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1、Nanjing University of Technology,材料力学课堂教学软件(12),第12章 简单的静不定系统,材料力学, 12.1 静不定系统的几个基本概念,第12章 简单的静不定系统, 12.4 力法与正则方程, 12.3 对称性与反对称性在求解静不定 问题中应用, 12.5 能量法在求解静不定问题中的应用, 12.2 简单静不定问题,第12章 简单的静不定系统, 12.1 静不定系统的几个基本概念, 6.6 简单的静不定梁,1、基本概念,静不定系统的作用：为了提高工程结构中构件的强度和刚度。,静不定次数：未知力个数与独立平衡方程数之差,静定问题与静定结构：未知力（内力或外力）
2、个数等于独立的平衡方程数,静不定问题与静不定结构：未知力个数多于独立的平衡方程数,多余约束：保持结构静定多余的约束,一、静不定结构的类型,外力静不定系统,内力静不定系统,混合静不定系统, 12.1 静不定系统的几个基本概念,外力静不定系统, 12.1 静不定系统的几个基本概念,几次静不定？,相当系统,内力静不定系统, 12.1 静不定系统的几个基本概念,几次静不定？,相当系统,混合静不定系统, 12.1 静不定系统的几个基本概念,几次静不定？,相当系统,几次静不定？, 12.1 静不定系统的几个基本概念,混合静不定系统,相当系统, 12.1 静不定系统的几个基本概念,基本静定系统：选择合适的多
3、余约束，将其除去，使静不定结构变为静定结构，在解除约束处代之以约束力所得到的静定系统。,静不定系统：凡是根据平衡方程不能确定全部未知约束力或内力的结构或者结构系统。,第12章 简单的静不定系统, 12.2 简单静不定问题,求解静不定问题，需要以下三方面的联立。,平衡方程、变形协调方程、物理方程, 12.2 简单静不定问题,一、拉压静不定问题, 12.2 简单静不定问题, 12.2 简单静不定问题,变形协调方程：,物理关系,已知：E1A1=E2A2、l1l2 ； E3A3、l3, 12.2 简单静不定问题,将物理关系代入变形协调条件得到补充方程为：,平衡方程、补充方程联立，得,(拉力),(拉力)
4、, 12.2 简单静不定问题,装配应力：在静不定结构中，由于制造、装配不准确，在结构装配好后不受外力作用即已存在的应力。,加工构件时，尺寸上的微小误差难以避免。,对于静定结构，加工误差只会造成结构几何形状的轻微变化，不会引起内力。,对静不定结构，加工误差往往要引起内力。, 12.2 简单静不定问题,温度应力：在静不定结构中，由于温度变化引起的变形受到约束的限制，因此在杆内将产生内力和应力，称为温度应力和热应力。,温度变化将会引起物体的膨胀或收缩。,对于静定结构，温度均匀变化时，不会引起内力。,对静不定结构，温度变化时往往要引起内力。, 12.2 简单静不定问题,安装木地板为防止装配应力、温度应
5、力的处理办法,二、扭转静不定问题, 12.2 简单静不定问题,图中所示为两端固定的圆轴AB，全轴扭转刚度相同。在截面C处承受绕轴线的扭转力偶作用，力偶矩Me 为已知。试求：两固定端的约束力偶矩。,解：1平衡方程, 12.2 简单静不定问题,2变形协调方程,3物理方程,4解联立方程,解：1. 确定静不定次数，并选择基本静定梁。,多余约束的数目=1, 6.6 简单的静不定梁,(2)简支梁,(1)悬臂梁,选择合适的多余约束，将其除去，使静不定结构变为静定结构，在解除约束处代之以约束力。,化为静定结构的办法： 一般来说，悬臂梁最为简单，其次是简支梁，最后为外伸梁。, 例题7,三、简单的静不定梁,2.
