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1、一、位移法的基本思路,位移法的基本思路是：先分别考虑原结构在荷载和结点位移作用下产生的内力，再根据平衡条件建立位移法方程，求出未知位移，然后再计算出杆端弯矩，最后用分段叠加法绘制整个结构的弯矩图。,二、位移法方程及解题步骤,用位移法求解时需建立位移法方程，根据分析的对象不同，建立方程有两种方法转角位移方程法和基本体系法。,转角位移方程法是直接利用平衡条件来建立位移法典型方程的方法。,(1) 利用转角位移方程和位移协调条件，写出用结点位移表示的各杆的杆端弯矩表达式；,步骤：,1. 转角位移方程法,(4)将结点位移代入杆端力方程从而求出杆端内力。,(2) 利用与位移相应的隔离体的平衡条件建立平衡方
2、程；,(3) 解方程求出结点位移；,2.基本体系法,基本体系法是利用附加约束的基本原理建立位移法典型方程。,(1) 确定基本未知量。将原结构有角位移和线位移的结点分别加上阻止转动的刚臂和阻止移动的支座链杆，附加刚臂和附加支座链杆数之和即为位移法的基本未知量；,(2) 由附加约束上约束力为零的条件，建立位移法方程 kijj+Fi p=0 (i,j=1,2,n)；,(3) 在基本结构上分别绘制在各附加约束分别产生单位位移j =1下的弯矩图 及荷载作用下的弯矩图MP,步骤：,由平衡条件求出系数kij和自由项Fi P；,注意：一切计算都是在基本结构上进行!,三、几个值得注意的问题,(4) 从材料性质看
3、，只能用于弹性材料。,1. 位移法的适用条件,(1) 位移法既可以求解超静定结构，也可以求解静定结构；,(2) 既可以考虑弯曲变形，也可以考虑轴向和剪切变形；,(3) 可以用于梁、刚架、桁架、拱、组合结构等各种类型的结构；,(5) 按叠加原理计算杆端弯矩。,(4) 解方程求j；,位移法的基本未知量的数目等于独立结点角位移数加上独立结点线位移数。,2、位移法基本未知量的选取原则,(1) 独立的结点角位移数目的确定：为使结点不发生角位移，需要在结点施加附加刚臂，附加刚臂数等于全部刚结点和半铰结点的结点转角数目。但需注意：铰结点的角位移不作为基本未知量。例如图a中，A为刚结点，B为半铰结点，故有两个
4、独立角位移；而图b中B为刚结点，A为铰结点，故只取B 点转角为独立角位移。,与刚度无穷大的杆相连的刚结点的转角是否取为基本未知量，应根据具体情况区别对待。图a中AB杆刚度无穷大， A=B=0 ，因此基本未知量只有一个线位移；而图b中有一个角位移未知量。,(2) 独立的结点线位移的确定较复杂，基本可以根据以下原则确定：, 附加链杆法。在结点施加附加链杆，使其不发生线位移，则附加链杆数即为独立结点线位移数。应用此法时应注意，自由端、滑动支承端或滚轴支承端的与杆轴垂直方向的线位移不作为基本未知量。, 铰化法。将刚架中的刚结点（包括固定端）变成铰结点，成为铰接体系，其自由度数即为独立线位移数。,如，忽
5、略轴向变形的情况下，当竖柱平行时，无论梁是水平的还是倾斜的，梁都产生平动，因而各柱顶有相同的水平线位移。图a中A、C 点的水平位移相同，结构只有一个位移未知量。,3. 静定部分的处理,例如，图a中AB为静定部分，很容易画出该部分的弯矩图，将MBA=Fa 反作用于B点，再计算B点以右部分即可（图b）。,如图a所示，可把与悬臂部分相连的杆件BA看作是在A端铰接B端固定的单跨超静定梁（图b）。,4. 半铰悬臂的情况,5. 斜刚架的计算。,例：作图a所示斜刚架的M图。,解：本题有两个未知量，B点的转角1和C点的侧移2，两个附加约束如图b所示，由M1图和MP图易得,F1P=0, F2P=-F, k11=
