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1、Chapter 12 Bending of Thin Plates. Classical Solutions 第十二章 薄板弯曲问题。经典解答。,学习指导,1. 杆件受到纵向（平行于杆轴）荷载的作用杆件的拉压问题；杆件受到横向（垂直于杆轴）荷载的作用梁的弯曲问题。 与此相似，薄板受到纵向（平行于板面）荷载的作用平面应力问题；薄板受到横向（垂直于板面）荷载的作用薄板的弯曲问题。 薄板的弯曲，可以认为是梁的弯曲的推广，是双向弯曲问题。但不能将薄板的弯曲看成是纵、横梁弯曲的叠加。,Chapter 12 Bending of Thin Plates. Classical Solutions 第十二章
2、薄板弯曲问题。经典解答。,学习指导,2. 与平面问题和空间问题不同的是，除了前述的弹性力学的五个基本假定之外，在薄板的弯曲问题中，根据内力和变形的特征，又提出了三个计算假定，用以简化空间问题的基本方程，并从而建立了薄板的弯曲理论。 NOTES: 与材料力学相似。,Chapter 12 Bending of Thin Plates. Classical Solutions 第十二章 薄板弯曲问题。经典解答。,学习指导,3. 薄板弯曲问题属于空间问题。薄板弯曲理论，是从空间问题的基本方程和边界条件出发，应用薄板的三个计算假定进行简化，并按位移法导出薄板弯曲问题的基本方程和边界条件。 最后归结的基本
3、位置函数（挠度w(x,y)）和相应的方程、边界条件。薄板问题也属于二维问题。,4. 对于矩形薄板，基本的解法是纳维法和莱维法。 5. 对于圆板问题，类似于极坐标中的平面问题，可以建立相应的圆板弯曲问题的方程。对于轴对称圆板的弯曲问题，其通解已经解出。,Chapter 12 Bending of Thin Plates. Classical Solutions 第十二章 薄板弯曲问题。经典解答。,9.1 有关概念和基本假定 9.2 弹性曲面的微分方程 9.3 薄板横截面上的内力 9.4 边界条件 扭矩的等效剪力 9.5 四边简支矩形薄板的重三角级数解 9.6 矩形薄板的单三角级数解 9.7 矩形
4、薄板的差分解（*） 9.8 圆形薄板的弯曲,Chapter 12 Bending of Thin Plates. Classical Solutions 第十二章 薄板弯曲问题。经典解答。,基本要求： 熟悉薄板问题的有关概念及计算假设，弹性曲面的微分方程和薄板横截面上的内力。 熟悉薄板问题的边界条件，四边简支矩形薄板的重三角级数解答，圆形薄板的弯曲和圆形薄板的轴对称弯曲。,薄板是一种常见的工程构件形式 机械、航空和土建工程中应用广泛 特殊形式小挠度薄板,Section 9. 1 Introduction and Assumption 9.1 有关概念与计算假设,工程构件中板的形式多样 根据几何
5、形状和变形分类：,板中面为平面 壳曲面,小挠度的弯曲薄板 薄板宽度与厚度的比值在15以上。, 9.1 有关概念与计算假设,A plate is a body bounded by two closely spaced parallel planes and one or more prismatical surfaces normal to the planes. 板：两个平行面和垂直这两个平面的拄面或棱柱面所围 成的物体，称为平板，或简称板。,Plate faces（板面）two closely spaced parallel planes 板面：这两个平行面称为板面。 Plate edge
6、s（板边）prismatical surfaces normal to the plate faces. 侧面或板边：这个柱面或棱柱面称为侧面或板边。,Plate thickness-the distance between the two plate faces. It is denoted by . 板的厚度：两个板面之间的距离（ ）,Plate middle plane（中面） The plane parallel to the faces of the plate and bisecting the thickness is called the middle plane of the
7、 plate. 中面：平分厚度的平面称为板的中间平面，或简称板的 中面。,Thin plate（薄板）- a b min(a,b)/15 Thick plate（厚板） 薄板和厚板：如果板的厚度远远小于中面的最小尺寸，这个板就称为薄板，否则，就称为厚板。,Coordinate system（坐标系）- x and y are in the middle plane and z axis is perpendicular to the middle plane . The system is a right hand system.,薄板的小挠度弯曲理论,小挠度弯曲理论：只讨论这样的薄板，它虽然
