2018中考数学专题突破导学练第20讲锐角三角函数试题20170731236.wps

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1、第 2020 讲 锐角三角函数 【知识梳理】 1.锐角三角函数概念： RtABC 中 (1)A 的对边与斜边的比值是A 的正弦，记作 sinA A 的 对 边 斜 边 (2)A 的邻边与斜边的比值是A 的余弦，记作 cosA A 的 邻 边 斜 边 (3)A 的对边与邻边的比值是A 的正切，记作 tanA A 的 对 边 A 的 邻 边 2.特殊角的三角函数值： a sina cosa tana 30 1 2 3 2 3 3 45 2 2 2 2 1 60 3 2 1 2 3 【考点解析】 考点一：锐角三角函数 【例 1 1】（2017山东滨州）如图，在ABC中，ACBC，ABC=30，点 D

2、 是 CB 延长线上的一 点，且 BD=BA，则 tanDAC 的值为（ ） A2+ B2 C3+ D3 【考点】T7：解直角三角形 【分析】通过解直角ABC 得到 AC 与 BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求 tan DAC 的值 1 【解答】解：如图，在ABC 中，ACBC，ABC=30， AB=2AC，BC= = AC BD=BA， DC=BD+BC=（2+ ）AC， tanDAC= = =2+ 故选：A 考点二、特殊角的三角函数值 【例 2 2】（2017玉林）计算：（2017）0+ 2tan45 【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值.

3、【专题】11 ：计算题 【分析】首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可 【解答】解：（2017）0+ 2tan45 =1+221 =1 【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运 算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有 括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律在实 数范围内仍然适用 考点三、解直角三角形及其应用 【例 3 3】（2017玉林）如图，一艘轮船在 A 处测得灯塔 P 位于其北偏东 60方向上，轮船沿正 东方向航行 30海里到达 B

4、处后，此时测得灯塔 P 位于其北偏东 30方向上，此时轮船与灯塔 P 的距离是（ ） A15 海里 B30海里 C45海里 D30 海里 【考点】TB：解直角三角形的应用方向角问题；KU：勾股定理的应用. 【分析】作 CDAB，垂足为 D构建直角三角形后，根据 30的角对的直角边是斜边的一半， 求出 BP 【解答】解：作 BDAP，垂足为 D 2 根据题意，得BAD=30，BD=15 海里， PBD=60， 则DPB=30，BP=152=30（海里）， 故选：B 【点评】本题考查了解直角三角形，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为 解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线 【中考

5、热点】 （2017 张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像铜像由像体 AD 和底座 CD两部分组成如图，在 RtABC 中，ABC=70.5，在 RtDBC 中，DBC=45， 且 CD=2.3 米，求像体 AD 的高度（最后结果精确到 0.1 米，参考数据：sin70.50.943， cos70.50.334，tan70.52.824） 【考点】T8：解直角三角形的应用 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出 BC的长，再利用 tan70.5= 求出答案 【解答】解：在 RtDBC中，DBC=45，且 CD=2.3米， BC=2.3m， 在 RtABC中，ABC=70.

6、5， tan70.5= = 2.824， 解得：AD4.2， 3 答：像体 AD 的高度约为 4.2m 【达标检测】 1. （2017温州）如图，一辆小车沿倾斜角为 的斜坡向上行驶 13 米，已知 cos= ，则小 车上升的高度是（ ） A5 米 B6 米 C6.5 米 D12 米 【考点】T9：解直角三角形的应用坡度坡角问题 【分析】在 RtABC 中，先求出 AB，再利用勾股定理求出 BC即可 【解答】解：如图 AC=13，作 CBAB， cos= = ， AB=12， BC= =132122=5， 小车上升的高度是 5m 故选 A 【点评】此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理

