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1、,高二数学,2.1.1曲线与方程,丰利中学于霞,在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线.,创 设 情 境,下面看一个具体的例子.,【1】求第一、三象限里两轴间夹角平分线的坐标满足的关系.,点的横坐标与纵坐标相等.,x - y=0,第一、三象限角平分线 l,得出关系：,(1) l上点的坐标都是方程x - y=0的解;,(2)以方程 x-y=0的解为坐标的点都在 l上.,曲线,条件,方程,分析特例归纳定义,满足关系：,(1)如果M(x0, y0 )是圆上的点,
2、那么M(x0, y0 )一定是这个方程的解;,【2】方程,表示如图的圆, 图象上,的点M与此方程 有什么关系？,那么以它为坐标的点一定在圆上.,(2)如果M(x0, y0 )是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解，,分析特例归纳定义,(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线.,定义:一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x , y)=0 的实数解建立了如下的关系:,（纯粹性）,（完备性）,说明1.曲线的方程:反映的是图形所满足
3、的数量关系2.方程的曲线:反映的是数量关系所表示的图形,3.如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0.,【3】用下列方程表示如图所示的曲线 C，对吗？为什么？,x,y,o,x-y=0,(1)解:曲线C上的点不全是方程 的解.,例如点A(2,2)不符合“曲线上点的坐标都是方程的解”这一结论.,不符合关系(1),(2)解:以方程x2-y2=0的解为坐标的点不全在曲线上.,例如 B(2, -2).,不符合关系(2),【3】用下列方程表示如图所示的曲线 C，对吗？为什么？,x,y,o,x-y=0,(3)解:曲线C上的点不全是方程 |x| -y
4、=0 的解.,例如点C(2,2)不符合“曲线上点的坐标都是方程的解”这一结论.,不符合关系(1),以方程|x|-y=0的解为坐标的点不全在曲线上，,不符合关系(2),例如 D(-3,3)不在曲线上.,解:(1)不正确，不具备(2)完备性，应为x=3, (2)不正确,不具备(1)纯粹性，应为y=1. (3)正确. (4)不正确,不具备(2)完备性,应为x=0(-3y0).,(1)过点A(3，0)且垂直于x轴的直线的方程为|x|=3. (2)到x轴距离等于2的点组成的直线方程为y=2. (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为 |xy|=1. (4) ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0
5、)，C(-1,0)，D为BC 中点，则中线AD的方程 x=0.,例1 .判断下列命题是否正确.,变式训练：写出下列半圆的方程,y,-5,5,5,5,5,5,-5,-5,-5,o,x,y,x,o,y,x,o,-5,y,x,o,5,5,例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xy=k.,第一步，设 M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0, y0)是f(x, y)=0的解；,归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤,第二步，设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明点 M (x0,y0)在曲线C上.,练习1.下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？, |x|-|y
6、|=0, x- |y|=0,1,1,O,x,y,1,1,1,1,-1,-1,1,1,-1,A,B,C,D,O,x,y,O,x,y,O,x,y,表示C,表示D,表示B,练习2.若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( ),D,(学案P.127 A2),A. 方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B. 坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C. 方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲线C D. 曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是 全部,练习3.已知方程 mx2+ny2=4的曲线经过点 则 m =_, n =_.,依据关系(
7、2),例2.条件甲:“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”,条件乙:“曲线C是方程f(x,y)=0 的图形”,则甲是乙的 ( ) (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)非充分也非必要条件,分析:由方程的曲线定义知 乙甲,B,1.设曲线C：在第一象限内到两坐标轴距离相等的点的轨迹,方程logxy-1=0,则下列命题正确个数为 (1)(1,1)是曲线C上的点,但(1,1)不是方程的解 (2)曲线C上的点的坐标不都是方程的解 (3)以方程的解为坐标的点都是曲线C上的点 (4)曲线C是方程的曲线 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个,C,知 识 回 顾
8、,2.方程 的曲线是图中的,B,4.若点M到x轴的距离和它到直线y=8的距离 相等, 则点M的轨迹方程是 (A) x=4 (B) x=4 (C) y=4 (D) y=4,6.如果点(a,b)在曲线y=x2+3x+1上,那么点 (a+1,b+2)所在的曲线方程是 (A)y=x2+5x+3 (B)y=x2+x-3 (C)y=x2+x+1 (D)y=x2-x+1,D,C,D,5.方程4x2y2+4x+2y=0表示的曲线是 一个点 (B) 两条互相平行的直线 (C) 两条互相垂直的直线 (D) 两条相交但不垂直的直线,例3.设A, B两点的坐标分别是(-1, -1), (3,7),求线段AB的垂直平分
9、线的方程.,A,B,l,M(x, y),o,y,x,1.设曲线C：在第一象限内到两坐标轴距离相等的点的轨迹,方程logxy-1=0,则下列命题正确个数为 (1)(1,1)是曲线C上的点,但(1,1)不是方程的解 (2)曲线C上的点的坐标不都是方程的解 (3)以方程的解为坐标的点都是曲线C上的点 (4)曲线C是方程的曲线 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个,C,知 识 回 顾,2.方程 的曲线是图中的,B,3.以下各题中,方程为曲线的方程的是 (1)方程：|x| =3,曲线：经过点A(3,0)且垂直于x轴的直线 (2)方程： 曲线：与第一、三象限角平分线距离为1的点的轨迹,(3)方程