8、很薄，但仍然具有相当的弯曲刚度，因而它的挠度远小于它的厚度 因此，位移和形变是微小的基本假设仍然符合。 大挠度弯曲理论：如果薄板的弯曲刚度较小，以致挠度于厚度属于同阶大小，则须另行建立所谓大挠度弯曲理论。 薄模：如果薄板的弯曲刚度很小，以致挠度远大于厚度，则薄板称为薄模。,荷载（Loads）,Longitudinal load in the middle plane and Transverse load 当薄板受一般荷载时，总是可以把每个荷载分解为两个荷载. 纵向荷载：平行于中面的荷载； 横向荷载：垂直中面的荷载。,1. Longitudinal load in the middle pla
9、ne（纵向荷载）-All the external forces are parallel to the faces of the plate and distributed uniformly over the thickness.-plane stress problem. 纵向荷载：可以认为他们沿薄板厚度均匀分布，因而他们所引起的应力、形变和位移可以按平面应力问题进行计算，如第二章至第六章所述。 2.Transverse load（横向荷载） -They are perpendicular to the middle plane-plate bending problem. 横向荷载：将
10、使薄板弯曲，他们所引起的应力、形变和位移，可以按薄板弯曲问题进行计算。,Loads（荷载）,Deflection（挠度）-the displacement of a point on the middle plane in the direction of z, w(x,y,0), is called the deflection of the point . 挠度：中面内各点在垂直于中面方向上的位移。 Small deflections（小挠度）-the deflection is much smaller than the thickness. W(x,y,0)/5 Only small
11、deflections are considered here.,薄板弹性曲面：当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面。,Basic Assumptions 基本假设,Assumption stated in Sec.1.3 1. The body is continuous, perfectly elastic, homogeneous and isotropic. 连续的、完全弹性的、均匀的和各向同性的。 2.The displacements and strains are small. 位移和形变都是微小的。 The deflection of the plate is small. 薄板的挠
12、度也是微小的。 Thin plates,Assumption 1： is neglected, since they are small. 薄板假设1：垂直中面方向的线应变 可以不计。,即：横向位移w(x,y)只是x,y的函数，不随z变化。 因此，在中面的任一根法线上各点都具有相同的横向位移，也就等于挠度。,薄板假设2：应力分量 远远小于其余三个应力分量，因而是次要的，它们所引起的形变可以不计 注意：这3个次要应力分量本身是维持平衡所必须的，不能不计。,思考： 梁弯曲时中性轴的概念？,薄板假设2：应力分量 远远小于其余三个应力分量，因而是次要的，它们所引起的形变可以不计。 注意：这3个次要应力
13、分量本身是维持平衡所必须的，不能不计。,薄板小挠度问题中的物理方程与薄板平面应力问题的物理方程相同（但两种问题中应力和形变分量沿厚度方向的分布是不同的）。,薄板假设3：薄板中面内的各点都没有平行中面的位移，即：,也就是说：中面的任意一部分，虽然弯曲成弹性曲面的一部分，但它在xy面上的投影性状却保持不变。,在材料力学里分析直梁的弯曲时，也采用了与上相似的计算假设，只是在这里，薄板的中面代替了梁的轴线，薄板的弹性曲面代替了直梁的弹性曲线，薄板的双向弯曲（实际上是连弯带扭）代替了直梁的单向弯曲。,9.2 Differential Equation for Bending of Thin Plates
14、 9.2 弹性曲面的微分方程,Basic unknown function w(x,y) 薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解的，只取挠度w(x,y)作为基本未知数。 Fifteen equations for spatial problems-one equation in term of for plate bending problem. 根据空间问题的基本方程和边界条件，以及上述的三个计算假设，将其他未知数纵向位移u和v，主要应变分量 ，主要应力分量 ，次要应力分量 及更次要应力分量 ，分别都用挠度w(x,y) 来表示，并导出求解挠度的方程。,9.2 Differential Equati
15、on for Bending of Thin Plates 9.2 弹性曲面的微分方程,基本未知函数: w(x,y),小挠度薄板位移解法,位移与应变：,9.2 Differential Equation for Bending of Thin Plates 9.2 弹性曲面的微分方程,薄板应力：,广义力,广义应变,曲率 扭率,薄板弯曲内力：,薄板弯 曲刚度,薄板平衡方程：,1. Express u and v in terms of w 1. 将u 和 v 用挠度w表示,前面已经导出：,对 z 进行积分,由于：,因此：,2.Express strain components in terms
