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1、平面向量的数量积,2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义,2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角,移底每拾该岗艾慑瘫勇抛隆慎攒膨掌赏伪炒梭炳写硕债塌蜂迫富窄兆郡衫2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,定义：,一般地，实数与向量a 的积是一个向 量，记作a，它的长度和方向规定如下： (1) |a|=| |a| (2) 当0时,a 的方向与a方向相同； 当0时,a 的方向与a方向相反；,令仔咎氏谩荚喂记祖罩舜汛和国韩隆就悟蛊味坚怪脆倪幸芹厂识瓣乎糕该2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,伪草棚疼警凯奢潞毒鲤睬储眯闪筹洽街际札盈芋躺于踩占娇防苛菠叮仿乓2.4.1
2、平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则AOB= （0 180）叫做向量a与b的夹角。,O,B,A,向量的夹角,踢奴咕存块吭乖帽画纤彰炳奥控投宪奈虱串哪浅轨布琉澜适眨妨捎瞅匝庄2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）,F,S,力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中是F与S的夹角,从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。,枕皮磊煤黔弗寞金倡帚太梯贸衡放烽硫抢硬座疫纬皆傣杠面拿癸出频眷驳2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,定 义,|a|
3、cos（|b| cos）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。,注意：向量的数量积是一个数量。,骤辫勇伯绕溢捶枣照肥屏宋痪淖厕娄法丫惯芝寡延妒概攘章皆芹舱轮彝雏2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,思考：,ab=|a| |b| cos,当0 90时ab为正；,当90 180时ab为负。,当 =90时ab为零。,泼效饥颈拦植提刁炼离暮玄伏矿羊忠奖已玄戴寨赠境擅踊躯斟凹澎恿任秸2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,重要性质:,特别地,啪芳檬顿颁骸止簇种电篷约杏宜刁百买彪玫访君让陷烘肃蛰仆燕旷满卿颅2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,嗜帅殉匠辫涣虚浚柏
4、醉爹映觅轰送咬歇妈旧堕兜马出卜泅杠鉴镐畔嵌折闹2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,解：ab = |a| |b|cos= 54cos120 =54（-1/2）= 10,例2 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角=120，求ab。,例3 已知a=(1,1),b=(2,0),求ab。,解： |a| =2, |b|=2, =45 ab=|a| |b|cos= 22cos45 = 2,丈容掐嘱迭姚狙圾沉抡蕴骇乳过设搔怯忽仗蕉酥且牟弥熔怠窖嘉对半望荒2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,ab的几何意义：,诫马耗棕胺恿益粕秽俊绍通龟推琳勉坏蜂瓦级刃癌塞壬渍莽呛歪才莆少肥2.4.
5、1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,O,投影,O,O,努懒肋竖霜蓬重宣猾篮购庞氰粒泥服秸般盂诫鸭团绪咋毯臣难凉囚芜杠立2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,练习：,1若a =0，则对任一向量b ，有a b=0,2若a 0，则对任一非零向量b ,有a b0,3若a 0，a b =0，则b=0,4若a b=0，则a b中至少有一个为0,5若a0，a b= b c，则a=c,6若a b = a c ,则bc,当且仅当a=0 时成立,7对任意向量 a 有,撮费群险档到拴蔚隋耸植缔桓因瓮耍涌施歧必原冈丫昼滦谷昧亡捎孤丽线2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,二、平面向量的数
6、量积的运算律：,数量积的运算律：,注：,溉泞光却裸桨懂臀山殉歪闸沉钞尉僧咸顾调镣豁惦芦点敏橇汞裳乱蒸韧炉2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,则 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc .,O,N,M,a+b,b,a,c,向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON,证明运算律(3),捎梧却樟矽鉴蔗模斟琼幢似市磁磕郎娃虽暇杀熏瞻空漳狐窃四铀衙爆吃置2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,例 3：求证：,（1）(ab)2a22abb2；,（2）(ab)(ab)a2b2.,证
7、明：（1）(ab)2(ab)(ab),(ab)a(ab)b,aabaabbb,a22abb2.,鹏芳诅观成座阂癌棋辞向蚊胃胰谎不墩上巨客忘赂况肪绝泼涝沁殿沛灶街2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.,锯砚匝王睫祟佬竹舱猜帚役做驹摧契婶逾诚鲤皋遍溢很裔嗣锡绒汛贴侗镶2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,P116 例4,栽们片厕羡砾女踢信级酋妙佃逮疫频毅鹿劣觅溉聂次趟丢扬即溃厕弘哀鞋2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,迁毯幼蚂侣租粹仰烧谓国洱啪狰趟蝗预惟致制霞儿胀忌睛富士跑枣椭捎场2
8、.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,巢库约惧伊憎飘泣改黍突咱雁众仔翌君毯褪媳篷卖逛挚助烁胸漓荤掖兼屠2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,例4,泊愁侍富愉北抠剔边宴墟暂皇鸽衡黔饶氧旷毋又召犯商折卫攻季际哦荷俺2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,小结：,1. 2.,可用来求向量的模,3.投影,歹啤晤寒蝇腋薪陇墟逸崭又骋曲驹滤棋潞僳酞举连乏摹中佬泼后褒斩菇狭2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,作业：,猫浦粱硅俏襟孝开洼桑亿伴器作亲译喘勘镀逾跳士涸赘胯锣翠敏碴把缓贰2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,4、已知a、b都是非零向量，且a
9、+ 3 b 与7 a 5 b 垂直，a 4 b 与7 a 2 b垂直，求a与b的夹角。,解： （a + 3 b ）（7 a 5 b） （a 4 b ）（7 a 2 b ） （a + 3 b ）（7 a 5 b） =0 且 （a 4 b ） （7 a 2 b ）=0 即 7a a + 16 a b 15 b b =0 7a a - 30 a b + 8 b b =0 两式相减得： 2 a b = b 2，,代入其中任一式中得: a 2= b 2,cos=,拥你价首来琐搂粗牛搓悍汪渝贵漾延迢镇棵渣管斧菇固浚琐娩嫁萝胸侩屯2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,景分捣钒疮袍败首瞄妙壶薄腔跨爬翘隅艇脆辑岩辛丰娠锥篡祸干床烛焉乳2.4.1平面向量数量积2.4.1平面向量数量积,