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1、九年级数学(上)第三章 证明(三),2.特殊的平行四边形(2) 菱形,正方形的性质及判定,驶向胜利的彼岸,学好几何标志是会“证明”,证明命题的一般步骤:,(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);,(2)根据题意,画出图形;,(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;,(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.);,(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;,(6)检查表达过程是否正确,完善.,平行四边形的性质,定理:平行四边形的对边相等.,驶向胜利的彼岸,证明后的结论,以后可以直接运用.,四边形ABCD是平行四边形. AB=CD
2、,BC=DA.,定理:平行四边形的对角相等.,四边形ABCD是平行四边形. A=C, B=D.,定理:平行四边形的对角线互相平分.,四边形ABCD是平行四边形. CO=AO,BO=DO.,定理:夹在两条平等线间的平等线段相等.,MNPQ,ABCD, AB=CD.,平行四边形的判定,驶向胜利的彼岸,定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.,定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.,定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.,定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的.,AB=CD,AD=BC, 四边形ABCD是平行四边形.,ABCD,AB=CD, 四边形ABCD是平行四边形.,AO=
3、CO,BO=DO, 四边形ABCD是平行四边形.,A=C,B=D. 四边形ABCD是平行四边形.,等腰梯形的性质,定理:等腰梯形同一底上的两个角相等.,定理:等腰梯形的两条对角线相等.,在梯形ABCD中,ADBC, AB=DC, AC=DB,在梯形ABCD中,ADBC, AB=DC, A=D, B=C.,证明后的结论,以后可以直接运用.,等腰梯形的判定,定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.,在梯形ABCD中,ADBC, A=D或B=C, AB=DC.,定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.,在梯形ABCD中,ADBC, AC=DB. AB=DC.,证明后的结论,以后可以直接运用.,三角
4、形中位线的性质,驶向胜利的彼岸,定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.,这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分关系的根据.,模型:连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形.,要重视这个模型的证明过程反映出来的规律:对角线的关系是关键.改变四边形的形状后,对角线具有的关系(对角线相等,对角线垂直,对角线相等且垂直)决定了各中点所成四边形的形状.,DE是ABC的中位,DEBC,驶向胜利的彼岸,四边形之间的关系,四边形之间有何关系？,特殊的平行四边形之间呢？,还记得它们与平行四边形的关系吗?,能用一张图来表示它们之间的关系吗?,矩形的性质,推论,驶向胜利的彼岸,定理:矩形的四
5、个角都是直角.,定理:矩形的两条对角线相等.,推论(直角三角形性质):直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.,四边形ABCD是矩形,A=B=C=D=900.,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.,AC=BD.,在ABC中,ACB=900, AD=BD,矩形的判定,直角三角形的判定,驶向胜利的彼岸,定理:有三个角是直角的四边形是矩形.,定理:对角线相等的平行四边形是矩形.,定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.,A=B=C=900,四边形ABCD是矩形.,AC,BD是ABCD的两条对角线,且AC=DB.,四边形ABCD是矩形., ACB=900.,在ABC
6、中, AD=BD=CD,菱形的性质,定理:菱形的四条边都相等.,驶向胜利的彼岸,已知:如图,四边形ABCD是菱形.,分析:由菱形的定义,利用平行四边形性质可使问题得证.,证明:, 四边形ABCD是菱形,AB=AD,四边形ABCD是平行四边形.,AB=CD,AD=BC.,求证:AB=BC=CD=DA., AB=BC=CD=AD.,菱形的性质,驶向胜利的彼岸,定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.,已知:如图,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O.,求证: (1).ACBD; (2).AC平分BAD和BCD, BD平分ADC和ABC.,证明:(1), 四
7、边形ABCD是菱形,AD=CD,AO=CO.,分析:根据平行四边形对角线互相平分和等腰三角形“三线合一”来证明.,DO=DO,AODCOD(SSS).,AOD=COD=900.,ACBD.,(2)AD=AB,DA=DC,ACBD;,AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.,菱形性质的应用,驶向胜利的彼岸,已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.,求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形ABCD的面积.,解:(1),四边形ABCD是菱形,=2ABD的面积,AED=900,(2)菱形ABCD的面积=ABD的面积+CBD的面积,AC=2AE=212=2