6、列出变形协调方程（几何方程）。,根据基本静定梁的一切情况要与原超静定梁完全相同的要求，得到变形协调条件。, 6.6 简单的静不定梁, 例题7,(1)悬臂梁：,3. 根据物理方程（用积分法或叠加法求变形），列出补充方程，并求出多余未知力。,仅有作用，B点挠度为：,仅有 作用，B点挠度为：,因此,解得：, 6.6 简单的静不定梁, 例题7,4. 根据平衡方程在基本静定梁上求出其余的约束力。, 6.6 简单的静不定梁,(1)悬臂梁：, 例题7,因此,5. 在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。, 6.6 简单的静不定梁, 例题7,处理具体问题时的注意点,讨论：求解简单静不定梁的步骤,
7、确定静不定次数，并选择基本静定梁。, 列出变形协调方程。, 根据物理方程（用积分法或叠加法求变形），列出补充 方程，并求出多余未知力。, 根据平衡方程在基本静定梁上求出其余的约束反力。, 在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。,力法：以力作为未知量,将位移表示为力的形式，从而求解未知力，进而求解位移的方法。,第12章 简单的静不定系统, 12.3 对称性与反对称性在求解静 不定问题中应用,若结构的几何形状、尺寸、构件材料及约束条件都对称于某一轴，则这样的结构称为对称结构（symmetric structure）。,在不同的荷载作用下，对称结构可能产生对称变形、反对称变形或一般变形
8、。,正确而巧妙地应用对称性和反对称性，不仅可以推知某些未知量，而且可以使分析、计算过程大为简化。, 12.3 对称性与反对称性在求解静不定问题中应用,当对称结构承受对称荷载时，其约束力、内力分量以及位移都是对称的。,一、对称结构的对称变形, 12.3 对称性与反对称性在求解静不定问题中应用,对称结构的对称变形, 12.3 对称性与反对称性在求解静不定问题中应用,位移对称,对称结构的对称变形, 12.3 对称性与反对称性在求解静不定问题中应用,约束力对称,对称结构 的对称变形, 12.3 对称性与反对称性在求解静不定问题中应用,内力对称,当对称结构承受反对称荷载时，其上的约束力、内力分量以及位移
9、都具有反对称的特征。,二、对称结构的反对称变形, 12.3 对称性与反对称性在求解静不定问题中应用,对称结构的反对称变形, 12.3 对称性与反对称性在求解静不定问题中应用,位移反对称,对称结构的反对称变形, 12.3 对称性与反对称性在求解静不定问题中应用,约束力反对称,对称结构的反对称变形, 12.3 对称性与反对称性在求解静不定问题中应用,内力反对称,对称还是反对称？,对称还是反对称？,三、对称结构的一般变形及其简化, 12.3 对称性与反对称性在求解静不定问题中应用,对称结构的一般变形, 12.3 对称性与反对称性在求解静不定问题中应用,第12章 简单的静不定系统, 12.4 力法与正
10、则方程,力法：以力作为未知量，而将位移均表示为力的形式，从而解出未知力，进而亦可解得位移。, 12.4 力法与正则方程,位移法：如以位移作为未知量，而将未知力均表示为未知位移的形式，从而通过求解未知位移来求解未知力。, 12.4 力法与正则方程,正则方程：在力法中，反映多余约束处位移受到限制的变形条件可以写成规则的未知力的线性方程组。,对于一个n次静不定系统，则有n个多余约束力（包括外约束力与内约束力），这些未知力分别用X1， X2， ， Xn表示。, 12.3 力法与正则方程, 12.3 力法与正则方程, 12.3 力法与正则方程,第12章 简单的静不定系统, 12.5 能量法在求解静不定问
11、题中的应用, 图乘法的应用, 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用,例题1,平面刚架受力如图所示,各杆的弯曲刚度均为EI，不考虑剪力和轴力的影响。 试：画出弯矩图。, 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用,解：1、判断结构是静定的还是静不定的，确定静不定次数, 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用,2、建立基本静定系统, 例题1,3、根据变形协调条件，写出正则方程, 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用, 例题1,4、建立荷载系统与单位荷载系统，画出相应的弯矩图, 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用,5、应用图乘法计算正则方程中的位移, 12.6 能量法在求解静不定问题中
12、的应用,5、应用图乘法计算正则方程中的位移, 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用,（位移互等定理）,6、将位移代入正则方程并求解联立方程, 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用,7、画出弯矩图, 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用,应用“图乘法”求解静不定问题的步骤, 判断问题的性质与静不定次数, 建立基本静定系统, 建立正则方程（根据变形协调条件）。, 建立荷载系统与单位荷载系统，画出相应的弯矩图, 用图乘法计算各个荷载引起的位移, 求解全部多余约束力, 画出内力图,处理具体问题时的注意点, 卡氏定理的应用, 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用,将解除多余约束后所出现的