7、等知识，解题的关键是学会构 造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 2. （20152015，广西玉林，2 2，3 3 分）计算：cos245+sin245=（ ） A B 1 C D 考点：特殊角的三角函数值 分析：首先根据 cos45=sin45= ，分别求出 cos245、sin245的值是多少；然后把它 们求和，求出 cos245+sin245的值是多少即可 解答： 解：cos45=sin45= ， cos245+sin245 = 4 = =1 故选：B 点评： 此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确： （1）30、45、60角的各种三角函数值；（2）

8、一个角正弦的平方加余弦的平方等于 1 3.如图，在 RtABC 中，C=90，AB=13，AC=7，则 sinB= 考点：锐角三角函数的定义；勾股定理 分析：根据锐角三角函数定义直接进行解答 解答： 解：在 RtABC中，C=90，AB=13，AC=7， sinB= = 故答案是： 点评： 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边， 余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 4. 计算：| 1|+20120（）13tan30 考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 专题： 计算题 分析： 根据绝对值的概念、零指数幂、负整数指数幂的法则，以及特殊

9、三角函数值计算即 可 解答： 解：原式= 1+1（3）3 = +3 =3 点评： 本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握有关运算的法则 5. （2017黑龙江）ABC 中，AB=12，AC= ，B=30，则ABC 的面积是 21 或 15 【考点】T7：解直角三角形 【专题】32 ：分类讨论 【分析】过 A 作 ADBC于 D（或延长线于 D），根据含 30 度角的直角三角形的性质得到 AD 的 长，再根据勾股定理得到 BD，CD 的长，再分两种情况：如图 1，当 AD在ABC内部时、如图 5 2，当 AD 在ABC 外部时，进行讨论即可求解 【解答】解：如图 1，作 ADBC，垂足为点 D，

10、 在 RtABD中，AB=12、B=30， AD= AB=6，BD=ABcosB=12 =6 ， 在 RtACD中，CD= = = ， BC=BD+CD=6 + =7 ， 则 SABC= BCAD= 7 6=21 ； 如图 2，作 ADBC，交 BC 延长线于点 D， 由知，AD=6、BD=6 、CD= ， 则 BC=BDCD=5 ， SABC= BCAD= 5 6=15 ， 故答案为：21 或 15 【点评】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，本题关键是得到 BC和 AD 的长，同时注意 分类思想的运用 6 6. 小华为了测量楼房 AB的高度，他从楼底的 B 处沿着斜坡向上行走 20m，到

11、达坡顶 D 处已 知斜坡的坡角为 15（以下计算结果精确到 0.1m） （1）求小华此时与地面的垂直距离 CD的值； （2）小华的身高 ED是 1.6m，他站在坡顶看楼顶 A 处的仰角为 45，求楼房 AB 的高度 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题 分析： （1）利用在 RtBCD 中，CBD=15，BD=20，得出 CD=BDsin15求得答案即可； （2）由图可知：AB=AF+DE+CD，利用直角三角形的性质和锐角三角函数的意义求得 AF 得出答 案即可 解答： 解：（1）在 RtBCD 中，CBD=15，BD=20， CD=BDsin15， CD

12、=5.2（m） 答：小华与地面的垂直距离 CD 的值是 5.2m； （2）在 RtAFE中， AEF=45， AF=EF=BC， 由（1）知，BC=BDcos1519.3（m）， AB=AF+DE+CD=19.3+1.6+5.2=26.1（m） 答：楼房 AB 的高度是 26.1m 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，题目中涉及到了仰俯角和坡度角的问题，解题的关 键是构造直角三角形 7. （2017 江西）如图 1“”，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的 视线角 约 为 20，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角” 约为 100图 2 是其侧面简化示意 图，其中视线 AB 水平，

13、且与屏幕 BC垂直 （1）若屏幕上下宽 BC=20cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离 AB的长； （2）若肩膀到水平地面的距离 DG=100cm，上臂 DE=30cm，下臂 EF 水平放置在键盘上，其到地 面的距离 FH=72cm请判断此时 是否符合科学要求的 100？ （参考数据：sin69 ，cos21 ，tan20 ，tan43 ，所有结果精确到 个位） 7 【考点】T8：解直角三角形的应用 【分析】（1）RtABC中利用三角函数即可直接求解； （2）延长 FE 交 DG于点 I，利用三角函数求得DEI即可求得 的值，从而作出判断 【解答】解：（1）RtABC中，tanA= ，

