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1、第五节 线性系统的稳定性分析,第三章 时域分析法,两种特殊情况的判稳，劳斯判据的灵活运用。,3-5 线性系统的稳定性分析,在控制系统的分析研究中，最重要的问题是系统的稳定性问题。不稳定的系统在受到外界或内部的一些因素扰动时，会使被控制量偏离原来的平衡工作状态，并随时间的推移而发散。因此，不稳定的系统是无法正常工作的。,定义：如果线性定常系统受到扰动的作用，偏离了原来的平衡状态，而当扰动消失后，系统又能够逐渐恢复到原来的平衡状态，则称该系统是渐进稳定的（简称为稳定）。否则，称该系统是不稳定的。,注意：稳定性是系统的一种固有特性，这种特性只取决于系统的结构和参数，与外作用无关。,一、稳定的基本概念
2、,稳定与不稳定系统的示例,图a 摆运动示意图 （稳定系统）,A,f,图b 不稳定系统,图c 小范围稳定系统,d,f,c,A,物理意义上的稳定概念,根据上述稳定性的定义，可以用 函数作为扰动来讨论系统的稳定性。 设线性定常系统在初始条件为零时，输入一个理想单位脉冲 ，这相当于系统在零平衡状态下，受到一个扰动信号的作用，如果当t趋于时，系统的输出响应c(t)收敛到原来的零平衡状态，即 该系统就是稳定的。,数学意义上的稳定概念,五种运动模态,*当系统特征方程的根都具有负实部时，则各瞬态分量都是衰减的，则有 ，此时系统是稳定的。 *如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则该根对应的瞬态分量是发散的，
3、 此时 不成立，系统不稳定。 *如果特征根中具有一个或一个以上的零实部根，而其余的特征根均有负实部，则c(t)作等幅振荡，这时系统处于临界稳定状态。,线性定常系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说闭环传递函数的所有极点均位于为S平面的左半部分（不包括虚轴）。,由以上讨论可知：判稳先求根。但是，对高阶系统，在求根时将会遇到较大的困难。人们希望寻求一种不需要求根而能判别系统稳定性的间接方法，例如:直接用系数就可以判断系统的稳定性。而劳斯判据就是其中的一种。,二、劳斯稳定判据,系统稳定的必要条件是其特征方程,1、稳定的必要条件,思路：寻找直接用系数就可以判断系统的稳定性
4、的方法。,的各项系数均为正，即,将上式展开得特征根与特征方程系数的关系如下：,(单根和),(双根积和),(n根积和),(3根积和),只有当所有根都位于左半平面，才能保证特征方程式的所有系数均为正。,证明一：,设方程有k个实根 和r对共轭复数根,只有当所有根都位于左半平面，即 ，上式展开后，才能保证特征方程式的所有系数均为正。,，则,证明二：,系统稳定,特征方程式所有根都位于左半平面,特征方程式各项系数均为正,由此可见，系统稳定的必要条件是其特征方程的各项系数均为正，即,首先检查系统特征方程的系数是否都大于零，若有任何系数是负数或等于零，则系统是不稳定的。如果满足稳定的必要条件时，再使用劳斯判据
5、判别系统是否稳定。,分析稳定性，首先分析必要条件,2. 劳斯判据(由劳斯表判断系统的稳定性),2. 劳斯判据(由劳斯表判断系统的稳定性),劳斯表,计算数据,原始数据,五阶Routh表的列写方法举例,则Routh表为,如果劳斯表中第一列的系数都具有相同的符号（正值），则系统是稳定的，否则系统是不稳定的。且不稳定根的个数等于劳斯表中第一列系数符号改变的次数。,3.利用劳斯表判别系统的稳定性(三种情况),注意：a00,（1）劳斯表第一列所有系数均不为零,2,例1：已知系统的特征方程如下,试用劳斯判据分析系统的稳定性。,解 列劳斯表,劳斯表第一列的系数符号全为正，故系统稳定。,为简化运算，常把劳斯表的
6、某一行同乘以以一个正数后，再继续运算。 本例中，劳斯表可按如下方法计算： 1 14 10 6 17 2 67 58 (同乘以6，实质是不除6) 791 134 （同乘以67，不除67） 36900 （同乘以791，不除791） 134 由于第一列系数的符号相同，故系统稳定。,解特征方程求根判断稳定性： s=solve(s5+6*s4+14*s3+17*s2+10*s+2=0) s = -1 -3/2+1/2*5(1/2) -3/2-1/2*5(1/2) -1+i -1-i,例2：已知系统的特征方程，试用劳斯判据判断系统的稳定性。 s4+2s3+s2+s+1=0,解 列劳斯表如下 S4 1 1
7、1 S3 2 1 0 S2 (2*1-1*1)/2=1/2 (2*11*0)/2=1 S1 (1*1-2*2)/1=-3 S0 (-3*2-1*0)/-3=2,由于劳斯表第一列的系数变号两次，一次由1/2变为3 ，另一次由3变为2，特征方程有两个根在S平面右半部分，系统是不稳定的。,解特征方程求根判断稳定性： s=roots(1,2,1,1,1) s = -1.4656 -1.0000 0.2328 + 0.7926i 0.2328 - 0.7926i,(2) 劳斯表某行的第一项等于零，而本行中其余各项不全为零,方法1：当劳斯表某一行的第一项为零，而其余项不全为零，可用一个很小的正数(例如1*