10、：|y| -x=0，曲线：到x轴的正半轴与到y轴的距离相等的点的集合 (4)方程：x2y2=4,曲线：与以原点为圆心,半径分别为1、3的两圆相切的圆的圆心的轨迹,4.若点M到x轴的距离和它到直线y=8的距离 相等, 则点M的轨迹方程是 (A) x=4 (B) x=4 (C) y=4 (D) y=4,6.如果点(a,b)在曲线y=x2+3x+1上,那么点 (a+1,b+2)所在的曲线方程是 (A)y=x2+5x+3 (B)y=x2+x-3 (C)y=x2+x+1 (D)y=x2-x+1,D,C,D,5.方程4x2y2+4x+2y=0表示的曲线是 一个点 (B) 两条互相平行的直线 (C) 两条互
11、相垂直的直线 (D) 两条相交但不垂直的直线,小结,在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程,当说某方程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时就意味着具备上述两个条件,只有具备上述两个方面的要求,才能将曲线的研究化为方程的研究几何问题化为代数问题,以数助形正是解析几何的思想,本节课正是这一思想的基础.,(1)解析几何研究研究问题的方法是什么？,(2)如何求曲线的方程？,(3)请对求解曲线方程的五个步骤进行评价.各步骤的作用,哪步重要,哪步应注意什么？,1.直接法: 动点运动的规律简单、明确，易于表达，可将条件直接写成关于“x, y”的关系式.,例2. 两个定点 A(-3, 0), B(3, 0),
12、 点M到这两个定点的距离的平方和为26, 求点M的轨迹方程.,【变式训练2】已知点M到F(0,1)和直线l: y=-1的距离相等,求点M的轨迹方程.,所以点M的轨迹方程是,(课本P.37 A3),1.直接法: 动点运动的规律简单、明确，易于表达，可将条件直接写成关于“x, y”的关系式.,【变式训练2】已知点M到F(0,1)和直线l: y=-1的距离相等,求点M的轨迹方程.,求曲线方程的一般步骤：,例3若曲线 上有一动点P，O点为坐标原点，M为线段OP的中点，求点M的轨迹方程.,(学案P.130 A8),解: 设点M的坐标是(x , y),点P的坐标是(x0 , y0),由于点M是线段OP 的
13、中点,于是有,x0=2x, y0=2y. ,把代入, 得,动点P在曲线 上运动,所以有 ,整理, 得,所以点M的轨迹方程是,【变式训练3】过原点的直线与圆C: x2+y2-6x+5=0 相交于A, B两点, 求弦AB的中点M的轨迹方程.,C,解:设已知圆的圆心为C, M(x, y),则C( 3 , 0),因为,化简得,当 x=3 时,y =0,点(3,0)符合题意;,当 x=0 时,y =0,点(0,0)不符合题意;,解方程组,所以点M的轨迹方程是,2.代入法:利用动点P0 (x0, y0)是定曲线f(x,y)=0上的动点,另一动点P(x, y)依赖于P0 (x0, y0),那么可寻求关系式x
14、0= f(x,y), y0=g(x, y)后代入方程f(x0, y0)=0 中, 得到动点P的轨迹方程.,l,解:设M (x, y),所求轨迹方程为,在已知圆,内部一段弧对应的方程.,曲线可以看作是由点组成的集合，记作C. 一个二元方程 f(x,y)=0 的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作F.,已知ABC，A(-2，0)，B(0，-2)，第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动，求ABC的重心的轨迹方程.,同类变式,限时训练,【2】已知直线y=kx+1与圆x2+y2=4相交于A, B两点, 以OA,OB为邻边作平行四边形OAPB,则点P的轨迹方程是_.,(3分钟),M
15、,P,B,A,【2】已知直线y=kx+1与圆x2+y2=4相交于A, B两点, 以OA,OB为邻边作平行四边形OAPB,则点P的轨迹方程是_.,例3.已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3) , 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.,解:设点M的坐标是(x , y),点A的坐标是(x0 , y0),由于点B的坐标是(4,3), 且M是线段的中点,于是有,x0=2x-4, y0=2y-3. ,把代入,得,(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理, 得,所以点M的轨迹是以 圆心,半径长是1的圆.,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,所以有 (x0+1)2+
16、y02=4. ,M,x,o,y,E,C,D,练一练,想一想,例题讲解,关键:找到几何关系,解：设点M（x，y）为圆上任意一点,圆的方程即M的轨迹方程,几何关系法,P.124 A5,关键:找到几何关系,依题意有,几何关系法,x,y,B,P(x,y),O,A,AB中点轨迹为以原点为圆心，a为半径的圆,解：设点AB中点为P（x，y）,P.124 B2,例3若曲线 上有一动点P，O点为坐标原点，M为线段OP的中点，求点M的轨迹方程.,(学案P.130 A8),B,A,M,x,y,O,N,F,M,x,y,O,M,P,x,y,O,M,x,y,O,A,B,N,F,M,x,y,O,四、定义强化理解阶段多种表征
17、、深化内涵,曲线可以看作是由点组成的集合，记作C. 一个二元方程 f(x,y)=0 的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作F.,【思考】如何用集合C和F间的关系来表述“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系，进而重新表述“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义.,关系指点集C是点集F的子集；,关系指点集F是点集C的子集.,【3】说明过A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|=2的关系,直线上的点的坐标都满足方程|x|=2.,满足方程|x|=2的点不一定在直线上.,分析特例归纳定义,结论:过A(2,0)平行于y轴的直线不是 |x|=2.,2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” ,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.,（纯粹性）.,3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.,（完备性）.,由曲线的方程的定义可知:,如果曲线C的方程是 f(x,y)=0，那么点P0(x0 ,y0)在曲线C 上的 充要条件 是,f(x0, y0)=0,1.曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形.,限时训练(2分钟),圆的标准方程,