材料力学强度计算.ppt

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1、强度和变形计算,一、应力 二、轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律 三、金属材料的拉伸、压缩的力学性质 四、轴向拉压杆件的强度问题 五、剪切、挤压问题的实用计算 六、圆轴扭转强度计算 七、弯曲应力,一、应力,概念,杆件截面上某一点处的内力集度称为该点的应力,应力,图a所示杆m-m截面上K点处的应力，在K点周围取一微小面积A，设A面积上分布内力的合力为P，则p为A上的平均应力,一般来说，截面上的内力分布并不是均匀的，因而，我们将微面积A趋向于零时的极限值称为K点的内力集度，即K点的应力p,应力p是一个矢量。通常情况下，它既不与截面垂直，也不与截面相切。为了研究问题时方便，习惯上常将它分解为与截面垂

2、直的分量和与截面相切的分量。称为正应力，称为切应力。对于正应力规定：拉应力（箭头背离截面）为正，压应力（箭头指向截面）为负；对于切应力规定：顺时针（切应力对研究部分内任一点取矩时，力矩的转向为顺时针）为正，逆时针为负。,应力,二、轴向拉压杆件的变形 应变 胡克定律,轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律,轴向拉（压）杆横截面上的正应力,轴向拉（压）杆横截面上的内力是轴力，方向与横截面垂直。由内力与应力的关系，我们知道：在轴向拉（压）杆横截面上与轴力相应的应力只能是垂直于截面的正应力。而要确定正应力，必须了解内力在横截面上的分布规律，不能由主观推断。应力与变形有关，要研究应力，可以先从较直观的杆件变

3、形入手。,轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律,可以看到所有的纵向线都仍为直线，都伸长相等的长度；所有的横向线也仍为直线，保持与纵向线垂直，只是它们之间的相对距离增大了。由此，可以作出平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，但沿轴线发生了平移。由材料的均匀连续性假设可知，横截面上的内力是均匀分布的，即各点的应力相等,轴向拉（压）杆横截面上只有一种应力正应力，并且正应力在横截面上是均匀分布的，所以横截面上的平均应力就是任一点的应力。即拉（压）杆横截面上正应力的计算公式为,对于等截面直杆，最大正应力一定发生在轴力最大的截面上。,轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律,轴向拉（压）杆斜截面上的应力

4、,轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律,应力集中,杆件截面尺寸的突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。,应力集中对杆件是不利的，实验表明：截面尺寸改变的越急剧，应力集中的现象越明显。因此，在设计时应尽可能不使杆的截面尺寸发生突变，避免带尖角的孔和槽，在阶梯轴和凸肩处要用圆弧过渡，并且要尽量使圆弧半径大一些。另外，应力集中对杆件强度的影响还与材料有关。,轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律,轴向拉(压)杆的变形及其计算,杆件在受到轴向拉(压)力作用时，将主要产生沿轴线方向的伸长(缩短)变形，这种沿纵向的变形称为纵向变形。同时，与杆轴线相垂直的方向（横向）也随之产生缩小(增大)的变形，将

5、与杆轴线相垂直方向的变形称为横向变形。 设直杆原长为l，直径为d。在轴向拉力（或压力）P作用下，变形后的长度为l1，直径为d1，如图所示。,轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律,轴向拉伸（或压缩）时，杆件长度的伸长（或缩短）量，称为纵向变形，以l表示，即 l=l1-l 拉伸时，l0；压缩时，l0。 纵向变形与杆件的原始长度有关，不能反映杆件的变形程度。通常用单位长度上的变形称为相对变形或线应变，以表示，即,轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律,杆件在发生纵向变形的同时，也发生了横性变形，通常把横向尺寸的缩小（或增大）量，称为横向变形，以d表示，即 d=d1-d 拉伸时，d0；压缩时，d0。 对应的

