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1、第 2424 讲 梯 形 【知识梳理】 1.梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形. 2.特殊梯形的分类：直角梯形和等腰梯形. (1)直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形 (2)等腰梯形的定义：两腰相等的梯形. 3. 特殊梯形的性质与判定： (1)等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。 (2)等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 4.梯形中常规辅助线的添加方式: 本章内容是对平面上四边形的分类及性质上的研究，要求学生在学习过程中多动手多动脑， 把自己的发现和知识带入做题中。因此教师在教学时可以多鼓励学生自己总结四边形的
2、特点， 这样有利于学生对知识的把握。 【考点解析】 考点一：梯形的有关计算 【例 1 1】如图所示，四边形 ABCD是梯形，ADBC，CA是BCD的平分线，且 ABAC，AB=4， AD=6，则 tanB=（ ） 11 A2 3 B2 2 C D 4 5 5 4 思路分析：先判断 DA=DC，过点 D 作 DEAB，交 AC于点 F，交 BC于点 E，由等腰三角形的性 质，可得点 F 是 AC中点，继而可得 EF是CAB的中位线，继而得出 EF、DF的长度，在 RtADF 中求出 AF，然后得出 AC，tanB 的值即可计算 解：CA 是BCD 的平分线， 1 DCA=ACB， 又ADBC，
3、ACB=CAD， DAC=DCA， DA=DC， 如图，过点 D 作 DEAB，交 AC 于点 F，交 BC于点 E， ABAC， DEAC（等腰三角形三线合一的性质）， 点 F 是 AC中点， AF=CF， EF 是CAB 的中位线， 1 EF= AB=2， 2 AF DF =1， FC EF EF=DF=2， 在 RtADF中，AF= AD2 DF2 4 2 ， 则 AC=2AF=8 2 ， AC 8 2 2 2 AB 4 tanB= 故选 B 点 评：本题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答本题的 关键是作出辅助线，判断点 F 是 AC中点，难度较大 考点二
4、、等腰梯形的性质 【例 2 2】如图，梯形 ABCD中，ADBC，ABDE，DEC=C，求证：梯形 ABCD是等腰梯形 2 思路分析：由 ABDE，DEC=C，易证得B=C，又由同一底上两个角相等的梯形是等腰梯 形，即可证得结论 证明：ABDE， DEC=B， DEC=C， B=C， 梯形 ABCD是等腰梯形 点 评：此题考查了等腰梯形的判定此题比较简单，注意掌握同一底上两个角相等的梯形是等 腰梯形定理的应用，注意数形结合思想的应用 考点三、梯形的判定 【例 4 4】如图，梯形 ABCD中，ADBC，点 M 是 AD 的中点，不添加辅助线，梯形满足 AB=DC （或 ABC=DCB 、 A=D
5、 ）等 条件时，有 MB=MC（只填一个即可） 考点： 梯形；全等三角形的判定. 专题： 开放型 分析： 根据题意得出ABMDCM，进而得出 MB=MC 解答： 解：当 AB=DC 时，梯形 ABCD 中，ADBC， 则A=D， 点 M 是 AD的中点， AM=MD， 在ABM 和DCM 中， ， 3 ABMDCM（SAS）， MB=MC， 同理可得出：ABC=DCB、A=D 时都可以得出 MB=MC， 故答案为：AB=DC（或ABC=DCB、A=D）等 点评： 此题主要考查了梯形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出ABMDCM 是解 题关键 【中考热点】 如图 1，在梯形 ABCD中，AB
6、CD，B=90，AB=2，CD=1，BC=m，P 为线段 BC上的一动点， 且和 B、C 不重合，连接 PA，过 P 作 PEPA交 CD 所在直线于 E设 BP=x，CE=y （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）若点 P 在线段 BC 上运动时，点 E 总在线段 CD上，求 m 的取值范围； （3）如图 2，若 m=4，将PEC沿 PE翻折至PEG位置，BAG=90，求 BP长 思路分析：（1）证明ABPPCE，利用比例线段关系求出 y 与 x 的函数关系式； （2）根据（1）中求出的 y 与 x 的关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式确定 m 的取值范围； （3）根据翻
7、折的性质及已知条件，构造直角三角形，利用勾股定理求出 BP 的长度解答中提 供了三种解法，可认真体会 解：（1）APB+CPE=90，CEP+CPE=90， APB=CEP，又B=C=90， ABPPCE， AB BP 2 x ，即 ， PC CE m x y 4 1 m y=- x2+ x 2 2 1 m 1 m m2 （2）y=- x2+ x=- （x- ）2+ ， 2 2 2 2 8 m m2 当 x= 时，y 取得最大值，最大值为 2 8 点 P 在线段 BC上运动时，点 E 总在线段 CD 上， m 2 1，解得 m2 2 8 m 的取值范围为：0m2 2 （3）由折叠可知，PG=P