16、of w 2. 将主要应变分量 用挠度w表示,将u，v用代入几何方程,3. Express stress components x，y，xyin terms of w 3. 将主要应力分量x，y，xyin用挠度w表示,由薄板的物理方程：,由于 w 不随 z 而变，三个主要应力分量都与z 成正比，与梁的弯曲应力相似。,4.Express strain components zx,zyin terms of w 4.将次要应力分量 zx,zy用挠度 w表示,由于次要应力分量zx,zy引起的形变忽略不计，相应的物理方程已经放弃。使用平衡方程推导。,平衡方程前两式：,将应力分量代入后，得：,对 z 进
17、行积分,4.Express strain components zx,zyin terms of w 4.将次要应力分量 zx,zy用挠度 w表示,对 z 进行积分,上下板面边界条件：,两个切应力沿横向为抛物线分布，与材料力学中梁的切应力相似。,5. Express stress components z in terms of w 5. 更次要应力z 用挠度 w表示,平衡方程第三式：,这样处理只会对z引起误差，对其他应力分量无影响。这样处理，和材料力学中对梁的处理相同。,对 z 进行积分,5. Express stress components z in terms of w 5. 更次要应
18、力z 用挠度 w表示,下板面边界条件：,6. The differential Equation of deflection w 6. 推导挠度 w 的微分方程,由上板面的边界条件：,q为薄板每单位面积内的横向荷载，包括横向面力及横向体力。,D薄板的弯曲刚度,薄板的弹性曲面微分方程，或挠曲线微分方程。,在上述推导过程中，已经考虑并完全满足空间问题的平衡方程、几何方程和物理方程，以及薄板上下板面的主要边界条件，并得出了求解挠度w的基本微分方程。基本微分方程结合薄板侧面的边界条件，可以求出挠度w,然后可以求得应力分量。,D4w(x,y)= q(x,y),1. Fifteen equations f
19、or spatial problems become one equation in term of w(x,y) for plate bending problem. 2. Boundary conditions on z= /2 are satisfied. 3. Boundary conditions on edges of plate have to be satisfied.,9.3 Stress Resultants and Stress Couples-Internal Forces 9.3 薄板横截面上的内力,薄板内力：薄板横截面上的内力。是指 薄板横截面的每单位宽度 上，由应
20、力合成的主矢量和主矩。 为什么求薄板内力？ （1）薄板是按内力设计的，因此，需要求内力。 （2） 由于在板的侧面上，通常很难使应力分量精确满足应力边界条件，但板的侧面是板的次要边界条件，可以应 用圣维南原理，用次要边界条件代替。,广义力,广义应变,曲率 扭率,薄板弯曲内力：,薄板弯 曲刚度,9.3 薄板横截面上的内力,12.3 Internal Forces 12.3 薄板横截面上的内力,从薄板中取出一个平行六面体，如下图所示：,12.3 薄板横截面上的内力x面上,合成扭矩,合成弯矩,合成横向剪力,12.3 薄板横截面上的内力x面上,合成扭矩,合成弯矩,合成横向剪力,12.3 薄板横截面上的内
21、力x面上,合成扭矩,合成弯矩,合成横向剪力,12.3 薄板横截面上的内力x面上,合成扭矩,合成弯矩,合成横向剪力,12.3 薄板横截面上的内力y面上,方法与x面上类似：,合成扭矩,合成弯矩,合成横向剪力,12.3 薄板横截面上的内力归纳,Express positive internal forces on the middle plane 薄板内力的正负方向的规定,由应力的正负方向的规定得出：正的应力合成的主矢量为正，正的应力乘以正的矩臂合成的主矩为正；反之为负。,应力分量表达式,前面讲过：,应力分量表达式,各应力分量与弯矩、扭矩、横向剪力或荷载之间的关系。,应力分量沿板的厚度情况,注意：以
22、上提到的内力，都是作用在薄板每单位宽度上的内力，所以弯矩和扭矩的量纲为：LMT-2,横向剪力的量纲为：MT-2。,注意：在薄板弯曲问题中，弯应力和扭应力在数值上最大，因而是主要应力；横向切应力在数值上较小，是次要应力；挤压应力在数值上最小，是更次要的应力。因此在计算薄板的内力时，主要计算弯矩和扭矩，横向剪力一般无需计算。因此有关手册中只给出弯矩和扭矩的计算公式或图表，而并不提及横向剪力。,Mx My-bending moment per unit width.force Mxy=Myx-twisting moment per unit width. force A positive momen