6、单位横向尺寸上的变形称为横向线应变，以表示，即,线应变是无量纲的量，其正负号规定与杆的纵向变形相同。,轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律,实验表明：当轴向拉（压）杆的应力不超过材料的比例极限时，横向线应变与纵向线应变的比值的绝对值为一常数，通常将这一常数称为泊松比或横向变形系数。用表示。,=,泊松比,轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律,胡克定律,变形的计算建立在实验的基础上，实验表明：工程中使用的大部分材料都有一个弹性范围。在弹性范围内，杆的纵向变形量l与杆所受的轴力FN，杆的原长l成正比，而与杆的横截面积A成反比，即：,引进比例常数E（E称为材料的弹性模量，可由实验测出）后，得,轴向拉压杆件

7、的变形、应变、胡克定律,从上式可以推断出：对于长度相同，轴力相同的杆件，分母EA越大，杆的纵向变形l就越小，可见EA反映了杆件抵抗拉（压）变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。 若将式的两边同时除以杆件的原长l，并将代入，于是得,上式是胡克定律的另一表达形式。它表明：在弹性范围内，正应力与线应变成正比。比例系数即为材料的弹性模量E。,轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律,工程中常用材料的弹性模量E见表5-1,轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律,拉压杆的位移,等直杆在轴向外力作用下，发生变形，会 引起杆上某点处在空间位置的改变，即产 生了位移。,轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律,P 1=30kN

8、，P 2=10kN , AC段的横截面面积 A AC=500mm2, CD段的横截面面积 ACD=200mm2， 弹性模量E=200GPa。 试求：,（1）各段杆横截面上的内力和应力； （2）杆件内最大正应力； （3）杆件的总变形。,轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律,解：(1)、计算支反力,=20kN,(2)、计算各段杆件 横截面上的轴力,AB段： FNAB=FRA=20kN,BD段： FNBD=F2=10kN,轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律,(3)、画出轴力图，如图（c）所示。,(4)、计算各段应力,AB段：,BC段：,CD段：,(5)、计算杆件内最大应力,轴向拉压杆件的变形、应变、胡

9、克定律,（6）计算杆件的总变形,整个杆件伸长0.015mm。,=0.015mm,轴向拉压杆件的变形、应变、胡克定律,三、材料在拉伸 (压缩)时的力学性能,材料在拉伸与压缩时的力学性能,材料的力学性能： 是材料在受力过程中表现出的各种物理性质。,在常温、静载条件下，塑性材料和脆性材 料在拉伸和压缩时的力学性能。,标准试样,若k 为5.65的值不能符合这一最小标距要求 时，可以采取较高的值（优先采用11.3值）。,材料拉伸时的力学性能,试样原始标距与原始横截面面积 关系者,有为比例试样。 国际上使用的比例系数k的值为5.65。,试样按照GB/T2975的要求切取样坯和制备试样。,采用圆形试样，换算

10、后,材料在拉伸与压缩时的力学性能,低碳钢为典型的塑性材料。 在应力应变图中呈现如下四个阶段：,材料在拉伸与压缩时的力学性能,材料在拉伸与压缩时的力学性能,1、弹性阶段（oa 段）,oa段为直线段，点a对应的应力称为比例极限，用 表示,正应力和正应变成线性正比关系，即遵循胡克定律,弹性模量E 和 的关系：,曲线过b点，应力变化不大，应变急剧增大，曲线上出现水平锯齿形状，材料失去继续抵抗变形的能力，发生屈服现象,工程上常称下屈服强度为材料的屈服极限，用 表示,材料在拉伸与压缩时的力学性能,2、屈服阶段（bc 段）,材料屈服时，在光滑试样表面可以观察到与轴线成的纹线，称为45滑移线。,材料晶格重组后

11、，又增加了抵抗变形的能力，要使试件继续伸长就必须再增加拉，这阶段称为强化阶段。,冷作硬化现象，在强化阶段某一点f处，缓慢卸载，则试样的应力应变曲线会沿着fo1回到o1，冷作硬化使材料的弹性强度提高，而塑性降低。,材料在拉伸与压缩时的力学性能,3、强化阶段（ cd 段）,曲线最高点d处的应力，称为强度极限( ),试样变形集中到某一局部区域，由于该区域横截面的收缩，形成了图示的“颈缩”现象最后在“颈缩”处被拉断。,材料在拉伸与压缩时的力学性能,4、局部变形阶段（de段）,代表材料强度性能的主要指标：,可以测得表示材料塑性变形能力的两个指 标：伸长率和断面收缩率。,（1）伸长率,材料在拉伸与压缩时的