8、10-6 )代替第一列的零项，然后按照通常方法计算劳斯表中的其余项。,例3：已知系统特征方程，判断系统的稳定性。,s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0,劳 斯 表,(64)/2=1,1,(10-6)/2=2,2,7,1,0,(6-14)/1= -8,-8,2+8,7,-8(2+8) -7,7,劳斯表第一列的系数变号两次，特征方程有两个根在S平面右半部分，系统不稳定。,2,例4 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性。,方法1 解： 由特征方程列出劳斯表 s4 1 2 5 s3 1 2 0 s2 0 5 s1 (2-5)/ s0 5,当的取值足够小时，(2-5)/将取负值，故劳斯表
9、第一列系数变号两次，由劳斯判据可知，特征方程有两个根具有正实部，系统是不稳定的。, s=roots(1,1,2,2,5) s = 0.5753 + 1.3544i 0.5753 - 1.3544i -1.0753 + 1.0737i -1.0753 - 1.0737i,求根判别稳定性：,方法2：令s=1/x代入特征方程可得到以x为变量的新的代数方程，对此方程使用劳斯判据也可判断系统的稳定性（相当于把特征方程系数的顺序倒过来）。,方法2,x4 5 2 1 x3 2 1 x2 -1 2 x1 5 x0 2,劳斯表第一列系数变号两次，由劳斯判据可知，特征方程有两个根具有正实部，系统是不稳定的。,令s
10、=1/x得：, s=roots(5,2,2,1,1) s = 0.2657 + 0.6255i 0.2657 - 0.6255i -0.4657 + 0.4650i -0.4657 - 0.4650i 存在两个正实部根，所表示系统不稳定。,求根判别稳定性：,方法3：对原特征方程两边同时乘以（s+1)因子，再用劳斯判据判稳。,劳斯表为 s5 1 3 7 s4 2 4 5 s3 2 9 （同乘以2） s2 -10 10 s1 11 s0 10,方法3,方程两边同乘以s+1 ，得：,劳斯表第一列系数变号两次，所表示系统不稳定。, s=roots(1,2,3,4,7,5) s = 0.5753 + 1
11、.3544i 0.5753 - 1.3544i -1.0753 + 1.0737i -1.0753 - 1.0737i -1.0000,求根验证：,例如 ， ， 等等。显然，系统是不稳定的。,(3)劳斯表某行所有系数均为零 如果劳斯表中某一行各项均为零，这说明在S平面内存在以原点为对称的特征根。,例5：设系统特征方程为：,s4+5s3+7s2+5s+6=0,劳 斯 表,5,1,7,5,6,6,6,0,劳斯表何时会出现零行?,特征方程中出现一些绝对值相同但符号相异的特征根：两个大小相等但符号相反的实根或一对纯虚根，或两对共轭复根。,判断系统稳定性。,s6 1 8 20 16 s5 2 12 16
12、 s4 2 12 16 s3 0 0 0,例6 已知系统的特征方程,分析系统的稳定性。,解 由特征方程列劳斯表,由于s3行的各项均为零，这表明系统有共轭虚根，所以系统不稳定。共轭虚根可由辅助方程求得，由,解得：,注意：如何 列辅助方程, s=roots(1 2 8 12 20 16 16) s = -0.0000 + 2.0000i -0.0000 - 2.0000i -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i 0.0000 + 1.4142i 0.0000 - 1.4142i,求根判别稳定性：,确实不存在实部大于零的情况。,1、确定系统是否满足稳定的必要条件。当特
13、征方程的系数不满足ai0(i=0,1,2,n)时，系统是不稳定的。 2、当特征方程的系数满足ai0 (i=0,1,2,n)时，计算劳斯表。当劳斯表的第一列系数都大于零时，系统是稳定的。如果第一列出现小于零的系数，则系统是不稳定的。 3、若计算劳斯表时出现情况(2)和(3)，此时为确定系数极点的分布情况，可按情况(2)和(3)的方法处理。,判断系统稳定性的步骤：,运用劳斯判据，不仅可以判定系统是否稳定，还可以用来分析系统参数的变化对稳定性产生的影响，从而给出使系统稳定的参数范围。,例 7 已知系统的结构图如图所示。当 时, 试确定K为何值时，系统稳定。,R(s),-,E(s),1,+,C(s),
14、解 图示系统的开环传递函数为,特征方程为,其闭环传递函数为,由特征方程列劳斯表 s3 1 7500 s2 34.6 7500K s1 s0 7500K,将,代入特征方程得,要使系统稳定，必须满足,解不等式得 K 0， K 34.6,因此，要使系统稳定，参数K的取值范围是 0 K 34.6,确定使系统稳定的特征参数的取值区间。,劳斯判据的推广及应用,例:已知系统的特征方程为: 如果要求特征值均位于s=-1垂线之左，判断使系统稳定的k值范围。,若要求全部特征根在s=-1之左,则虚轴向左平移一个单位，令s=s1-1代入原特征方程,得: 整理得:,列劳斯表: 第一列元素均大于0,则得:,Hurwitz
15、判据,设系统的特征方程为：,则系统稳定的充要条件是由特征方程的系数 构成的主行列式及其主对角线上的各阶主子式均为正，即,例8 系统特征方程如下，用Hurwitz判据判稳。,解：,判断系统稳定的方法,1.直接求根法：可以手工求解，也可用MATLAB辅助求解；,2.劳斯代数判据法：手工和MATLAB辅助法；,3.胡尔维茨代数判据法：手工和MATLAB辅助法；,用劳斯判据判别系统稳定性的步骤,1、系统稳定的必要条件:闭环特征式的系数大于0；,2、系统稳定的充要条件：列劳斯表，看第一列元素的情况(注意两种特殊情况)。,小结,1、稳定的概念 2、利用劳斯判据判别系统的稳定性,作业：3-11 3-12 3-20,