13、未知力均作为已知量，从而写出结构的应变能表达式，以只有弯矩和扭矩作用的情形为例：,根据多余约束处的约束条件，应用卡氏定理即可建立求解这些多余约束力的变形协调方程：, 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用,上述方程中i0是对刚性约束而言的；对于弹性约束， i也可能不为零，而等于某一常量。, 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用,应用“卡氏定理”求解静不定问题的步骤,1判断问题的性质与静不定次数,2确定合适的基本静定系统,3建立相当系统。,4建立变形协调条件。, 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用,5分段建立弯矩方程，并求出偏微分。,6用卡氏定理计算每一个荷载引起的位移。,7求解全部
14、多余约束力。,8画出内力图。,例题2,平面刚架受力如图所示,各杆的弯曲刚度均为EI，不考虑剪力和轴力的影响，试画出弯矩图。（用卡氏定理求解）, 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用,解：1、原系统为二次静不定，建立下图相当系统, 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用,2、比较相当系统与静不定系统，根据变形协调要求写出正则方程, 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用,3、建立荷载系统与单位荷载系统，画出相应的弯矩图, 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用,4、应用卡氏定理计算正则方程中的位移, 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用,5、画出弯矩图, 12.6 能量法在求解静不
15、定问题中的应用,半圆形平面曲杆，其圆弧半径为R，曲杆截面直径为d，材料的杨氏模量为，曲杆两端铰接于A、B二处，受力如图所示。,若FP、R、E、d等均为已知，并且忽略剪力和轴力的影响，求：A、B二处的水平约束力。,例题3, 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用,解：根据约束性质，A、B二处均有两个约束力；又根据对称性，两处的约束力对应相等。,根据平衡条件可以确定垂直约束力为FP2，水平约束力FHF H。无法由平衡条件求得，故为一次静不定问题。, 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用,应用卡氏定理，由A、B二处的水平位移等于零这一变形协调条件，可以确定水平约束力FH。,首先，采用角座标，写
16、出曲杆任意横截面上的弯矩方程，即将弯矩M表示成FP和FH的函数：,在曲杆中，规定：使曲杆的曲率增大的弯矩为正。, 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用,1、利用对称性， 整个曲杆的应变能等于左、右两部分应变能之和。于是，卡氏定理可以写成,利用A、B二处的约束条件，即A、B二点的相对位移等于零，上式可以写成, 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用,利用A、B二处的约束条件，即A、B二点的相对位移等于零，,2、应用卡氏定理确定水平约束力 将应变能V r表示成弯矩的函数，dx变换为Rd ，并将其对约束力FH求偏导数，且将弯矩方程代入后，并积分，得到, 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用
17、,由此解出A、B二处的水平约束力, 12.6 能量法在求解静不定问题中的应用,课外作业,P320323：124，1219,谢 谢 大 家,Nanjing University of Technology,附录： 第12章习题解答,作业中存在的问题,1、作业不规范，不认真。不按要求抄题、画图；力是矢量，不标注矢量箭头。,2、约束与约束力不能共存。,3、局部受力与整体受力相统一。,4、严格规定：必须使用二力杆。,5、销钉问题。, 124,12-4 图示支架中的三根杆件材料相同，杆1的横截面面积为100mm2, 杆2为150mm2，杆3为200mm2。若FP10kN，试求各杆轴力。,附录： 第12章习题解答,12-19 试作图示刚架的弯矩图。已知各杆EI均为常数。, 1219,附录： 第12章习题解答,解：1、确定静不定次数。,2、选择基本静定梁。,3、列出正则方程,图乘法求解图示简单静不定梁。,4、建立荷载系统与单位荷载系统，画出相应的弯矩图,5、应用图乘法计算正则方程中的位移,6、将位移代入正则方程并求解联立方程,7、画出弯矩图、剪力图（略）,附录： 第12章习题解答,