6、10i,计算 k12， k22:,(1) 求B和2 之间的几何关系。取BC杆研究（图e），发生侧移后，B点移至B1 ，C点移至C1。 B在BC杆上的水平投影为BB2= B cos45。,仅从水平方向观察可以看出BC杆由原来的位置平移至B2C1的位置，由于杆件不伸长，因此有BB2=CC1,即,又由于 BB3是BB1在垂直BC杆方向的投影，因此,B cos45= 2,BB3= B sin45= 2,当C点有水平向右的侧移2时，B点将沿垂直于AB杆的方向运动（图d），其中2和B之间具有一定的几何关系。,而AB杆两端的相对侧移为BB3，因此,(2) 作M2图。由以上叙述可知BC 杆两端有相对侧移BB3
7、 ，因此在图f中,(3) 求 k21=k12，k22。由M2图易得,，能求出轴力FN。,求k22时取图f中的BC 杆为隔离体（图g），由,将系数带入位移法方程解得,最后弯矩图如图h所示。,本题在求解斜杆时应注意以下几点：,由于刚架是斜的，BC杆不仅发生平动，还有一定的转动，因此BC杆两端有相对线位移。,求FN时，对C点取矩，不应漏掉刚臂上的力，因为只有加上该力，隔离体才可保持平衡。,计算M2时，由于剪力和轴力都是倾斜的，因此建立平衡方程时两者都要考虑。,图示结构，计算时常易出错之处是误认为基本未知量只有一个B 。实际上B结点处，梁端与柱端转角均不同，C支杆由于弹性也可水平向移动，故基本未知量应
8、为B、B“及C。,6. 当有弹性支座和弹性刚结点时，基本未知量的确定,如图，将BD杆分为BC和CD两根杆件，则本题有三个未知量B，C ，C。,7. 一根直杆的刚度不同时, 位移基本未知量的确定,例：作图a所示结构弯矩图，各杆EI=常数。,解：本题中刚架ECFHG是基本部分，CBA是附属部分。首先求附属部分：由于C点无水平和竖向线位移，故可将CBA化为图b的结构，用位移法计算，弯矩图如图c所示。,再求基本部分：将附属部分的C点支座反力反作用于基本部分。,最后的M图如图d所示。,思考：为什么基本部分各杆的弯矩为零？,例：图a 所示结构，EI=常数，求结点K的转角。,四、对称性的利用,解：（1）作M
9、图,此结构沿45角斜线mn 对称，过C点的45方向斜线mn, 为此结构的对称轴（图b），结点C的转角为零。取半个结构如图c所示。,再将图c荷载分解为为正对称与反对称的叠加，取半结够如图d（正对称 ）、图e(反对称）所示。由叠加得：,（上拉）,（上拉）,（左拉）,（右拉）,结构M图如图f所示。,2. 求K截面的转角,取图g所示的静定结构，在K处加单位力作 图。,（ ）,另：取图h所示的静定结构，图乘时则更简便。,例:用位移法作图a 所示单跨梁弯矩图，k=i =EIl。,解：基本结构如图b所示，基本未知量为A端角位移。,五、弹性支撑超静定结构的计算,得,按叠加原理,作出弯矩图，如图d所示。,六、用
10、位移法求超静定结构的位移,例：图a 所示单跨梁，左端发生角位移，求梁中点竖向位移（向下为正）。,解：直接画出MP图如图b所示，求C点的竖向位移时只需要在对应的静定结构中点加单位力（图c），用图乘法可得,例: 求图a 所示结构C点的竖向位移CV。,解: 该结构可以分解为正对称和反对称两部分（图b、图c）。,正对称部分,两者相加得,反对称部分CV=0，,七、力法与位移法的比较,1相同之处 二者都要考虑力系的平衡条件和结构的变形协调条件。,2不同之处,从基本未知量看，力法取的是力多余未知力；位移法取的是位移独立的结点位移，因此求超静定结构的位移时，通常用位移法较方便。,从基本体系看,力法是去约束，位
