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1、第四章：平稳时间序列模型,学习目标 简单滑动平均(MA)模型 简单自回归(AR)模型 混合自回归滑动平均(ARMA)模型,平稳时间序列,几个重要的平稳过程和模型 白噪声过程 MA过程 AR过程 ARMA过程,白噪声,1） t独立同分布称为独立白噪声， 记为tI.I.D(0, 2) 如果t还服从正态分布，则该过程t称为为高斯白噪声。,白噪声,2）弱白噪声随机过程满足 a）E(t)=0 ， 对所有t b）E(t2)=2 对所有t c）E(ts)=0, 对任意ts，或Cov(t, s)=0 简称白噪声。记为tWN(0, 2),4.1线性时间序列,线性时间序列Yt : 如果它能表示成当前和过去白噪声序
2、列的加权线性组合，即,这里， 为白噪声.,-时刻t的新信息(innovation),(4.1),称为 的 权重,(4.1)有意义要求：,所以 必须是收敛序列，即当 时,通常，我们取 其中,则,从而有,(4.1.1),(4.1.1) 是平稳过程,的间隔为 的自协方差为,对于一般线性过程,类似地有,对,因此， 权重与 的自相关系数有如下关系：,其中，,对若平稳序列而言， 当 时,从而随着 的增加 收敛到0,4.2 滑动平均模型 4.2.1滑动平均模型介绍,当（4.1）仅仅有有限个 权重为非零时，我们称之为滑动 平均过程，即,（4.2）,我们称(4.2)为 MA(q)模型或者q阶滑动平均模型.,其中
3、t 是白噪声过程.,这里，和i, i=1,2,q称为参数或系数。,注：q0,滑动平均模型,1-阶滑动平均模型,其中t 是白噪声过程.,（4.2-1）,和为参数或系数。 表达式（4.2-1）是1阶滑动平均模型， 用MA（1）表示 例如rt=0.1+t0.3 t1,MA(1),另一种表达方式 本质是一个只包括常数项的回归模型，但残差存在自相关。容易知道MA(1)存在一阶自相关。,q-阶滑动平均模型和过程,判断下面是几阶MA模型 a) Yt=0.1+t0.2 t1 0.1 t2 b) Yt=0.1+t0.3 t1 0.21 t2 0.1 t3 c) Yt=0.1+t0.3 t4,4.2-2 MA模型
4、的性质,MA(1)模型 MA(q)模型,自相关函数,MA(1)模型：为简单起见，假定 对两端乘以 ，我们有,当 时，,注意到,我们有,MA(1)模型在间隔为1以后的是截尾的,MA(2)模型,自协方差函数 自相关系数是,MA(2)模型在间隔为2以后的是截尾的,MA(q)模型,自相关系数,MA(q)模型在间隔为q步以后的是截尾的，,MA(q)模型具有有限记忆性,MA过程,ACF图,基本结论 MA(q)过程的自相关函数q步截尾,练习题,P59. 4.19 P59. 4.20 P58. 4.4 P58. 4.1 P58. 4.2 5. 计算 的自相关函数。,作业,1.证明 MA(q)过程自相关函数应满
5、足的 关系式. 3. 4.12 (a) 2. P59 4.14,4.3 自回归模型,其中 t 是白噪声过程。 ， 表达式(4.3)是P-阶自回归模型 rt 为p-阶自回归过程 ,表示为AR(p) 是未知参数或系数。,(4.3),自回归模型是用自身做回归变量,AR(1)过程,（4.3-1）,因方差非负，要求,（4.3-1）定义的AR（1）模型是平稳的充分必要条件是,在平稳性条件下,注意到 与 独立，,（4.3-2）,AR(1)模型的自相关函数,进一步有递推式：,因 ，故,这个性质表明弱平稳AR(1)序列的自相关函数从 开始以比率为 的指数速度衰减。,由（4.3-2），我们有,自协方差函数,自相关
6、函数,AR(1)参数,t=0.1+0.5t-1 +t t=0.1-0.5t-1 +t =0.1/(1-0.5)=0.2 = 0.1/(1+0.5) j=0.5j j =(-0.5)j,AR(2)模型,两边乘以 导致自相关协方差函数满足,这个结果称为平稳AR(2)模型的矩方程,均值函数满足,利用,AR(2)模型可以写为,上面的结果表明平稳AR(2)序列的ACF满足二阶差分方程,其中，B是向后推移（延迟，滞后）算子，即,平稳AR(2)模型的自相关系数函数满足,有时用L表示延迟算子，如,与前面的差分方程对应的是二次(特征)多项式,时间序列文献中称这两个解的倒数为AR(2)模型的特征根,这个方程的解是,平稳性：AR(2)时间序列的平稳性条件是它的两个特征根 的模都小于1,对应AR(1)模型:,特征根为,从而 是平稳的，我们有,AR(2)模型的平稳性要求 ，其中,这导致，,及,特征多项是,AR(p)模型,称之该AR(p)模型的特征方程。 AR(p)模型的平稳性条件：上述方程的所有解的模都大于1。 由于解的倒数为该模型的特征根。因此，平稳性要求所有 特征根的模都小于1。,均值函数,模型对应的多项式方程为,