12、力学性能,（2）断面收缩率,屈服极限,强度极限,灰口铸铁是典型的脆性材料，其应力应变图是 一微弯的曲线，如图示,没有明显的直线。 无屈服现象，拉断 时变形很小，,对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常以产 生0.2%的塑性应变所对应的应力值作为屈服极限,材料在拉伸与压缩时的力学性能,其伸长率,强度指标只有强度极限,称为名义屈服极限，用 表示。,（2002年的标准称为规定残余延伸强度，用 Rf 表示， 例如，Rf0.2表示规定残余延伸率为0.2%时的应力。）,材料在拉伸与压缩时的力学性能,材料压缩时的力学性能,金属材料的压缩试样，一般制成短圆柱形，柱的高度约为直径的1.5 3倍，试样的上下平面有平

13、行度和光洁度的要求非金属材料，如混凝土、石料等通常制成正方形。,低碳钢是塑性材料，压缩时的应力应变图，如图示。,在屈服以前，压缩时的曲线和拉伸时的曲线基本重合，屈服以后随着压力的增大，试样被压成“鼓形”，最后被压成“薄饼”而不发生断裂，所以低碳钢压缩时无强度极限。,材料在拉伸与压缩时的力学性能,铸铁是脆性材料，压缩时的应力应变图，如图示，试样在较小变形时突然破坏，压缩时的强度极限远高于拉伸强度极限（约为3 6倍），破坏断面与横截面大致成45的倾角。 铸铁压缩破坏属于剪切破坏。,材料在拉伸与压缩时的力学性能,建筑专业用的混凝土，压缩时的应力应变 图，如图示。,混凝土的抗压强度要比抗拉强度大10倍

14、左右。,材料在拉伸与压缩时的力学性能,安全因数、许用应力、强度条件,安全因数与许用应力,塑性材料，当应力达到屈服极限时，构件已发生明显的塑性变形，影响其正常工作，称之为失效，因此把屈服极限作为塑性材料极限应力。,脆性材料，直到断裂也无明显的塑性变形，断裂是失效的唯一标志，因而把强度极限作为脆性材料的极限应力。,根据失效的准则，将屈服极限与强度极限通 称为极限应力( ),材料在拉伸与压缩时的力学性能,把极限应力除以一个大于1的因数，得到 的应力值称为许用应力( ),大于1的因数n 称为安全因数。,工程中安全因数n的取值范围，由国家标准 规定，一般不能任意改变。,材料在拉伸与压缩时的力学性能,四、

15、轴向拉压杆件 的强度问题,轴向拉压杆件的强度问题,为了保障构件安全工作，构件内最大工作 应力必须小于许用应力。,公式称为拉压杆的强度条件,利用强度条件，可以解决以下三类强度问题：,1、强度校核：在已知拉压杆的形状、尺寸和许用应力及受力情况下，检验构件能否满足上述强度条件，以判别构件能否安全工作。,3、计算许用载荷：已知拉压杆的截面尺寸及所用材料的许用应力，计算杆件所能承受的许可轴力，再根据此轴力计算许用载荷，表达式为：,2、设计截面：已知拉压杆所受的载荷及所用材料的许用应力，根据强度条件设计截面的形状和尺寸，表达式为：,在计算中，若工作应力不超过许用应力的5%， 在工程中仍然是允许的。,轴向拉

16、压杆件的强度问题,例题 已知：一个三角架，AB杆由两根0807等边角钢组成，横截面积为A1，长度为2 m，AC杆由两根10号槽刚组成，横截面积为A2，钢材为3号钢，容许应力 求：许可载荷？,轴向拉压杆件的强度问题,解：,（2）、计算许可轴力,查型钢表：,（1）、对A节点受力分析：,轴向拉压杆件的强度问题,由强度计算公式：,（3）、计算许可载荷：,轴向拉压杆件的强度问题,例题 起重吊钩的上端借螺母固定，若吊钩,螺栓内径,材料许用应力,试校核螺栓部分的强度。,计算螺栓内径处的面积,吊钩螺栓部分安全。,解：,轴向拉压杆件的强度问题,例题 图示一托架，AC是圆钢杆，许用拉应力,，BC是方木杆，,试选定