11、移法是加约束。,从基本方程看，力法是位移协调方程，方程的系数是位移，位移法是力系平衡方程，其系数是力。力法只能分析超静定结构，位移法则通用于分析静定和超静定结构。,八、力矩分配法的基本思路,力矩分配法适用于连续梁和无结点线位移的刚架。力矩分配法与位移法的基本理论是一致的，即认为结构最后的内力状态是由荷载单独作用（此时不考虑结点位移，即把结点位移约束住）和结点位移单独作用下 （放松约束，使结构产生变形）产生的内力相叠加的结果。,但二者的不同之处在于用位移法计算时，我们把结构的最后变形看作是由初始状态一次性完成的；力矩分配法则是每次只完成一部分变形，经过几次循环之后才逐渐达到最后的变形值，因而结构
12、在总变形下产生的总内力也应当是由这几次变形各自产生的内力相叠加。,例：图示结构中各杆EI 相同，求分配系数BA 。,解：,注意：本题需正确求解SBC 。,，,，,所以,（2）结点有外力偶的结构。当结点上有外力偶时，为正确计算该处不平衡力矩，宜取该结点为隔离体，画出集中力偶和固端弯矩的实际方向，则由结点的力矩平衡方程求出不平衡力矩，不平衡弯矩以逆时针旋转为正。,1. 几种情形下约束力矩的计算,（1）带悬臂的结构。求图a 所示连续梁结点B 的不平衡力矩，可将悬臂端的F 等效平移到支座C上（图b），杆BC 的C 端弯矩为M，B 端的传递弯矩为M/2，得B 端的约束力矩MB=Fl/8+M/2。,例：求
13、图a所示连续梁结点B的不平衡力矩。,解：由图b可得结点B的不平衡力矩为,（3）支座沉降,例：求图a所示连续梁有支座沉降时，结点C 的约束力矩。,解：,(1) 思路一致。力矩分配法和位移法的思路是一致的，即都是先固定结点，只考虑除变形外的其他因素，然后再令结构发生变形，使结构达到最后的变形状态。 (2)实现最后的内力和变形状态的方法不同。位移法的最后变形状态是一次性完成的，内力是由广义荷载和变形各自作用的结果相叠加来实现的；力矩分配法则是经循环运算、逐步修正，将各结点反复轮流地固定、放松，才使各结点的不平衡力矩逐渐趋近于零，杆端力矩也就逐步修正到精确值。,九、力矩分配法与位移法的比较,例：已知各
14、杆EI=常数，作图a 所示结构的M图。,解: ABCD为静定部分，先求出该部分M 图，再把MAB反作用于基本部分EABF，用位移法或力矩分配法求解，答案见图b。,例：写出图a 所示结构的解题方法（用计算简图表示，并作简要说明）。,解：易知，CIE为静定的附属部分，取CIE为隔离体，即可求出E、C的支座反力。再将支座反力分别反作用于两个基本部分（如图b、c）。,由于图b、c中竖向反力ql不产生弯矩，故可不考虑。再分别将图b、c取半结构，如图d、e所示，二者均极易求解（图d用力法，只有一个未知量，而图e为静定结构）。,例：用力矩分配法计算图a所示刚架，作M图。EI =常数。,解：先直接画出CD部分的弯矩图，再将图a化成图b，用力矩分配法极易求出M 图（图c）。,十、思考题,2. 在用位移法分析刚架中若不考虑杆件的轴向变形时，是否相当于不存在轴向力?,1. 位移法的基本结构为超静定结构?,3. 在不考虑杆件的轴向变形时，图a与图b的内力、位移是否相同?,提示: 单结点结构的力矩分配法计算结果是精确的。,4. 力矩分配法是以位移法为基础的渐近法， 这种计算 方法是否只能获得近似解？,