14、 AB= = = =55（cm）； （2）延长 FE 交 DG于点 I 则 DI=DGFH=10072=28（cm） 在 RtDEI中，sinDEI= = = ， DEI=69， =18069=111100， 此时 不是符合科学要求的 100 8 8.（2017宁德）如图，在边长为 1 的正方形组成的 58 方格中，ABC的顶点都在格点上 （1）在给定的方格中，以直线 AB 为对称轴，画出ABC 的轴对称图形ABD （2）求 sinABD的值 【考点】P7：作图轴对称变换；T7：解直角三角形 【分析】（1）根据格点的特点作出点 C 关于直线 AB 的对称点 D，连接 AD，BD即可； （2）根

15、据格点的特点可知DBC=90，再由轴对称的性质可知ABD=ABC=45，据此可得 出结论 【解答】解：（1）如图，ABD即为所求； （2）由图可知，DBC=90， 点 C 与点 D 关于直线 AB的对称， ABD=ABC=45， sinABD=sin45= 【点评】本题考查的是作图轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键 9. （20172017 湖南株洲） 如图示一架水平飞行的无人机 AB的尾端点 A 测得正前方的桥的左端点 P 的 俯角为 其中 tan=2 ，无人机的飞行高度 AH 为 500 米，桥的长度为 1255 米 求点 H 到桥左端点 P 的距离； 若无人机前端点 B 测得正

16、前方的桥的右端点 Q 的俯角为 30，求这架无人机的长度 AB 9 【考点】TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题 【分析】在 RtAHP中，由 tanAPH=tan= ，即可解决问题； 设 BCHQ于 C在 RtBCQ 中，求出 CQ= =1500米，由 PQ=1255米，可得 CP=245 米，再根据 AB=HC=PHPC 计算即可； 【解答】解：在 RtAHP中，AH=500 ， 由 tanAPH=tan= = =2 ，可得 PH=250米 点 H 到桥左端点 P 的距离为 250米 设 BCHQ于 C 在 RtBCQ中，BC=AH=500 ，BQC=30， CQ= =1500米， PQ=

17、1255 米， CP=245 米， HP=250 米， AB=HC=250245=5 米 答：这架无人机的长度 AB为 5 米 10. （2017 乌鲁木齐）一艘渔船位于港口 A 的北偏东 60方向，距离港口 20 海里 B 处，它沿 北偏西 37方向航行至 C 处突然出现故障，在 C 处等待救援，B，C 之间的距离为 10 海里，救 援船从港口 A 出发 20 分钟到达 C 处，求救援的艇的航行速度（sin370.6，cos37 0.8， 1.732，结果取整数） 10 【考点】TB：解直角三角形的应用方向角问题 【分析】辅助线如图所示：BDAD，BECE，CFAF，在 RtABD中，根据勾

18、股定理可求 AD， 在 RtBCE中，根据三角函数可求 CE，EB，在 RtAFC 中，根据勾股定理可求 AC， 再根据路程时间=速度求解即可 【解答】解：辅助线如图所示： BDAD，BECE，CFAF， 有题意知，FAB=60，CBE=37， BAD=30， AB=20 海里， BD=10 海里， 在 RtABD中，AD= =10 17.32海里， 在 RtBCE中，sin37= ， CE=BCsin370.610=6 海里， cos37= ， EB=BCcos370.810=8 海里， EF=AD=17.32 海里， FC=EFCE=11.32海里， AF=ED=EB+BD=18 海里， 在 RtAFC中， AC= = 21.26 海里， 11 21.26364 海里/小时 答：救援的艇的航行速度大约是 64海里/小时 12