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1、第 1212 讲反比例函数 【知识梳理】 1.反比例函数的概念 k y x 如果 (k 是常数，k0)，那么 y 叫做 x 的反比例函数 2.反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线 3.反比例函数的性质 当 k0 时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y 随 x 的增大而 减小 当 k0 时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y 随 x 的增大而 增大 反比例函数图象关于直线 yx 或 y=x 对称，关于原点中心对称 4.k 的两种求法 k y x 若点(x0，y0)在双曲线 上，则 kx0y0 k 的几何意义： k 1 1 若双曲线 上任一点 A(x，
2、y)，ABx 轴于 B，则 SAOB y OB AB | x | y | x 2 2 1 2 | k |. 5.正比例函数和反比例函数的交点问题 k 若正比例函数 yk1x(k10)，反比例函数 x (k 0)，则 y 2 2 当 k1k20 时，两函数图象无交点； k k 当 k1k20 时，两函数图象有两个交点，坐标分别为 ( 2 , k k ),( k , k k ).由此 2 k 1 2 1 2 1 1 可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称 6.对于双曲线上的点 A、B，有两种三角形的面积(SAOB)要会求(会表示)，如图所示 1 【考点解析】 题型一 反比例函数的
3、概念及解析式的确定 例 1.1. 下列图象中是反比例函数 y=图象的是（ ） 考点：反比例函数的图象 分析：利用反比例函数图象是双曲线进而判断得出即可 解答：解：反比例函数 y=图象的是 C 故选：C 点评：此题主要考查了反比例函数的图象，正确掌握反比例函数图象的形状是解题关键 题型二 反比例函数的图象与性质 例 2 2（5 分） （2017温州）如图，矩形 OABC 的边 OA，OC分别在 x 轴、y 轴上，点 B 在第一象限， 点 D 在边 BC 上，且AOD=30，四边形 OABD 与四边形 OABD关于直线 OD 对称（点 A和 A，B和 B 分别对应）若 AB=1，反比例函数 y=
4、（k0）的图象恰好经过点 A，B，则 k 的 值为 2 【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；LB：矩形的性质 【分析】设 B（m，1），得到 OA=BC=m，根据轴对称的性质得到 OA=OA=m，AOD= AOD=30，求得AOA=60，过 A作 AEOA 于 E，解直角三角形得到 A（ m， m）， 列方程即可得到结论 【解答】解：四边形 ABCO是矩形，AB=1， 设 B（m，1）， OA=BC=m， 四边形 OABD 与四边形 OABD关于直线 OD 对称， OA=OA=m，AOD=AOD=30， AOA=60， 过 A作 AEOA于 E， OE= m，AE= m， A（ m，
5、m）， 反比例函数 y= （k0）的图象恰好经过点 A，B， m m=m， m= ， k= 3 故答案为： 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，轴对称的性质，解直角三 角形，正确的作出辅助线是解题的关键 题型三 反比例函数的比例系数k k的几何意义 例 3 3（20172017湖南株洲） 如图所示，RtPAB 的直角顶点 P（3，4）在函数 y= （x0）的图象上，顶点 A、B 在函数 y= （x0，0tk）的图象上，PAx 轴，连接 OP，OA，记OPA 的面积为 SOPA，PAB的 面积为 SPAB，设 w=SOPASPAB 求 k 的值以及 w 关于 t 的表达式
6、； 若用 wmax 和 wmin 分别表示函数 w 的最大值和最小值，令 T=wmax+a2a，其中 a 为实数，求 Tmin 【考点】G5：反比例函数系数 k 的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】（1）由点 P 的坐标表示出点 A、点 B 的坐标，从而得 SPAB= PAPB= （4 ）（3 ），再根据反比例系数 k 的几何意义知 SOPA=SOPCSOAC=6 t，由 w=SOPASPAB可得答 案； 4 （2）将（1）中所得解析式配方求得 wmax= ，代入 T=wmax+a2a 配方即可得出答案 【解答】解：（1）点 P（3，4）， 在 y= 中，当 x=3 时，y
