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1、第六章 梁的弯曲变形 变形分析和刚度设计,西南科技大学 土木工程与建筑学院 富 裕,Y.FU, Dept. of Civil Engineering and Architecture, Southwest University of Science and Technology,材料力学,第六章 梁的弯曲变形 变形分析和刚度设计,西南科技大学 土木工程与建筑学院 富 裕,Y.FU, Dept. of Civil Engineering and Architecture, Southwest University of Science and Technology,6-1 工程中的弯曲变形问题,
2、6-2 挠曲线的近似微分方程,6-3 用积分法求梁的变形,6-4 用叠加法求梁的变形,6-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,6-5 简单超静定梁,一、弯曲实例： 二、受力特征： 1、横向力作用。 2、力偶作用，力偶的矢量方向垂直于轴向方向。 三、变形特征: 梁轴由直线变成曲线。 梁：以弯曲变形为主要变形的杆件。, 6.1 工程中的弯曲变形问题,第六章 梁的弯曲变形 变形分析和刚度设计,西南科技大学 土木工程与建筑学院 富 裕,Y.FU, Dept. of Civil Engineering and Architecture, Southwest University of Science a
3、nd Technology,6-1 工程中的弯曲变形问题,6-2 挠曲线的近似微分方程,6-3 用积分法求梁的变形,6-4 用叠加法求梁的变形,6-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,6-5 简单超静定梁, 6.2 挠曲线近似微分方程,一、基本概念：,二、挠度与转角：,转角约等于挠曲线在该点处的切线的斜率,逆时针为正!,由于小变形，截面形心在 x 方向位移忽略不计!,三、挠曲线近似微分方程：,挠曲线近似微分方程,表示转角，在计算中单位为弧度，故 与 1 相比很小。, 6.2 挠曲线近似微分方程,第六章 梁的弯曲变形 变形分析和刚度设计,西南科技大学 土木工程与建筑学院 富 裕,Y.FU, De
4、pt. of Civil Engineering and Architecture, Southwest University of Science and Technology,6-1 工程中的弯曲变形问题,6-2 挠曲线的近似微分方程,6-3 用积分法求梁的变形,6-4 用叠加法求梁的变形,6-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,6-5 简单超静定梁, 6.3 用积分法求弯曲变形,一、两次积分法,二、刚度条件,镗刀在工件上镗孔，为保证镗孔精度，镗刀杆的弯曲变形不能过大。设径向切削力 F = 200 N，镗刀杆直径 d = 10 mm，外伸长度 l = 50 mm。材料 弹性模量 E = 2
5、10 GPa。求镗刀杆上安装镗刀头的截面 B 的转角和挠度。,例:,6-2, 6.3 用积分法求弯曲变形,镗刀杆简化为悬臂梁。如图建立坐标系，任意横截面上的弯矩为,解,挠曲线近似微分方程为,积分得, 6.3 用积分法求弯曲变形,例:,6-2,解,径向切削力 F = 200 N，镗刀杆直径 d = 10 mm，外伸长度 l = 50 mm。材料弹性模量 E = 210 GPa。求截面 B 的转角和挠度。,确定积分常数,积分得,则转角、挠度方程分别为,代入数据，,F = 200 N，l = 50 mm。E = 210 GPa，,d = 10 mm，,得,桥式起重机的大梁和建筑中的一些梁都可以简化为
