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1、第三章 多维随机变量及其分布,第一节 二维随机变量及其分布,第二节 边缘分布,第三节 相互独立的随机变量,第四节 随机变量的函数的分布,大纲要求： 1 了解二维随机变量的概念及其实际意义，理解二维随机变量的分布函数的定义及性质。 2 理解二维随机变量的边缘分布以及与联合分布的关系。 3 掌握二维均匀分布和二维正态分布。 4 理解随机变量的独立性。 5 会求二维随机变量的和、及多维随机变量的极值分布。 6 了解n维随机变量的概念及其分布。,二、分布函数,三、二维离散型随机变量,四、二维连续型随机变量,第一节 二维随机变量,一、多维随机变量,一、多维随机变量,1.定义： 将n 个随机变量X1，X2
2、，.,Xn构成一个n维向量 (X1,X2,.,Xn)称为n维随机变量。,一维随机变量XR1上的随机点坐标 二维随机变量(X,Y)R2上的随机点坐标 n维随机变量(X1,X2,Xn)Rn上的随机点坐标，多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律,实例1 炮弹的弹着点的位置 (X,Y) 就是一个二维随机变量.,二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.,实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量(H,W).,说明,二、分布函数,设(X, Y)是二维随机
3、变量，(x, y)R2, 则称 F(x, y)=PXx,Yy 为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。,对于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ),则 Px1X x2， y1Yy2 F(x2, y2)F(x1, y2)F (x2, y1)F (x1, y1).,(x1, y1),(x2, y2),(x2, y1),(x1, y2),(2) 分布函数的性质,且有,若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机变量.,三、二维离散型随机变量,1. 定义,2. 二维离散型随机变量的分布律,二维
4、随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为,解,且由乘法公式得,例1,1.定义,四、二维连续型随机变量,2.性质,表示介于 p(x, y)和 xOy 平面之间的空间区域的全部体积等于1.,3.说明,O,x,y,G,p ( x , y ),例2,( 1 ) 对任意的 x 0 、 y 0 ，,最后得到联合分布函数：,( 2 ) 区域 G = ( x ，y ) | y x 表示的是直线 y = x 的下半部分，而联合密度函数只有在 x ，y 同时都 0 才取值为 2 e ( 2 xy ) 。因此， P Y X 实际上是 函数 2 e ( 2 xy ) 在图中 G 0 上的二重积分。,4. 两个常用
5、的二维连续型分布 (1)二维均匀分布 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为 则称(X, Y )在区域 D上(内)服从均匀分布。,易见，若（X，Y）在区域D上(内) 服从均匀分布,对D内任意区域G，有,其中，1、2为实数，10、20、| |1，则称(X, Y) 服从参数为1, 2, 1, 2, 的二维正态分布，可记为,(2)二维正态分布 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为,1. 二维随机变量的分布函数,2. 二维离散型随机变量的分布律,3. 二维连续型随机变量的分布函数,小结,解,例1,备份题,例2 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2, 从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一
6、个, 设每 次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X, Y 分 别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 , 求 X, Y 的分布律.,( X,Y )的可能取值为,解,故 (X ,Y )的分布律为,二、离散型随机变量的边缘分布律,三、连续型随机变量的边缘分布,一、边缘分布函数,四、小结,3.2 边缘分布,一、边缘分布函数,为随机变量 ( X,Y )关于Y 的边缘分布函数.,二、离散型随机变量的边缘分布律,例1 已知(X,Y)的分布律，求其边缘分布律.,注意,联合分布,边缘分布,解,三、连续型随机变量的边缘分布,同理可得 Y 的边缘分布函数,Y 的边缘概率密度.,解,例2,例3 设(X,Y)服从如
7、图区域D上的均匀分布， 求关于X和关于Y的边缘概率密度.,x=y,x=-y,例4,解,由于,于是,则有,即,同理可得,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,请同学们思考,边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分 布一定是二维正态分布吗?,不一定.,举一反例以示证明.,答,因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布.,一、定义,3.3 相互独立的随机变量,二、小结,两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .,定义,它表明，两个随机变量相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .,若 (X,Y)是连续型随机变量
8、 ,则上述独立性的 定义等价于：,若 (X,Y)是离散型随机变量，则上述独立性的定义等价于：,解,例1,(1)由分布律的性质知,特别有,又,(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有,x0,即：,对一切x, y, 均有： 故X,Y 独立,y 0,解：,例3 一负责人到达办公室的时间均匀分布在812 时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时, 设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办 公室的时间相差不超过 5 分钟的概率.,解,于是,解,由于X 与Y 相互独立,例4,小结,1. 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为,独立性,二、离散型随机变量函数的分布,三、连续型随机变量函数
9、的分布,四、小结,一、问题的引入,3.4 两个随机变量的函数的分布,为了解决类似的问题,下面 我们讨论两个随机变量函数的分布.,一、问题的引入,二、离散型随机变量函数的分布,结论,三、连续型随机变量函数的分布,1. Z=X+Y 的分布,由此可得概率密度函数为,由于X 与Y 对称,当 X, Y 独立时,例2 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正态分布,求 Z=X+Y 的概率密度.,得,说明,有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.,例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则 3X+4Y+1也具有正态分布.,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,解: 由卷积公式,也即,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,如图示:,也即,于是,则有,故有,推广,若 X与Y 相互独立同分布且为连续型随机变量,X的分布密度为p(x), 则M与N的分布密度为,上述结论可以推广到n维情形,即若设随机变量 相互独立同分布,令 则它们的分布函数分别为,它们的概率密度函数分别为,例4,解,