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1、空间中两直线的位置关系,判断下列命题对错： 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上的所有点都在这个平面内。（ ） 2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平面只有一个公共点。 （ ） 3、四个点中如果有三个点在同一条直线上，那么这四个点必在同一个平面内。 （ ） 4、一条直线和一个点可以确定一个平面。（ ） 5、如果一条直线和另两条直线都相交，那么这三条直线可以确定一个平面。 （ ）,平面有关知识（复习 ）,m,P,m,图1,图2,l,l,一、空间中两直线的位置关系,从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平行。空间中直线之间的这种关系称为异面直线。,不同在任何一个
2、平面内的两条直线叫做异面直线。（既不相交也不平行的两条直线）,不同在任何一个平面内,1、异面直线,判断：,直线m和l是异面直线吗?,(2) ,则 与 是异面直线,(3)a,b不同在平面 内,则a与b异面,异面直线的画法:,通常用一个或两个平面来衬托,异面直线 不同在任何一个平面的特点,1、相交,2、平行,只有一个公共点,没有公共点,在同一平面,2、空间中两直线的三种位置关系,3、异面直线,没有公共点,不同在任一平面,不同在任何一个平面内，没有公共点,在同一平面内，有且 只有一个公共点；,在同一平面内，没有 公共点；,空间中的直线与直线之间的位置关系：,AB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线
3、是异面直线的有几对?相交直线有几对?平行直线有几对?,二、空间直线的平行关系,若ab，bc,1、平行关系的传递性,公理4 平行于同一直线的两直线互相平行,则ac,问题：,若直线a、b异面，直线b、c异面，则直线a、c异面吗？,若直线a、b异面，直线b、c异面，则直线a、c相交或平行或异面,异面直线不具有传递性,例1：在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线 AB与C1D1 ，AD1与 BC1 是什么位置关系？为什么？,练习：在上例中，AA1与CC1，AC与A1C1的位置是什么关系？,例2 ： 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
4、连结EF，FG，GH，HE，求证EFGH是一个平行四边形。,解题思想：, EH是ABD的中位线,EH BD且EH = BD,同理，FG BD且FG = BD,EH FG且EH =FG,EFGH是一个平行四边形,证明：,连结BD,把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题,解立体几何时最主要、最常用的一种方法。,例3：求证：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线,已知：A，a ，B ，A a 求证：直线AB与a异面,反思：当一命题无法直接证明时，常考虑改变策略从反设入手，这是典型的逆向思维方式.,例4： 已知平面 与平面 相交于a,b在 内，且b与a交于A，c在内，且
5、c/a，求证：b,c是异面直线.,a,A,b,c,小结： 1、证明两条直线是异面直线的方法 反证法 2、反证法的使用 3 、“有且只有一个”的理解：存在性与唯一性,2 、已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、 CD上的点，且 ，求证：四 边形EFGH是梯形,1、求证:空间四边形的两条对角线是异面直线.,作业:,四边形EFGH是梯形,例5.在一块长方体形状木块的面AC上有一点P，过 点P画一条直线和棱C 1D1平行，说明应该怎么画.,解：,如图（1）在平面ABCD上过点P作直线,MNCD，分别交AD，BC于M、N，,则由公理4得，MNC 1D1.,图（1）,
6、D,C,A,B,A,1,B,1,D,1,C,1,P,例7、如图,已知E 、 F是正方体的棱AD、A1D1的中点，求证:BEC=B1FC1,2、等角定理,空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。,两直线的夹角：,两直线相交所成的4个角中,其中不大 于 的角叫做两直线的夹角,异面直线所成角的定义,设a、b为两异面直线，在空间任选一点O,过O点分别作直线 ，我们把 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.,a,b,若两条异面直线所成角为90，则称它们互相垂直。,异面直线a与b垂直也记作ab,异面直线所成角的取值范围：,例 8 在正方体ABCDA1B1C1D1中,
7、指出下列各对线段所成的角：,练习：1、求直线AD1与B1C所成的夹角； 2、与直线BB1垂直的棱有多少条？,1）AB与CC1；,2）A1 B1与AC；,3）A1B与D1B1。,1）AB与CC1所成的角,= 9 0,2）A1 B1与AC所成的角,= 4 5,3）A1B与D1B1所成的角,= 6 0,2）与棱BB1垂直的棱有：,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,相交：,异面：,垂直,相交垂直,异面垂直,1）直线AD1与B1C所成的夹角,9 0,异面直线所成的角的求法:,一作(找)二证三求,(1)通过直线平移，作出异面直线所成的角，把空间 问题转化为平面问题。(取点,平移,作角) (2)利用平
8、面几何知识，求出异面直线所成角的大小。 (构建与所作角有关的三角形,求角的大小) (3)作结论.(异面直线所成的角不大于90),例9: 如图，在四面体ABCD中，E，F分 别是棱AD，BC上的点,且 已知AB=CD=3， ,求异面直线AB和CD所成的角.,60,思考题： 1、a与b是异面直线，且ca，则c与b一定（ ）。 （A）异面 （B）相交 （C）平行 （D）不平行 2、正方体一条对角线与正方体的棱可组成的异面直线的对数是（ ）对。 （A）6 （B）3 （C）8 （D）12 3、一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定（ ）平面。 （A）一个 （B）两个 （C）三个 （D）四个,D,A,B,4空间两直线平行是指它们（ ） A无交点 B共面且无交点 C和同一条直线垂直 D以上都不对,5在空间，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角（ ） A相等 B互补 C相等或互补 D既不相等也不互补,B,C,请完成课本P48 的练习,作业: 1.P51 A组 3.4(1)(2)(3) B组 1 (做在书上) 2.P51 A组 6(做在作业本上),作业: 如图：等腰直角三角形ABC中，A=90o,BC= ,DAAC,DA AB,若DA1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成的角的余弦值,F,