6、简支梁，梁的自重就是均布载荷。讨论在均布载荷作用下，简支梁的弯曲变形。, 6.3 用积分法求弯曲变形,例:,6-3,解,弯矩方程,挠曲线近似微分方程,积分得,确定积分常数,用整体平衡条件求出梁的支座反力； 建立坐标系，用截面法求出梁的弯矩方程； 对挠曲线近似微分方程积分两次； 利用位移边界、连续光滑条件确定积分常数； 确定转角方程和挠度方程； 求出指定截面的挠度和转角。,关键,积分法解题步骤：,弯矩方程 位移边界、连续光滑条件,+, 6.3 用积分法求弯曲变形, 6.3 用积分法求弯曲变形,内燃机中的凸轮轴或某些齿轮轴，可以简化成在集中力 F 作用下的简支梁。讨论这一简支梁的弯曲变形。,例:,
7、6-4,解,弯矩方程,挠曲线近似微分方程,计算支反力,分段函数的计算,积分得, 6.3 用积分法求弯曲变形,内燃机中的凸轮轴或某些齿轮轴，可以简化成在集中力 F 作用下的简支梁。讨论这一简支梁的弯曲变形。,例:,6-4,解,确定积分常数,连续与光滑,例:,6-4,解,确定转角、挠度的最值,于是求得, 6.3 用积分法求弯曲变形,例:,6-4,解,确定转角、挠度的最值,当 F 接近右支座，即 b 很小时，有：,若 a = b = l / 2 ，,误 差 为,在简支梁中，只要挠曲线无拐点，,即可由中点挠度来代替最大挠度。,2.65 %, 6.3 用积分法求弯曲变形,小结, 尽可能选择支座处为坐标原
8、点，w 坐标的正方向选为向上，否则， 挠曲线方程要相差一个负号。, 积分法, 挠曲线不仅与弯矩 M 有关，还与材料弹性模量 E 、横截面惯性矩 I 有关，故 M、E、I 中有一个不连续时，挠曲线微分方程的积分就需分段 进行，每增加一段，就增加两个积分常数。, 利用结构和载荷的对称性，可只求解半段梁的挠曲线。, 对于简支梁，若挠曲线上无拐点，则, 当 x1，x2 坐标均有同一坐标原点和指向，并在积分时将 ( x - a ) 看作一个变量时，可得到积分常数 C1 = C2，D1 = D2 的结果。, 6.3 用积分法求弯曲变形,积分法求变形有何优缺点？,讨论：,优点,缺点,任意截面处的挠度、转角,
9、载荷复杂,挠度、转角方程,求特定截面处挠度、转角走弯路！,运算复杂, 6.3 用积分法求弯曲变形,第六章 梁的弯曲变形 变形分析和刚度设计,西南科技大学 土木工程与建筑学院 富 裕,Y.FU, Dept. of Civil Engineering and Architecture, Southwest University of Science and Technology,6-1 工程中的弯曲变形问题,6-2 挠曲线的近似微分方程,6-3 用积分法求梁的变形,6-4 用叠加法求梁的变形,6-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,6-5 简单超静定梁, 6.4 用叠加法求弯曲变形,梁在若干个载荷
10、共同作用时的 挠度或转角，等于在各个载荷单独 作用时的挠度或转角的代数和。,叠加原理,小变形、线弹性,成立条件：,一、基本公式：,最大变形, 6.4 用叠加法求弯曲变形,二、有限叠加法：, 6.4 用叠加法求弯曲变形,三、积分法无限叠加法：,?, 6.4 用叠加法求弯曲变形,求 B 和 wB,CB段刚化,例:,6-7, 6.4 用叠加法求弯曲变形,三、积分法无限叠加法：,思考题,、如何用无限叠加法计算 B截面的挠度与转角, 6.4 用叠加法求弯曲变形,三、积分法无限叠加法：,思考题,、如何用有限叠加法计算 B截面的挠度与转角, 6.4 用叠加法求弯曲变形,例:,6-9,车床主轴可简化为外伸梁，
11、P1 为切削力，P2 为齿轮传动力。,如果用叠加法（查表）,如果用积分法,求, 6.4 用叠加法求弯曲变形,例:,6-9,求 B ，wC,用截面 B 将梁分两半，AB 为简支梁，其上除力 P2 外，在截面 B 上还有剪力 FS 和弯矩 M ，剪力 FS 直接传递于支座 B ，不引起变形。,如何使用叠加法（查表）,计算,B, 6.4 用叠加法求弯曲变形,例:,6-9,求 B ，wC,先把 BC 作为悬臂梁，,其次，把外伸梁 BC 看作是整体转动了 一个 B 的悬臂梁，于是，C 点挠度为,计算,wC,在 P1 作用下，有, 6.4 用叠加法求弯曲变形,小结,根据题设情况作物理量的代换，不可照搬公式