7、= ，即点 A（3， ）， 当 y=4时，x= ，即点 B（ ，4）， 则 SPAB= PAPB= （4 ）（3 ）， 如图，延长 PA交 x 轴于点 C， 则 PCx 轴， 又 SOPA=SOPCSOAC= 34 t=6 t， w=6 t （4 ）（3 ）= t2+ t； （2）w= t2+ t= （t6）2+ ， wmax= ， 则 T=wmax+a2a=a2a+ =（a ）2+ ， 当 a= 时，Tmin= 题型四 一次函数和反比例函数的综合 例 4 4 如图，一次函数 y=kx+b的图象与坐标轴分别交于 A、B 两点，与反比例函数 y= 的图象在 第一象限的交点为 C，CDx 轴，垂足
8、为 D，若 OB=3，OD=6，AOB 的面积为 3 （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出当 x0 时，kx+b 0 的解集 5 【分析】（1）根据三角形面积求出 OA，得出 A、B 的坐标，代入一次函数的解析式即可求出解 析式，把 x=6代入求出 D 的坐标，把 D 的坐标代入反比例函数的解析式求出即可； （2）根据图象即可得出答案 【解答】解：（1）SAOB=3，OB=3， OA=2， B（3，0），A（0，2）， 代入 y=kx+b得： ， 解得：k= ，b=2， 一次函数 y= x2， OD=6， D（6，0），CDx 轴， 当 x=6时，y= 62=2 C（6，2）
9、， n=62=12， 反比例函数的解析式是 y= ； （2）当 x0 时，kx+b 0 的解集是 0x6 【点评】本题考查了用待定系数法求出函数的解析式，一次函数和和反比例函数的交点问题， 函数的图象的应用，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力 题型五 反比例函数的其他综合应用问题 例 6 6 如图，菱形 OABC 的一边 OA在 x 轴的负半轴上，O 是坐标原点，tanAOC= ，反比例函数 y= 的图象经过点 C，与 AB交于点 D，若COD的面积为 20，则 k 的值等于 24 6 【考点】G5：反比例函数系数 k 的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；L8：菱形 的性质；T
10、7：解直角三角形 【分析】易证 S菱形 ABCO=2SCDO，再根据 tanAOC 的值即可求得菱形的边长，即可求得点 C 的 坐标，代入反比例函数即可解题 【解答】解：作 DEAO，CFAO，设 CF=4x， 四边形 OABC为菱形， ABCO，AOBC， DEAO， SADO=SDEO， 同理 SBCD=SCDE， S菱形 ABCO=SADO+SDEO+SBCD+SCDE， S菱形 ABCO=2（SDEO+SCDE）=2SCDO=40， tanAOC= ， OF=3x， OC= =5x， OA=OC=5x， S菱形 ABCO=AOCF=20x2，解得：x= ， OF= ，CF= ， 点 C
11、 坐标为（ ， ）， 反比例函数 y= 的图象经过点 C， 代入点 C 得：k=24， 7 故答案为24 【中考热点】 （20172017 湖南株洲） 如图所示是一块含 30，60，90的直角三角板，直角顶点 O 位于坐标原点，斜边 AB垂直 于 x 轴，顶点 A 在函数 y1= （x0）的图象上，顶点 B 在函数 y2= （x0）的图象上， ABO=30，则 = 【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】设 AC=a，则 OA=2a，OC= a，根据直角三角形 30角的性质和勾股定理分别计算点 A 和 B 的坐标，写出 A 和 B 两点的坐标，代入解析式求出 k1和 k2的值，相比
12、即可 【解答】解：如图，RtAOB 中，B=30，AOB=90， OAC=60， ABOC， ACO=90， AOC=30， 设 AC=a，则 OA=2a，OC= a， A（ a，a）， A 在函数 y1= （x0）的图象上， k1= aa= ， RtBOC 中，OB=2OC=2 a， BC= =3a， B（ a，3a）， 8 B 在函数 y2= （x0）的图象上， k2=3a a=3 ， = ； 故答案为： 【达标检测】 一选择题： 1. （2017黑龙江）如图，是反比例函数 y1= 和一次函数 y2=mx+n 的图象，若 y1y2，则相应 的 x 的取值范围是（ ） A1x6 Bx1 Cx
13、6 Dx1 【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】观察图象得到：当 1x6 时，一次函数 y2的图象都在反比例函数 y1的图象的上方， 即满足 y1y2 【解答】解：由图形可知：若 y1y2，则相应的 x 的取值范围是：1x6； 故选 A 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想解决此类问 题 9 2. （2017湖北江汉）如图，P（m，m）是反比例函数 y= 在第一象限内的图象上一点，以 P 为 顶点作等边PAB，使 AB 落在 x 轴上，则POB 的面积为（ ） A B3 C D 【考点】G5：反比例函数系数 k 的几何意义；G6：反比例函数图象