8、C，EG=EC，GPE=CPE， 又GPE+APG=90，CPE+APB=90， APG=APB BAG=90，AGBC， GAP=APB， GAP=APG， AG=PG=PC 解法一：如解答图所示，分别延长 CE、AG，交于点 H， 则易知 ABCH为矩形，HE=CH-CE=2-y，GH=AH-AG=4-（4-x）=x， 在 RtGHE中，由勾股定理得：GH2+HE2=GH2， 即：x2+（2-y）2=y2，化简得：x2-4y+4=0 1 m 1 由（1）可知，y=- x2+ x，这里 m=4，y=- x2+2x， 2 2 2 2 代入式整理得：x2-8x+4=0，解得：x= 或 x=2，
9、3 5 2 BP 的长为 或 2 3 解法二：如解答图所示，连接 GC AGPC，AG=PC， 四边形 APCG为平行四边形，AP=CG 易证ABPGNC，CN=BP=x 过点 G 作 GNPC于点 N，则 GH=2，PN=PC-CN=4-2x 在 RtGPN中，由勾股定理得：PN2+GN2=PG2， 即：（4-2x）2+22=（4-x）2， 2 整理得：x2-8x+4=0，解得：x= 或 x=2， 3 2 BP 的长为 或 2 3 解法三：过点 A 作 AKPG于点 K， APB=APG， AK=AB 易证APBAPK， PK=BP=x， GK=PG-PK=4-2x 在 RtAGK中，由勾股
10、定理得：GK2+AK2=AG2， 即：（4-2x）2+22=（4-x）2， 整理得：x2-8x+4=0， 2 解得：x= 或 x=2， 3 2 BP 的长为 或 2 3 点 评：本题是代数几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、勾股定理、梯形、矩形、折 叠、函数关系式、二次函数最值等知识点，所涉及考点众多，有一定的难度注意第（2）问 中求 m 取值范围时二次函数性质的应用，以及第（3）问中构造直角三角形的方法 【达标检测】 1. 如图，等腰梯形 ABCD 的对角线长为 13，点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA的中点， 则四边形 EFGH的周长是（ ） 6 A 13 B 26
11、 C 36 D 39 考点： 等腰梯形的性质；中点四边形 分析： 首先连接 AC，BD，由点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA的中点，可得 EH，FG， EF，GH 是三角形的中位线，然后由中位线的性质求得答案 解答： 解：连接 AC，BD， 等腰梯形 ABCD的对角线长为 13， AC=BD=13， 点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点， EH=GF=BD=6.5，EF=GH=AC=6.5， 四边形 EFGH的周长是：EH+EF+FG+GF=26 故选 B 点评： 此题考查了等腰梯形的性质以及三角形中位线的性质此题难度不大，注意掌握辅助 线的作法，注意
12、掌握数形结合思想的应用 2. 如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，D=45，AB=1，CD=3，BEAD 交 CD于 E，则BCE 的周长为 第 1 题图 7 考点： 等腰梯形的性质 分析： 首先根据等腰梯形的性质可得D=C=45，进而得到EBC=90，然后证明四边形 ABED 是平行四边形，可得 AB=DE=1，再得 EC=2，然后再根据勾股定理可得 BE长，进而得到BCE 的周长 解答： 解：梯形 ABCD 是等腰梯形， D=C=45， EBAD， BEC=45， EBC=90， ABCD，BEAD， 四边形 ABED是平行四边形， AB=DE=1， CD=3， EC=31=2， E
13、B2+CB2=EC2， EB=BC= ， BCE 的周长为：2+2 ， 故答案为：2+2 点评： 此题主要考查了等腰梯形的性质，以及平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用， 关键是掌握等腰梯形同一底上的两个角相等 3. 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，BE 平分ABC 交 CD 于 E，且 BECD，CE：ED=2：1如果 BEC 的面积为 2，那么四边形 ABED 的面积是 考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；梯形 解析：首先延长 BA，CD 交于点 F，易证得BEFBEC，则可得 DF：FC=1：4，又由ADF BCF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得
14、ADF的面积，继而求得答案 解答：解：延长 BA，CD交于点 F， 8 BE 平分ABC， EBF=EBC， BECD， BEF=BEC=90， 在BEF 和BEC中， ， BEFBEC（ASA）， EC=EF，SBEF=SBEC=2， SBCF=SBEF+SBEC=4， CE：ED=2：1 DF：FC=1：4， ADBC， ADFBCF， =（ ）2= ， SADF= 4=， S 四边形 ABCD=SBEFSADF=2= 故答案为： 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及梯形的性质此题 难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用 4. 如图，在梯形