8、4(cm).,菱形的判定,定理:四条边都相等的四边形是菱形.,驶向胜利的彼岸,已知:如图,在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA,分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可使问题得证.,证明:,AB=BC=CD=DA,AB=CD,BC=DA.,四边形ABCD是平行四边形,求证:四边形ABCD是菱形.,AB=AD,四边形ABCD是菱形.,菱形的判定,定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.,驶向胜利的彼岸,已知:如图,在ABCD中,对角线ACBD.,求证:四边形ABCD是菱形.,分析:要证明ABCD是菱形,就要证明有一组邻边相等即可.,证明:,AO=CO.,ACBD, D
9、A=DC.,四边形ABCD是平行四边形.,四边形ABCD是菱形.,正方形的性质,驶向胜利的彼岸,定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.,求证:(1)A=B=C=D=900. (2)AB=BC=CD=DA.,分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.,证明:,四边形ABCD是矩形,也是菱形.,A=B=C=D=900,AB=BC=CD=DA.,四边形ABCD是正方形,已知:四边形ABCD是正方形.,正方形的性质,驶向胜利的彼岸,定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.,求证:(1).AC=BD,ACBD,AO=CO,BO=DO; (2).AC平分
10、BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.,分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.,证明:,四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形.,AO=CO,BO=DO;,AC=BD;,四边形ABCD是正方形,ACBD;,AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.,已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线.,正方形的判定,驶向胜利的彼岸,定理:有一个角是直角的菱形是正方形.,求证:四边形ABCD是正方形.,分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形即可.,证明:,AB=BC,C=A=900,B=1800-A=900.,A=B=C=90
11、0.,四边形ABCD是矩形.,四边形ABCD是菱形,A=900,AB=BC,四边形ABCD是正方形.,已知:四边形ABCD是菱形,A=900.,正方形的判定,驶向胜利的彼岸,定理:对角线相等的菱形是正方形.,求证:四边形ABCD是正方形.,分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形(或有一个角是直角的菱形)即可.,证明:,AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.,AC=BD,四边形ABCD是矩形.,AB=BC,四边形ABCD是菱形,四边形ABCD是正方形.,已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD.,正方形的判定,驶向胜利的彼岸,定理:对角线互相垂直的矩形是正方
12、形.,求证:四边形ABCD是正方形.,分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形,或对角线相等的菱形)即可.,证明:,ABC=900,四边形ABCD是平行四边形.,ACBD,四边形ABCD是菱形.,ABC=900.,四边形ABCD是矩形,四边形ABCD是正方形.,已知:四边形ABCD是矩形,且ACBD.,菱形的性质,驶向胜利的彼岸,定理:菱形的四条边都相等.,定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.,四边形ABCD是菱形,AB=BC=CD=AD.,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线.,ACBD,AC平分BAD和BCD,BD平
13、分ADC和ABC.,菱形的判定,驶向胜利的彼岸,定理:四条边都相等的四边形是菱形.,定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.,在四边形ABCD中, AB=BC=CD=AD,四边形ABCD是菱形.,AC,BD是ABCD的两条对角线,ACBD.,四边形ABCD是菱形.,正方形的性质,驶向胜利的彼岸,定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.,定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.,四边形ABCD是正方形,A=B=C=D=900,AB=BC=CD=DA.,四边形ABCD是正方形,AC=BD;ACBD;AO=CO,BO=DO;AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和
14、ABC.,正方形的判定,驶向胜利的彼岸,定理:有一个角是直角的菱形是正方形.,定理:对角线相等的菱形是正方形.,定理:对角线互相垂直的矩形是正方形.,四边形ABCD是菱形,A=900,四边形ABCD是正方形.,四边形ABCD是菱形,AC=DB.,四边形ABCD是正方形.,四边形ABCD是正方形.,四边形ABCD是矩形,ACBD,知识的升华,P99习题3.5 1,2,3题. 祝你成功！,P99习题3.5 2题.,2.菱形的面积等于其对角线乘积的一半.,P90习题3.5 3题.,已知:如图,A,B,C,D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上.仓库P和Q分别位于AD和DC上,且PD=QC. 证明:两条直路BP=AQ,且BPAQ.,结束寄语,严格性之于数学家,犹如道德之于人. 条理清晰，因果相应,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则.,