14、上点的坐标特征；KK：等边 三角形的性质 【分析】易求得点 P 的坐标，即可求得点 B 坐标，即可解题 【解答】解：作 PDOB， P（m，m）是反比例函数 y= 在第一象限内的图象上一点， m= ，解得：m=3， PD=3， ABP 是等边三角形， BD= PD= ， SPOB= OBPD= （OD+BD） PD= ， 故选 D 3. （2017乌鲁木齐）如图，点 A（a，3），B（b，1）都在双曲线 y= 上，点 C，D，分别是 x 轴，y 轴上的动点，则四边形 ABCD 周长的最小值为（ ） 10 A B C D 【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；PA：轴对称最短路线问题 【分
15、析】先把 A 点和 B 点的坐标代入反比例函数解析式中，求出 a 与 b 的值，确定出 A 与 B 坐 标，再作 A 点关于 y 轴的对称点 P，B 点关于 x 轴的对称点 Q，根据对称的性质得到 P 点坐标为 （1，3），Q 点坐标为（3，1），PQ分别交 x 轴、y 轴于 C 点、D 点，根据两点之间线段最 短得此时四边形 PABQ的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得 【解答】解：分别把点 A（a，3）、B（b，1）代入双曲线 y= 得：a=1，b=3， 则点 A 的坐标为（1，3）、B 点坐标为（3，1）， 作 A 点关于 y 轴的对称点 P，B 点关于 x 轴的对称点 Q， 所
16、以点 P 坐标为（1，3），Q 点坐标为（3，1）， 连结 PQ分别交 x 轴、y 轴于 C 点、D 点，此时四边形 ABCD 的周长最小， 四边形 ABCD周长=DA+DC+CB+AB =DP+DC+CQ+AB =PQ+AB = + =4 +2 =6 ， 故选：B 4. （2017山东滨州）在平面直角坐标系内，直线 AB 垂直于 x 轴于点 C（点 C 在原点的右侧）， 并分别与直线 y=x和双曲线 y= 相交于点 A、B，且 AC+BC=4，则OAB 的面积为（ ） A2 +3或 2 3 B +1 或 1 C2 3 D 1 11 【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】根据题
17、意表示出 AB，BC的长，进而得出等式求出 m 的值，进而得出答案 【解答】解：如图所示：设点 C 的坐标为（m，0）， 则 A（m，m），B（m， ）， 所以 AB=m，BC= AC+BC=4， 可列方程 m+ =4， 解 得：m=2 所以 A（2+ ，2+ ），B（2+ ，2 ）或 A（2 ，2 ），B（2 ，2+ ）， AB=2 OAB 的面积= 2 （2 ）=2 3 故选：A 二填空题： 5. 如图，过 C（2，1）作 ACx 轴，BCy 轴，点 A，B 都在直线 y=x+6 上，若双曲线 y= （x0）与ABC 总有公共点，则 k 的取值范围是 2 k 9 【考点】G8：反比例函数与
18、一次函数的交点问题 【分析】把 C 的坐标代入求出 k2，解两函数组成的方程组，根据根的判别式求出 k9，即 可得出答案 12 【解答】解：当反比例函数的图象过 C 点时，把 C 的坐标代入得：k=21=2； 把 y=x+6 代入 y= 得：x+6= ， x26x+k=0， =（6）24k=364k， 反比例函数 y= 的图象与ABC 有公共点， 364k0， k9， 即 k 的范围是 2k9， 故答案为：2k9 3 k 6. 如图，直线 y x 3 与 x, y 轴分别交于 A, B ，与反比例函数 y 的图象在第二 3 x 象限交于点C .过点 A 作 x 轴的垂线交该反比例函数图象于点
19、D .若 AD AC ，则点 D 的坐 标为 . 【答案】（3，4 3 2） 【解析】 试题分析：过 C 作 CEx 轴于 E，求得 A（3，0），B（0， 3 ），解直角三角形得到 k k k OAB=30，求得CAE=30，设 D（3， ），得到 AD= ，AC= ，于是得到 C（ + 3 3 3 3 3k 6 k k 3k ， ），列方程即可得（ 3 + ） （ ）=k，解得 k=612 3 ，因此可求 D 6 6 6 （3，4 3 2）， 故答案为：（3，4 3 2） 13 考点：反比例函数与一次函数的交点问题 7. （2017宁德）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC的边 OA
