角,由微分学可知，,按弯矩的符号规定，当M0时，梁的上部受压，下部受拉，挠曲线上凹，由微分学知，在图示坐标下，w”为正；当M0，梁下部受压，上部受拉，挠曲线下凹，w”为负 . 可去掉号。,当梁小变形时,代入前面的式子，得,梁的挠曲线近似微分方程,可得,第四节 用积分法求梁的弯曲变形,将上式梁的挠曲线近似微分方程积分一次，就得到转角方程，再积分一次得到挠曲线方程。对等直梁，EIZ为常量，有
6、,积分常数C、D ，可由梁的边界条件来确定,等直悬臂梁受均布载荷如图所示，试建立该梁的转角方程和挠曲线方程，并求自由端的转角和挠度。,（2）列挠曲线近似微分方程,（3）积分,解 （1）弯矩方程,例4-4,（4）确定积分常数,由边界条件，当 x=0，,分别代入前面的式子得,（5）列出转角方程和挠曲线方程,（6） 求自由端挠度和转角,一简支梁上点C处作用力F，设EI为常数。试建立转角方程和挠曲线方程，并求梁内最大挠度及转角。,解 （1）求支反力和列弯矩方程。,（2）列出挠曲线近似微分方程并积分。,例4-5,（3）确定积分常数。,（4）列转角方程和挠曲线方程。,(5) 确定最大挠度及转角,最大挠度应
7、发生在AC段上处，将=0代入式（9），求出x1,将其代入式（10）求得最大挠度绝对值,梁的中点的挠度,当作用点C与梁的中点越接近，最大挠度与中点挠度两者相差越小，若C点靠近支座B，则两者相差最大两者相差不超过2.6%。可见在简支梁中，只要挠曲线上无拐点，可用中点挠度来代替其最大挠度。,练习,第五节 用叠加法求梁的弯曲变形,在杆件符合线弹性、小变形的前提下，变形与载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形均与其它载荷无关。这样只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形，将其相加，便得到了这些载荷共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的叠加法。,例4-6 求图示梁挠曲线方程，并求中点挠度及最大转
8、角。已知，M=ql2/2，梁的抗弯刚度为EI。,解 （1）求挠曲线方程。,（2）求最大转角和中点挠度。,例4-7 一外伸梁，简支段AB受均布荷载的作用，而外伸段自由端C作用一集中力，求C处挠度和转角。,解 采用逐段刚化的方法:首先刚化AB段，这样BC可作为一悬臂梁来研究，C点的挠度和转角为,再刚化BC段，将力F平移到B，得F及力偶M。力F对梁的变形没有影响，力偶M引起AB段变形，使B处产生转角.,同样，q引起了AB段变形，使C点产生转角和位移：,将上述变形相加，便得到原梁的变形,例4-8 在简支梁上部分作用均布载荷，求梁跨中点挠度.,解 在微段dx的载荷可作为一集中力，在该集中力作用下由表4-2可查得跨度中点的挠度为,跨度中点的挠度应为上式的积分,求中点C挠度,练习,Fl,