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1、2.3数学归纳法,从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天 先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第 三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划 了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结 论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推， 从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去上学， 他自豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己的名字， “万百千”写名字结果可想而知。”,“万百千“的笑话,问题情境一,小明的爸爸有四个小孩,我是一毛,我是二毛,我是三毛,我是谁？,我不是四毛！我是小明！,问题情境二,18世纪，伟大的瑞士科学家欧拉(Euler)却证明了,问题情境三 费
2、马猜想,考察部分对象，得到一般结论的方法， 叫做不完全归纳法。不完全归纳法得 到的结论不一定正确！,结论：,思考？,如何解决不完全归纳法存在的问题呢？,问题情境四,多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示,其中道理可用于数学证明数学归纳法.,一般地，证明一个与自然数有关的命题，可按下列步骤进行：,( 2 ) 假设n = k ( k n0 ，k N* ) 时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立。,只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有自然数 都成立。上述证明方法叫做数学归纳法,（1） 证明当n取第一个值 n0 时命题成立。,（归纳基础）,( 归纳推理 ),提炼原理,得出概念,（1）第
3、一块骨牌倒下。,（1）当n= n0时猜想成立。,（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。,根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌都能全部倒下。,根据（1）和（2），可知对所有的自然数n，猜想都成立。,利用相似性,规范二步骤,例题分析,例1 用数学归纳法证明,证明： （1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立,（2）假设当 时，等式成立，就是,那么,这就是说，当n=k+1时，等式也成立,由（1）和（2），可知的等式对任何 都成立,要证明的 目标是： 135 （2k-1）2(k+1)1=(k+1)2,例2、用数学归纳法证明：如果an是一个等差数列， 则an=a1+(n-1)d对于一
4、切nN*都成立。,用数学归纳法证明命题的步骤： (1)证明：当n取第一个值n0结论正确； (2)假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确， 证明当n=k+1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n 都正确。,评析：,分析下列各题用数学归纳法证明过程中的错误：,练习,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.,没有用上“假设”，故此法不是数学归纳法,请修改为数学归纳法,证明 当n=1时,左边= ,假设n=k(kN*)时原等式成立 ，即,此时，原等式成立。,那么n=k+1时,由 知,对一切正整数n,原等式均正确.,证明 当n=1时,左边= ,这才是数学归纳法,假设n=k
5、(kN*)时原等式成立 ，即,右边=,此时，原等式成立。,那么n=k+1时,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.,由 知,对一切正整数n,原等式均正确.,练习2：,B,(n2,nN )过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，不等式左边的变化是（ ）：,(1)用数学归纳法证:,D,练习3：,练习4：,求证：,证明：,一、数学归纳法适用范围:某些与正整数有关的数学命题.,五、小结,二、用数学归纳法证明命题的步骤： (1)证明：当n取第一个值n0结论正确； (2)假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。,数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。,递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明 莫忘掉,数学归纳法是一种完全归纳法 ，它是在可靠的基础上， 利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决 “无限”的问题。它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点， 又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情 由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷。,数学归纳法的核心思想,谢谢！,