17、钢杆直径d？,解：（1）、轴力分析。,并假设钢杆的轴力,轴向拉压杆件的强度问题,轴向拉压杆件的强度问题,五、剪切、挤压问题的实用计算,连接件的强度计算,连接构件用的螺栓、销钉、焊接、榫接等,这些连接件，不仅受剪切作用，而且同时 还伴随着挤压作用。,剪切实用计算,在外力作用下，铆钉的 截面将发生 相对错动，称为剪切面。,极限应力 除以安全因数。,在剪切面上与截面相切的内力，如图所示。,称为剪力( ),在剪切面上，假设切应力均匀分布， 得到名义切应力，即：,剪切极限应力，可通过材料的 剪切破坏试验确定。,即得出材料的许用应力,A为受剪切的面积,剪切强度条件表示为：,剪切计算主要有以下三种： 1、剪

18、切强度校核； 2、截面设计； 3、计算许用荷载。,例题4.9 正方形截面的混凝土柱，其横截面边长为200mm，其基底为边长1m的正方形混凝土板，柱承受轴向压力,设地基对混凝土板的支反力为均匀分布，混凝土的许用切应力:,试设计混凝土板的最小厚度,为多少时，才不至于使柱穿过混凝土板？,解：（1）、混凝土板的 受剪面面积,（2）、剪力计算,（3）、混凝土板厚度设计,(4)、取混凝土板厚度,挤压实用计算,连接件与被连接件在互相传递力时，接触表面是相互压紧的，接触表面上总压紧力称为挤压力，,相应的应力称为挤压应力( )。,假定挤压应力在计算挤压面上均匀分布，表示为：,上式计算得到的名义挤压应力与接触中点

19、处的 最大理论挤压应力值相近。,挤压强度条件为：,对于塑性材料：,图所示一铆钉连接件，受轴向拉力F作用。 已知：F=100kN，钢板厚=8mm， 宽b=100mm， 铆钉直径d=16mm， 许用切应力=140MPa， 许用挤压应力 =340MPa， 钢板许用拉应力=170MPa。 试校核该连接件的强度。,解：连接件存在三种破坏的可能： （1）铆钉被剪断； （2）铆钉或钢板发生挤压破坏； （3）钢板由于钻孔，断面受到削弱， 在削弱截面处被拉断。要使连接件安 全可靠，必须同时满足以上三方面的 强度条件。,（1）铆钉的剪切强度条件 连接件有n个直径相同的铆钉时，且对称于 外力作用线布置，则可设各铆钉

20、所受的力相等,现取一个铆钉作为计算对象， 画出其受力图，每个铆钉所受的作用力,剪切面上的剪力,所以铆钉满足剪切强度条件,剪力,（2）挤压强度校核 每个铆钉所受的挤压力,剪应力的计算及强度校核,所以连接件满足挤压强度条件。,挤压应力的计算及强度校核,（3）板的抗拉强度校核 两块钢板的受力情况及开孔情况相同，只要校核其中一块即可。现取下面一块钢板为研究对象，画出其受力图和轴力图。,截面1-1和3-3的净面积相同，而截面3-3的轴力 较小，故截面3-3不是危险截面。截面2-2的轴力 虽比截面1-1小，但净面积也小，故需对截面1-1 和2-2进行强度校核。,截面1-1：,截面2-2：,所以钢板满足抗拉