15、 ABCD 中，ADBC，ADC=90，B=30，CEAB，垂足为点 E若 AD=1， AB=2 ，求 CE的长 9 考点：直角梯形；矩形的判定与性质；解直角三角形. 解析：利用锐角三角函数关系得出 BH的长，进而得出 BC 的长，即可得出 CE的长 解答：解：过点 A 作 AHBC于 H，则 AD=HC=1， 在ABH 中，B=30，AB=2 ， cos30= ， 即 BH=ABcos30=2 =3， BC=BH+BC=4， CEAB， CE=BC=2 点评：此题主要考查了锐角三角函数关系应用以及直角三角形中 30所对的边等于斜边的一半 等知识，得出 BH的长是解题关键 5. 已知等腰梯形中
16、，AB=DC=2，ADBC，AD=3，腰与底相交所成的锐角为 60，动点 P 在线段 BC 上运动（ 点 P 不与 B、C 点重合），并且APQ=60，PQ 交射线 CD 于点 Q，若 CQ=y， BP=x， （1）求下底 BC 的长 （2）求 y 与 x 的函数解析式，并指出当点 P 运动到何位置时，线段 CQ 最长，最大值为多少？ （3）在（2）的条件下，当 CQ最长时，PQ与 AD 交于点 E，求 QE的长 11解：（1）如图 1，过点 D 作 DEAB，交 BC于 E， 10 ADBC， 四边形 ABED是平行四边形， BE=AD=3，DE=AB=DC=2， DEAB， DEC=B=6
17、0， DEC 为等边三角形， EC=DC=2， BC=BE+EC=3+2=5； （2）如图 2，在CPQ与BAP 中， C B 60 ， 1 2 120 - 3 CPQBAP， CQ：BP=CP：BA，即 y：x=（5-x）：2， 1 5 y=- x2+ x， 2 2 5 5 2 当 x= ，即当点 P 运动到 BC中点时，线段 CQ 最长， 1 2 2( ) 2 5 0 (2) 25 2 此时最大 值为 ； 1 8 4( ) 2 （3）如图 3， 11 5 25 在（2）的条件下，当 CQ 最长时，BP=CP= ，CQ= ， 2 8 25 9 QD=CQ-CD= -2= 8 8 DECP，
18、QDEQCP， QE：QP=DE：CP=QD：QC， 5 9 25 即 QE：QP=DE： = ： =9：25， 2 8 8 9 可设 QE=9k，QP=25k，且 DE= ， 10 9 21 PE=QP-QE=16k，AE=AD-DE=3- = 10 10 在DEQ 与PEA中， QDE APE 60 ， QED AEP DEQPEA， DE：PE=EQ：EA， 9 21 ：16k=9k： ， 10 10 21 解得 k= ， 40 9 21 QE=9k= 40 6. 如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB=DC=5cm，AD=4cm，BC=10cm，点 E 从点 C 出发，以 1cm/s的
19、速度沿 CB向点 B 移动，点 F 从点 B 出发以 2cm/s 的速度沿 BA 方向向点 A 移动，当点 F 到达点 A 时，点 E 停止运动；设运动的时间为 t（s） （0t2.5）问： （1）当 t 为何值时，EF平分等腰梯形 ABCD 的周长？ （2）若BFE的面积为 S（cm2），求 S 与 t 的函数关系式； 12 （3）是否存在某一时刻 t，使五边形 AFECD 的面积与BFE的面积之比是 3：2？若存在求出 t 的值；若不存在，说明理由 15 （4）在点 E、F 运动的过程中，若线段 EF= cm，此时 EF 能否垂直平分 AB？ 15 4 4解：（1）EF 平分等腰梯形 AB
20、CD的周长， 1 BE+BF= （AD+BC+CD+AB）=12， 2 10-t+2t=12， t=2； 答：当 t 为 2s时，EF平分等腰梯形 ABCD 的周长； （2）如图，过 A 作 ANBC 于 N，过 F 作 FGBC于 G， 1 1 则 BN= （BC-AD）= （10-4）=3（cm）， 2 2 ANBC，FGBC， FGAN， ABNFGB， FG BF ， AN AB FG 2t ， 4 5 8 FG= t， 5 1 1 8 SBEF= BEFG= （10-t） t， 2 2 5 4 S=- t2+8t； 5 （3）假设存在某一时刻 t，使五边形 AFECD 的面积与BFE
21、的面积之比是 3：2， 13 1 4 4 S五边形 AFECD=S梯形 ABCD-SBFE= （4+10）4-（- t2+8t）=28+ t2-8t， 2 5 5 4 4 即 2（28+ t2-8t）=3（- t2+8t）， 5 5 解得：t=5+ 11 （大于 2.5，舍去），t=5- 11 ； 即存在某一时刻 t，使五边形 AFECD的面积与BFE 的面积之比是 3：2，t 的值是（5- 11 ） s； （4）假设存在 EF 垂直平分 AB， 则ABNBEF， EF DF AN DN ， EF 5 2 4 3 ， 20 2 15 EF= ， 15 3 4 15 即线段 EF= cm，此时 EF 不能垂直平分 AB 15 4 14