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1、2 向量组的线性相关性,目的要求,（1）掌握向量组线性相关性的定义；,（2）掌握判断向量组线性相关性的两种方法；,（3）掌握向量组线性相关性的相关结论.,2 向量组的线性相关性,定义,设有向量组,则称向量组 A 是线性相关的.,否则，称它是线性无关的.,才能使()式成立，,也就是，只有当,则称向量组 A 是线性无关的.,如果存在不全为零的数,说明：,线性相关,线性相关,等价命题：,含零向量的向量组,对应分量成比例.,任一非零向量,线性无关.,必线性相关.,线性相关性的判定（定义法）,解齐次线性方程组,若（1）有非零解,判定向量组,线性相关,线性无关,若（1）只有唯一零解，,判定向量组,例3,设
2、有数,的线性相关性.,讨论,解：,例4,设有数,所以向量组 E 线性无关.,使得,的线性相关性.,讨论,解：,定理1,有非零解.,向量组 A: a1 , a2 , am 线性相关,其中矩阵 A = ( a1 , a2 , am ).,秩 R (A) m,向量组 A: a1 , a2 , am 线性无关,定理 2,只有零解.,秩 R (A) = m,线性相关性的判定（秩法）,矩阵 A = ( ),向量组 A:,若秩 R (A) = m,线性无关,若秩 R (A) m,线性相关,例 5 讨论向量组,向量组 a1 , a2 , a3是线性无关的.,因为R (A ) = 3 ，,的线性相关性.,解：,
3、例 6 讨论向量组,的线性相关性.,解：,知 R( a1 , a2 , a3 ) = 2 3,所以向量组 a1 , a2 , a3 线性相关.,练习： 讨论下列向量组的线性相关性.,R ( a1, a2, a3, a4 )=3,向量组 a1 , a2 , a3 , a4 线性相关.,用mathematica求解,例 8,已知向量组 a1 , a2 , a3 线性无关，,证一,b1 =a1 + a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a1,证明向量组,也线性无关.,向量组 a1 , a2 , a3 线性无关 ,也就是,x1 = 0， x2 = 0，x3 = 0,向量组,b1
4、,b2 ,b3,线性无关.,设有数 x1 , x2 , x3 使,例 8,已知向量组 a1 , a2 , a3 线性无关，,b1 =a1 + a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a1,证明向量组,也线性无关.,证二：,所以向量组,b1 ,b2 ,b3,线性无关.,其中,例 8,已知向量组 a1 , a2 , a3 线性无关，,b1 =a1 + a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a1,证明向量组,也线性无关.,证三：,所以向量组,b1 ,b2 ,b3,线性无关.,因a1 , a2 , a3 线性无关,例 9,证明向量组,线性相关.,证一,例 9,
5、证明向量组,线性相关.,证二,例 9,证明向量组,线性相关.,证三,定理3 几个结论：,(1) 向量组 A: a1 , a2 , am ( m2 ) 线性相关,其余m-1个向量,至少有一个向量,能由,线性表示.,证明,充分性,设,中有一个向量（比如,能由其余向量线性表示.,）,故,故 线性相关.,必要性,设 线性相关，,则有不全为0的数,因 中至少有一个不为0，,不妨设,即 能由其余向量线性表示.,证毕.,使,则有,定理3 几个结论：,(2) 若向量组 A: a1 , a2 , am 线性相关,组 B: a1 , a2 , , am , am+1 也线性相关.,则,(2 ) 若,a1 , a2
6、 , , am , am+1 线性无关，,a1 , a2 , am 线性无关.,（个数增减） 部分相关，整体相关； 整体无关，部分无关。,(3) 若向量组 A:,线性无关，,也线性无关.,则向量组 B:,(3 ) 若B 组线性相关，,则A组也线性相关.,（分量增减） 部分无关，加长无关； 加长相关，部分相关。,例10,线性无关,线性无关,例11 判断向量组,线性无关,解:,的相关性,(4) 向量个数大于向量维数，,(5) 如果向量组 A : a1 , a2 , am 线性无关，,a1 , a2 , am , b,那么,且表法唯一.,而向量组 B:,特别有n +1 个 n 维向量，,向量 b 可由向量组 A 线性表示,必线性相关.,必线性相关.,线性相关,线性相关性在线性方程组中的应用,若方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，这时方程组（各个方程）是线性相关的；,高斯消元法和矩阵的初等行变换法求解方程组可以说成化相关为无关的问题,当方程中没有多余方程，就称该方程组（各个方程）线性无关（或线性独立）.,目的要求,（1）掌握向量组线性相关性的定义；,（2）掌握判断向量组线性相关性的两种方法；,（3）掌握向量组线性相关性的相关结论.,