23、t corresponds to a positive stress component in the positive half of the plate. Mx My and Mxy are of order of qa2 Fsx Fsy-transverse shearing force per unit width forcelength-1 The positive direction of Fsx is the same as xz The positive direction of Fsy is the same as yz Fsx and Fsy are of order of
24、 qa,薄板横截面上的内力的正负方向规定,Mx, My,Mxy, FSx, Fsy, q之间的关系,利用平衡方程：力矩式和投影式。,Mx, My,Mxy, FSx, Fsy, q之间的关系,9.4 Boundary Conditions 9.4 边界条件,满足基本方程和给定的边界条件 基本方程 为四阶偏微分方程 矩形薄板，每个边界必须给出两个边界条件。,1 几何边界条件 在边界上给定边界挠度w和边界切线方向转角 。 固定边界 2混合边界条件 边界同时给出广义 力和广义位移 简支边界,薄板弯曲问题的典型边界条件,3 面力边界条件 在边界上给定横向剪力和弯矩 自由边界,9.4 Boundary C
25、onditions 9.4 边界条件,与板的上下板面相比，板边是次要边界条件。 因此，在板边可以应用圣维南原理，把应力边界条件替换称为内力的边界条件，即横向剪力及弯矩边界条件。 同时，板边的位移边界条件也相应地替换为中面的挠度及转角的条件。,9.4 Boundary Conditions 9.4 边界条件简支边OC边(y=0):,如右图：OA边为固定边，OC边是简支边，AB边和BC边为自由边。,简支边OC边(y=0):,如果简直边上有分布的力矩荷载M(一般是x的函数)，则(My)y=0=M。但仍可以化简为挠度w的形式。,9.4 Boundary Conditions 9.4 边界条件固定边OA
26、边(x=0):,如右图：OA边为固定边，OC边是简支边，AB边和BC边为自由边。,固定边OA边(x=0):,简支边OC边(y=0):,9.4 Boundary Conditions 9.4 边界条件自由边AB边(y= b),自由边AB边(y=b):,薄板任一边的扭矩都可以变换为等效的横向剪力，即扭矩的等效剪力。与原来的横向剪力合并，边界条件由三个归并为两个。,Twisting moments are replaced by a statically equivalent shearing force 扭矩的等效剪力自由边AB（y=b）,边界AB上的分布扭矩就变换为等效的分布剪力。,9.4 Bo
27、undary Conditions 9.4 边界条件自由边AB边(y= b),自由边AB边(y=b):,用挠度w表示,自由边边界条件,注意：若在这个自由边上由分布的力矩荷载M和分布的横向荷载Ft，上式边界条件右边不等于零。,9.4 Boundary Conditions 9.4 边界条件自由边BC边(x=a),自由边BC边(x=a)(与y=b)类似。,用挠度w表示,自由边边界条件,注意：若在这个自由边上由分布的力矩荷载M和分布的横向荷载Ft，上式边界条件右边不等于零。,9.4 Boundary Conditions 9.4 边界条件自由边AB与BC的交点(x=ay=b),自由边AB与BC的交点
28、(x=a,y=b),用挠度w表示,两个自由边交点集中力表达式。,注意：若在B点没有任何支柱对薄板对薄板施以此项集中反力，则在B点还需要补充以交点条件：FRB=0,如果在B交有支柱阻止挠度发生。则上述交点的边界条件变为：,9.5 四边简支矩形薄板的重三角级数解答,边界条件为：,9.5 四边简支矩形薄板的重三角级数解答,纳维把挠度w的表达式取为重三角级数：,m，n为正整数。上式满足全部边界条件。,把q=q(x,y)展开为重三角级数：,9.5 四边简支矩形薄板的重三角级数解答,纳维把挠度w的表达式取为重三角级数：,9.5 四边简支矩形薄板的重三角级数解答,利用均布荷载作用的结果，可以求出集中力F作用
29、的结果。,9.5 四边简支矩形薄板的重三角级数解答,均布荷载作用下：,求出内力。,9.6 矩形薄板的单三角级数解答,边界条件为：,承受任意横向荷载：,莱维将表达式取为：,9.6 矩形薄板的单三角级数解答,莱维把挠度w的表达式取为单三角级数：,把q=q(x,y)展开为三角级数：,9.6 矩形薄板的单三角级数解答,莱维把挠度w的表达式取为单三角级数：,非其次方程的任意一个特解。 待定系数由边界条件求得。（参考书上P193194）,重三角函数解和单三角函数解的比较（参考书上P194）,9.7 矩形薄板的差分解,弹性曲面的微分方程：,差分方程：,9.7 矩形薄板的差分解,差分方程：,边界条件：,只有简支边和固定边界：,简支边：,固定边：,9.7 矩形薄板的差分解,差分方程：,边界条件：,自由边：边界上的结点值作为未知量。,利用边界条件可以将边界外第一行和第二行用边界上和边界内的结点表示。,9.8 圆形薄板的弯曲（P198200） 自学,9.8 圆形薄板的轴对称问题（P200202） 自学,9.7 矩形薄板的差分解,内力：,