20、在 x 轴上，AC 与 OB交于点 D （8，4），反比例函数 y= 的图象经过点 D若将菱形 OABC向左平移 n 个单位，使点 C 落在该 反比例函数图象上，则 n 的值为 2 【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；L8：菱形的性质；Q3：坐标与图形变化平 移 【分析】根据菱形的性质得出 CD=AD，BCOA，根据 D （8，4）和反比例函数 y= 的图象经过 点 D 求出 k=32，C 点的纵坐标是 24=8，求出 C 的坐标，即可得出答案 【解答】解：四边形 ABCO是菱形， CD=AD，BCOA， D （8，4），反比例函数 y= 的图象经过点 D， k=32，C 点的纵坐标是
21、 24=8， y= ， 把 y=8代入得：x=4， n=42=2， 向左平移 2 个单位长度，反比例函数能过 C 点， 故答案为：2 【点评】本题考查了菱形的性质，平移的性质，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点， 14 能求出 C 的坐标是解此题的关键 8. （20152015，福建南平，1616，4 4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，OAB的顶点 A 在 x 轴正 半轴上，OC是OAB的中线，点 B，C 在反比例函数 y=（x0）的图象上，则OAB 的面积等 于 考点：反比例函数系数 k 的几何意义 分析：作 BDx 轴于 D，CEx 轴于 E，则 BDCE，得出 = = =
22、，设 CE=x，则 BD=2x，根 据反比例函数的解析式表示出 OD= ，OE=，OA= ，然后根据三角形面积求得即可 解答： 解：作 BDx 轴于 D，CEx 轴于 E， BDCE， = = ， OC是OAB的中线， = = =， 设 CE=x，则 BD=2x， C 的横坐标为，B 的横坐标为 ， OD= ，OE=， DE= = ， AE=DE= ， OA=+ = ， SOAB=OABD= 2x= 故答案为 15 点评： 本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，平行线分线段成比例定理，求得 BD，OA 长是解题关键 三解答题： 9. 如图，一次函数 y=2x4 的图象与反比例函数 y= 的
23、图象交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标 为 3 （1）求反比例函数的解析式； （2）求点 B 的坐标 【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】（1）把 x=3 代入一次函数解析式求得 A 的坐标，利用待定系数法求得反比例函数解析 式； （2）解一次函数与反比例函数解析式组成的方程组求得 B 的坐标 【解答】解：（1）把 x=3 代入 y=2x4 得 y=64=2， 则 A 的坐标是（3，2） 把（3，2）代入 y= 得 k=6， 则反比例函数的解析式是 y= ； （2）根据题意得 2x4= ， 解得 x=3或1， 16 把 x=1 代入 y=2x4 得 y=6，则 B 的坐标
24、是（1，6） 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴，y 轴上，函数 y=的图象 过点 P（4，3）和矩形的顶点 B（m，n）（0m4） （1）求 k 的值； （2）连接 PA，PB，若ABP 的面积为 6，求直线 BP 的解析式 考点：反比例函数与一次函数的交点问题. 分析： （1）把 P（4，3）代入 y=，即可求出 k 的值； （2）由函数 y= 的图象过点 B（m，n），得出 mn=12根据ABP 的面积为 6 列出方程 n （4m）=6，将 mn=12代入，化简得 4n12=12，解方程求出 n=6，再求出 m=2，那么点 B（2， 6）设直
25、线 BP的解析式为 y=ax+b，将 B（2，6），P（4，3）代入，利用待定系数法即可求出 直线 BP的解析式 解答： 解：（1）函数 y=的图象过点 P（4，3）， k=43=12； （2）函数 y= 的图象过点 B（m，n）， mn=12 ABP 的面积为 6，P（4，3），0m4， n（4m）=6，4n12=12，解得 n=6，m=2，点 B（2，6） 设直线 BP的解析式为 y=ax+b， B（2，6），P（4，3）， ，解得 ， 直线 BP的解析式为 y=x+9 点评： 17 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法 求一次函数与反比例函数的解析式，三角形的面积，正确求出 B 点坐标是解题的关键 18