21、强度条件。,经以上三方面的校核，该连接件满足强度要求。,六、圆轴扭转强度计算,等直圆轴扭转时横截面上的切应力,实心圆轴横截面上的应力, 变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面， 即平面假设； 横截面上的半径仍保持为直线； 各横截面的间距保持不变。,2、物理关系,3、静力学关系,称截面的极惯性矩,得到圆轴扭转横截面上 任意点切应力公式,当 时，表示圆截面边缘处的切应力最大,它是与截面形状和尺寸有关的量。,极惯性矩和抗扭截面系数,实心圆截面的极惯性矩：,抗扭截面系数为：,空心圆极惯性矩轴：,空心圆的抗扭截面系数,极惯性矩的量纲是长度的四次方， 常用的单位为mm4,抗扭截面系数的量纲是长度的三次方，

22、 常用单位为mm3,工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得 超过材料的许用切应力,，即,等直圆轴扭转时的强度计算,圆轴扭转强度条件,上式称为圆轴扭转强度条件。,塑性材料,脆性材料,试验表明，材料扭转许用切应力,例题5.2 汽车的主传动轴，由45号钢的无缝钢管 制成， 外径 ，壁厚 工作时的最大扭矩 ， 若材料的许用切应力 ， 试校核该轴的强度。,解：1、计算抗扭截面系数 主传动轴的内外径之比,抗扭截面系数为,2、计算轴的最大切应力,3、强度校核,主传动轴安全,例题5.3 如把上题中的汽车主传动轴改为实心 轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定 实心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。,解：1

23、、求实心轴的直径，要求强度相同， 即实心轴的最大切应力也为 ， 即,2、在两轴长度相等、材料相同的情况下，两轴 重量之比等于两轴横截面面积之比，即：,圆轴扭转时的变形,等直圆轴扭转时的变形及刚度条件,轴的扭转变形用两横截面的相对扭转角：,相距长度为l的两横截面相对扭转角为,当扭矩为常数，且 也为常量时，,式中 称为圆轴扭转刚度， 它表示轴抵抗扭转变形的能力。,相对扭转角的正负号由扭矩的正负号确定， 即正扭矩产生正扭转角，负扭矩产生负扭 转角。若两横截面之间T有变化，或极惯 性矩变化，亦或材料不同（切变模量G变 化），则应通过积分或分段计算出各段的 扭转角，然后代数相加，即：,对于受扭转圆轴的刚

24、度通常用相对扭转角沿杆 长度的变化率用表示，称为单位长度扭转角。 即：,圆轴扭转刚度条件,对于建筑工程、精密机械， 刚度的刚度条件：,在工程中 的单位习惯用（度/米）表示， 将上式中的弧度换算为度，得：,对于等截面圆轴，即为：,许用扭转角的数值，根据轴的使用精密度、 生产要求和工作条件等因素确定。,对于精密机器的轴，,对一般传动轴,解：两端面之间扭转为角：,回顾与比较,内力,应力,七、弯曲应力及强度条件,纯弯曲和横力弯曲,梁段CD上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲,梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲,平面假设：横截面变形后保持为平面，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。,凹入一侧纤维缩短,

25、突出一侧纤维伸长,中间一层纤维长度不变 中性层,中间层与横截面的交线 中性轴,物理关系,胡克定律,静力学条件,正应力公式,变形几何关系,物理关系,静力学关系,为梁弯曲变形后的曲率,为曲率半径,正应力分布,常见截面的 IZ 和 WZ,圆截面,矩形截面,空心圆截面,空心矩形截面,弯曲正应力强度条件,1.弯矩最大的截面上,2.离中性轴最远处,4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑,3.变截面梁要综合考虑 与,1.C 截面上K点正应力,2.C 截面上最大正应力,3.全梁上最大正应力,4.已知E=200GPa， C 截面的曲率半径,1. 求支反力,（压应力）,解：,2. C 截面最大正应力,C 截面弯矩,C 截面惯性矩,3. 全梁最大正应力,最大弯矩,截面惯性矩,4. C 截面曲率半径,C 截面弯矩,C 截面惯性矩,？,例题6-2,（3）B截面，C截面需校核,（4）强度校核,（5）结论,（1）计算简图,（2）绘弯矩图,解：,1. 降低 Mmax,合理安排支座,合理布置载荷,合理布置支座,合理布置支座,合理布置载荷,2. 增大 WZ,合理设计截面,合理放置截面,合理设计截面,合理设计截面,合理放置截面,3、等强度梁,