12、； 当题给载荷与表中情况反向时，表中给出的转角、挠度应反号； 叠加法要注意符号的代换，且不要遗漏某些应考虑的变形。, 叠加法, 6.4 用叠加法求弯曲变形,叠加法求变形有什么优缺点？,讨论：,优点,缺点,简便快捷,应用范围局限, 6.4 用叠加法求弯曲变形,第六章 梁的弯曲变形 变形分析和刚度设计,西南科技大学 土木工程与建筑学院 富 裕,Y.FU, Dept. of Civil Engineering and Architecture, Southwest University of Science and Technology,6-1 工程中的弯曲变形问题,6-2 挠曲线的近似微分方程,6
13、-3 用积分法求梁的变形,6-4 用叠加法求梁的变形,6-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,6-5 简单超静定梁,1. 基本概念,超静定梁：,多余约束：,超静定次数：,2. 求解方法,相当系统：,支反力数目大于独立平衡方程数目的梁。,从维持平衡角度而言，多余的约束。,多余约束或多余支反力的数目。,用多余约束力代替多余约束的静定系统。,进而求解其它问题（反力、应力、 变形等）, 6.5 简单超静定梁,解除多余约束，建立相当系统；比较变形，列变形协调条件；由物理关系建立补充方程；利用静力平衡条件求其他约束反力。,求梁的支反力， 梁的抗弯刚度为 EI 。,1）判定超静定次数。,2）解除多余约束，
14、建立相当系统。,3）进行变形比较， 列变形协调条件。,例:,6-11,解, 6.5 简单超静定梁,4）由物理关系，列补充方程。,故,5）由整体平衡条件求其他约束反力。,求梁的支反力， 梁的抗弯刚度为 EI 。,例:,6-11,解, 6.5 简单超静定梁,结构如图， 求杆 BC 受到的拉力。,例:,6-12,1）判定超静定次数。,2）解除多余约束，建立相当系统。,3）进行变形比较，列变形协调条件。,解, 6.5 简单超静定梁,4）由物理关系，列补充方程。,求杆 BC 受到的拉力。,例:,6-12,所以, 6.5 简单超静定梁,第六章 梁的弯曲变形 变形分析和刚度设计,西南科技大学 土木工程与建筑
15、学院 富 裕,Y.FU, Dept. of Civil Engineering and Architecture, Southwest University of Science and Technology,6-1 工程中的弯曲变形问题,6-2 挠曲线的近似微分方程,6-3 用积分法求梁的变形,6-4 用叠加法求梁的变形,6-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,6-5 简单超静定梁, 6.6 提高弯曲刚度的措施,一、梁刚度的合理设计,提高弯曲刚度的措施，就是减小结构的最大变形，根据上面所述的变形公式，可得相应的措施。,改善结构形式，减小弯矩,选择合理截面，增大弯曲刚度,措,施,措施,、合理布
16、置载荷,、改善结构形式，减小弯矩, 尽量使集中力靠近支座，尽可能地将集中载荷用分布载荷来代替。或者增加辅助梁。,、选择合理截面，增大弯曲刚度,在面积一定的情况下，增大截面惯性矩 I 。,、合理布置支承, 对于集中力偶、集中力和均布载荷，梁的最大挠度分别与跨度的 二 次方、 三 次方和 四 次方成正比。,、缩小跨度或增加约束，采用超静定结构, 采用卸荷装置。或移动支承使弯矩降低。, 6.6 提高弯曲刚度的措施,二、本章小结, 6.6 提高弯曲刚度的措施,研究方法,研究内容,基本方程,如何应用于工程,Thanks！, 作业,复习、预习！,1. 习题：6.1；6.3(b)、(d)；6.4(b)、(d) ； 6.8(b) ；6.10(d) ；6.15；6.23；6.34。,教材：材料力学 刘鸿文 编著,2.,求梁自由端的挠度和 转角，EI = 常数。,1、弯矩方程,2、近似微分方程,3、求积分常数,习题:,6.3 (a),6.3 用积分法求弯曲变形,解,求梁自由端的挠度和转角。,习题:,6.8 (a),公式,公式,6.4 用叠加法求弯曲变形,